浅析Vandermonde行列式的相关性质及其应用

浅析Vandermonde行列式的相关性质及其应用摘要：在高等数学的学习中，行列式无疑是一个重点和难点，它是后续课程线性方程组、矩阵、向量空间和线性变换的根底。而行列式的计算具有一定的规律性和技巧性。Vandermonde行列式是一类很重要的行列式。本文系统的阐述了Vandermonde行列式的相关性质及其应用,通过各种方法说明了行列式中的一些计算问题以及如何利用Vandermonde行列式计算一般的行列式，用多个例子论述并总结了Vandermonde行列式在科研和实践生活中如何更好的应用。关键字:行列式；Vandermonde行列式；Vandermonde目录第一章引言………………1预备知识……………22.1定义………………22.2行列式的性质……22.3行列式计算中的几种根本方法……3三角形法……………3加边法或升级法……4递推法或数学归纳法………………5第三章行列式的一种特殊类型Vandermonde行列式……63.1Vandermonde行列式的证法………63.2Vandermonde行列式的性质………7推广的性质定理：行列式………7一个Vandermonde行列式为0的充分必要条件…9Vandermonde行列式的偏导数……93.3Vandermonde行列式的翻转与变形………………113.4Vandermonde行列式的应用………12第四章小结…………………17第五章参考文献……………18第六章谢辞………………19引言在中学数学和解析几何里，我们学习过两个未知量和三个未知量的线性方程组及其解法。但是在数学研究和实际问题的解决过程中，经常会遇到由多个未知量而组成的多个方程组，并且未知量的个数和方程组的个数也未必相等。为了解决这些具体的问题，经过一代代数学家的不懈努力，终于由莱布尼茨和日本数学家关孝和分别创造了行列式。经过一段时间的开展，法国数学家范德蒙(A-T.Vandermonde,1735-1796)对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，即把行列式理论与线性方程组求解相别离。后来又经过许多大数学家的不断开展完善，如柯西、詹姆士·西尔维斯特(J.Sylvester,1814-1894)、雅可比(J.Jacobi,1804-1851)等人都对行列式的进步起到了巨大的推动作用。美国当代数学家BernardKolman对行列式又做了进一步的解析与应用。数学家ChongyingDong,Fu-anLi等人在Vandermonde行列式方面的最新研究也被收录到RecentDevelopmentsinAlgebraandRelatedAreas一书中。本文通过在行列式根本性质了解的根底上，进一步探讨一种特殊的行列式——Vandermonde行列式的相关性质及其应用。2预备知识为了深入学习Vandermonde行列式的性质及其应用，我们有必要回忆一下行列式的相关知识。2.1定义1行列式是由个元素〔数〕(=1,2,…,)排成行列并写成(1)的形式，它表示所有符合以下条件的项的代数和：

①每项是个元素的乘积，这个元素是从(1)中每行取一个元素、每列取一个元素组成的，可记为,式中是1,2,…,的一个排列。

②每项应带正号或负号，以1,2,…,的顺序为标准来比拟排列()的逆序数是偶或奇而决定。例如三阶行列式中的项排列(231)有2个逆序，即2在1之前，3在1之前,所以应带正号；而中(213)的逆序为1，因为这时只有2在1之前，所以应带负号。2.2行列式的性质性质1行列式与它的转置行列式相等。性质2交换行列式的两行〔列〕，行列式改变符号。性质3如果一个行列式有两行〔列〕完全相同，那么这个行列式等于0。性质4把一个行列式的某一行(列)的所有元素同乘以某一个数,等于以数乘这个行列式。性质5一个行列式中一行〔列〕所有元素的公因子可以提到行列式符号的外边。性质6如果一个行列式中有一行〔列〕的元素全部是0，那么这个行列式等于0。