江苏高考数学二轮复习(理科)

专题1集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数第1讲集合与常用逻辑用语(填空题型)考向一集合的概念与运算命题角度1．集合的运算．2．求集合的元素个数．[经典例题引领]【例1】(1)(2014·江苏高考)集合A＝{－2，－1,3,4}，B＝{－1,2,3}，那么A∩B＝________.(2)(2014·东北三省四市联考改编)设集合A＝{1,2,4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，那么集合B中的元素个数为________个．【思路点拨】(1)求A∩B即可．(2)结合集合B中元素的特性求集合中的元素．【尝试解答】(1)A∩B＝{－2，－1,3,4}∩{－1,2,3}＝{－1,3}．(2)∵a∈A，b∈A，x＝a＋b，∴x＝2,3,4,5,6,8，∴B中有6个元素．【答案】(1){－1,3}(2)10【规律总结】解答集合问题的思路根据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解．(1)假设给定的集合是不等式的解集，用数轴求解；(2)假设给定的集合是点集，用数形结合法求解；(3)假设给定的集合是抽象集合或是用列举法表示的集合，用Venn图求解．[对点知识训练]1．(2014·苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查(一))集合A＝{1,2,3,4}，B＝{m,4,7}，假设A∩B＝{1,4}，那么A∪B＝________.【解析】因为A∩B＝{1,4}，所以1∈B，m＝1.因此A∪B＝{1,2,3,4,7}．【答案】{1,2,3,4,7}2．集合A＝{1,3，eq\r(m)}，B＝{1，m}，A∪B＝A，那么m＝________.【解析】由A∪B＝A得B⊆A，那么m∈A，所以m＝eq\r(m)或m＝3，即m＝3或m＝1或m＝0，又由集合中元素的互异性知m≠1，故m＝0或3.【答案】0或3考向二命题真假的判断命题角度1．四种命题真假的判断．2．含逻辑联结词的命题真假的判断．3．根据命题真假求参数的取值范围．[经典例题引领]【例2】(1)(2014·陕西高考改编)原命题为“假设z1，z2互为共轭复数，那么|z1|＝|z2|”，其逆命题，否命题，逆否命题中正确的个数是________个．(2)(2014·湖南高考)命题p：假设x>y，那么－x<－y；命题q：假设x>y，那么x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是________．【思路点拨】(1)利用原命题与逆否命题等价性判断．(2)先判断命题p，q的真假，再根据真值表求解．【尝试解答】(1)先证原命题为真：当z1，z2互为共轭复数时，设z1＝a＋bi(a，b∈R)，那么z2＝a－bi，那么|z1|＝|z2|＝eq\r(a2＋b2)，∴原命题为真，故其逆否命题为真；再证其逆命题为假：取z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不是共轭复数，∴其逆命题为假，故其否命题也为假．故填1.(2)由不等式性质知：命题p为真命题，命题q为假命题，从而綈p为假命题，綈q为真命题．故p∧q为假命题，p∨q为真命题，p∧(綈q)为真命题，(綈p)∨q为假命题，②③正确．【答案】(1)1(2)②③【规律总结】1.四种命题真假的判断：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无此规律．2．形如p∨q，p∧q，綈p命题的真假根据p，q的真假与联结词的含义判定．[对点知识训练]1．(2014·扬州中学月考)命题p：“假设a＝b，那么|a|＝|b|”，那么命题p及其逆命题、否命题、逆否命题中，正确命题的个数是________．【解析】命题的四种形式中，原命题与逆否命题同真假，逆命题与否命题同真假，此题中原命题是真命题，逆命题是假命题，故有2个是真命题．【答案】22．命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2ax0＋2－a＝0”．假设命题“(綈p)∧q”是真命题，那么实数a的取值范围是________．【解析】命题p为真时a≤1；“∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2ax0＋2－a＝0”为真，即方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，故Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得a≥1或a≤－2.(綈p)∧q为真命题，即綈p真且q真，即a>1.【答案】(1，＋∞)考向三充分条件与必要条件命题角度1．充分、必要条件的判定．2．根据条件的关系求参数的范围．[经典例题引领]【例3】(1)(2014·南京、盐城模拟)设函数f(x)＝cos(2x＋φ)，那么“f(x)为奇函数”是“φ＝eq\f(π,2)”的________条件．