性质7如果一个行列式有两行〔列〕的对应元素成比例，那么这个行列式等于0。性质8设行列式的第行元素都可以表示成,那么等于两个行列式与的和，其中的第行元素是，的第行元素是，而与的其他各行都和的一样。同样的性质对于列来说也成立。性质9把行列式的某一行(列)的元素乘以同一个数后加到另一行〔列〕的对应元素上，行列式不变。2.3行列式计算中的几种根本方法三角形法就是利用行列式的性质，将给定的行列式化为上三角形或下三角形行列式，而上〔下〕三角形行列式的值即为其主对角线上所有元素的乘积。例1计算级行列式.分析该行列式具有各行〔列〕元素之和相等的特点.可将第列〔行〕都加到第一列〔行〕〔或第列〔行〕加到第列(行)〕，那么第1〔或〕列〔行〕的元素相等，再进一步化简即可化为三角形行列式或次三角行列式.解2.3.2例2计算级行列式分析该行列式的各行〔列〕含有共同的元素可在保持原行列式值不变的情况下，增加一行一列〔称为升级发或加边法〕，适中选择所增加行〔或列〕的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素.解递推法或数学归纳法例3计算级行列式分析对于三对角或次三对角行列式，按其第1行〔列〕或第行〔列〕展开得到两项的递推关系，再利用变形递推的技巧求解.解直接递推不易得到结果〔按低级是可以的〕，变形得3行列式的一种特殊类型——Vandermonde行列式定义2我们把型如=的行列式叫做Vandermonde行列式，其中表示这个数码的所有可能〔，〕因子共项的乘积〔〕。3.1Vandermonde行列式的证法方法一、消元法证：从第行开始，每一行加上前一行的倍。根据行列式的性质可知行列式的值不变，此时有==1〔按行列式首项展开得到〕(2)注意到行列式〔2〕是阶Vandermonde行列式，即已经将用表示出来。重复用上述方法对进行求解，经过有限步可以得到：=〔…〕()…()=即证。方法二：数学归纳法证：当时,成立。假设对于阶成立，对于阶有：首先要把降阶，从第n行起后一行减去前一行的倍，然后按第一行进行展开，就有，于是就有=，其中表示连乘，的取值为，原命题得证。方法一与方法二的实质与算法是一致的，可以说是同一种方法。3.2Vandermonde行列式的性质推广的性质定理：行列式==(k=0,1,2…n-1),其中是中〔〕个数的一个正序排列。表示对所有〔〕阶排列求和。证：〔i〕在行列式中增补第〔〕行和〔〕列相应的元素考虑〔〕阶Vandermonde行列式=…………=(*)(ii)由(*)式的两端分别计算多项式中项的系数，在(*)左端，由行列式计算：的系数为行列式中该元素对应的代数余子式，在(*)式右端，由多项式计算为的个不同根。根据根与系数的关系，项的系数为，其中是1，2…中〔〕个数的一个正序排列，表示对所有〔〕阶排列求和。〔iii〕比拟中项的系数，计算行列式，因为(*)式左右两端项系数应该相等，所以即〔**〕定理得证。利用此性质定理可以计算各阶准Vandermonde行列式，简便易行。特别，当时，令=1，〔**〕式即为Vandermonde行列式V。例4计算准Vandermonde行列式解由定理，=6,=3,所以=.一个Vandermonde行列式为0的充分必要条件是中至少有两个相等.Vandermonde行列式的偏导数.定理，由Vandermonde行列式的定义知，是的元函数.例5设是个两两互异的数，证明对任意个数，存在唯一的次数小于的多项式，使得，.证从定义容易看出的次数小于，且，故只需证明唯一性即可.设满足，，即，这个关于的线性方程组系数行列式为，故是唯一的，必须.这就是有名的拉格朗日插值公式。例6设是个复系数多项式，满足.证明：.证：设，取，分别以代入，可得，这个关于的齐次线性方程组的系数行列式为，因此.3.3Vandermonde行列式的翻转与变形.将Vandermonde行列式逆时针旋转，得.将Vandermonde行列式顺时针旋转，得.将Vandermonde行列式旋转，得.3．4Vandermonde行列式的应用Vandermonde行列式在Cramer法那么中的应用.例7设是互不相同的数，求解下面的方程组.解：系数行列式为，其中，所以，.如何利用Vandermonde行列式计算行列式法一所给行列式各行〔列〕都是某元素的不同方幂，但其方幂次数或其排列与Vandermonde行列式不完全相同，需利用行列好似性质〔如提取公因式，调换各行〔列〕的次序等〕将行列式化为Vandermonde行列式。例8计算解：.法二利用行列式性质，改变原行列式中的元素，产生以新元素为行〔列〕的Vandermonde行列式。例9计算阶行列式，其中，，〔〕.解：提取各行的公因式，得到〔Vandermonde行列式〕上式右端行列式是以新元素为列元素的阶Vandermonde行列式，所以=.法三如阶行列式的第行〔列〕由两个分行〔列〕所组成，其中任意相邻两行〔列〕均含有相同分行〔列〕，且中含有个分行〔列〕组成的Vandermonde行列式，那么将的第行〔列〕乘以〔〕加到〔〕行〔列〕，消除一些分行〔列〕，即可化成Vandermonde行列式。例10计算行列式△=.解：在△的第2行中去掉与第一行成比例的分行，得到△=在上面行列式的第3行中去掉与第2行成比例的分行，得到一个新的行列式，在此新行列式的第4行中去掉与第3行成比例的分行，得到△==.法四各行〔列〕元素均为某一元素的不同方幂，但都缺少同一方幂的行列式，可用各种方法化成Vandermonde行列式。下面用加边法。例11〔缺行Vandermonde行列式〕.解：注意此行列式与Vandermonde行列式的区别在于的幂跳过，我们自然会想到把缺了的幂补起来，再利用Vandermonde行列式，故令==.另一方面，对按最后一列进行Laplace展开，可知的代数余子式是.因此视为的多项式，那么应是的系数，故〔的系数〕.注1缺行Vandermonde行列式也叫做超Vandermonde行列式或准Vandermonde行列式。注2①利用此例中的添加一些行和列的方法，还可计算跳过两个幂的超Vandermonde行列式，及其他行列式。②注意当时，，故也含因子。特别，知.因和都是齐次及对称多项式，故应是次齐次对称多项式。按的次序排列时，的首项为〔的首项〕，故知的首项为，由此可得到.法五行列式中其他各行〔列〕都是元素的不同方幂，只有一行〔列〕的元素不是相应元素的零次幂〔即该行〔列〕元素都不是1〕，而是各行〔列〕元素的函数，利用行列式性质将这一行〔列〕元素化为全是1的元素。例12证明△=.证：将△的第1行加到第3行上，得到△==.Vandermonde行列式在多项式理论中的应用例13设多项式，，；，，那么不可能有非零且重数大于的根。证明：反设是的重数大于的根，那么，进而即〔3〕把〔3〕看作以为未知量的齐次线性方程组，那么〔3〕的系数行列式为.故方程组〔3〕只有零解，从而，因此必须，这与矛盾，故没有非零且重数大于的根。4小结以上我们在回忆行列式相关知识的根底上，进一步系统的阐述了Vandermonde行列式的一些重要性质和应用等知识。以便更好的为我们的科研和生活效劳。参考文献:[1]张贤科，许甫华.高等代数[M].清华大学出版社，1998[2]卢刚，冯翠莲.线性代数[M].北京大学出版社，2006.6[3]BernardKolman,DavidR.Hill.LinearAlgebra,HighEducationPress，2005,7.[4]樊恽，郑延履，刘合国.线性代数学习指导[M].北京:科学出版社，2003.2[5]万勇，李兵.线性代数[M].上海：复旦大学出版社，2006.8[6]毛纲源.线性代数解题方法技巧归纳[M].武汉：华中科技大学出版社，2000.3[7]苏醒侨，卢陈辉.线性代数.冶金工业出版社，2004.9[8]王新长，Vandermonde行列式在高等代数中的应用[J]，井冈山师范学院学报〔自然科学〕，2002年23〔5〕，54-58.[9]LinearAlgebraandIt’sApplications，DavidC.Lay