(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“必要”、“既不充分也不必要”)(2)命题p：x2＋2x－3>0；命题q：x>a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，那么a的取值范围用区间表示为________．【思路点拨】(1)先求f(x)为奇函数时，φ成立的条件，然后再判断．(2)先解出綈q和綈p，再结合充分不必要条件的定义求解．【尝试解答】(1)必要性：当φ＝eq\f(π,2)时，f(x)＝－sin2x为奇函数，必要性成立；而当φ＝eq\f(π,2)＋kπ时，f(x)也为奇函数，所以充分性不成立．(2)由x2＋2x－3>0，得x<－3或x>1，故綈p：－3≤x≤1，綈q：x≤a.由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，故a≥1.【答案】(1)必要不充分(2)[1，＋∞)【规律总结】1.判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一方面由条件p能否推得条件q，二是由条件q能否推得条件p.2．对于较难判断的命题，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．[对点知识训练]1．(2014·合肥模拟)设集合S＝{0，a}，T＝{x∈Z|x2<2}，那么“a＝1”是“S⊆T”的________条件．(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”【解析】依题意得T＝{－1,0,1}．由a＝1，得S＝{0,1}⊆T；反过来，由S⊆T不能得知a＝1，如此时a可能取－1.因此“a＝1”是“S⊆T”的充分不必要条件．【答案】充分不必要2．命题p：(x－m)2>3(x－m)是命题q：x2＋3x－4<0成立的必要不充分条件，那么实数m的取值范围用区间表示为________．【解析】解不等式(x－m)2>3(x－m)，得x>m＋3或x<m，解不等式x2＋3x－4<0，得－4<x<1.因为命题p是命题q成立的必要不充分条件，所以命题q中不等式的解集是命题p中不等式的解集的真子集，即m＋3≤－4或m≥1，解得m≤－7或m≥1.【答案】(－∞，－7]∪[1，＋∞)命题展望含有量词及逻辑联结词的命题真假的判断是近几年高考考查的热点内容.2014年新课标全国卷、重庆卷、安徽卷、辽宁卷、天津卷等均对该知识点作了考查．预测2015年该知识点仍是命题的方向，应引起足够的重视．[典例观摩]含有量词及逻辑联结词的命题真假的判断【例】(2014·重庆高考改编)命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件．那么以下命题为真命题的是________(填序号)．①p∧q②綈p∧綈q③綈p∧q ④p∧綈q【解析】因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x∈R，y＝2x>0恒成立，故p为真命题；因为当x>1时，x>2不一定成立，反之当x>2时，一定有x>1成立，故“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故q为假命题，那么p∧q、綈p为假命题，綈q为真命题，綈p∧綈q、綈p∧q为假命题，p∧綈q为真命题，故填④.【答案】④[阅卷心语]易错提示(1)对“全称命题”的否认不到位致误．(2)对“充分不必要条件”的概念不清致误．(3)对真值表不理解致误．防范措施(1)对含有一个量词的命题进行否认时，不仅将结论进行否认，还要将量词进行相应改变．(2)可利用集合间的包含关系分析充分不必要条件．(3)准确判断命题p、q的真假，然后借助真值表判断p∧q，p∨q，綈p的真假．[名师押题]1．(2014·扬州中学月考)集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,2x)))，x∈R))，B＝{y|y＝log2(x－1)}，那么A∩B＝________.【解析】A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,2x)))，x∈R))＝{y|y>0}，B＝{y|y＝log2(x－1)}＝R，所以A∩B＝(0，＋∞)．【答案】(0，＋∞)2．(2014·诚贤中学月考)由命题“∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2x0＋m≤0”是假命题，求得实数m的取值范围是(a，＋∞)，那么实数a的值是________．【解析】根据题意可得：∀x∈R，x2＋2x＋m>0是真命题，那么Δ<0，即22－4m<0，m>1，故a【答案】1专题对点限时训练(一)A卷1．全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{1,3,5,6,7}，B＝{2,4,6,7,8}，那么(∁UA)∩B＝________.【解析】∵∁UA＝{2,4,8,9}，∴(∁UA)∩B＝{2,4,8}．【答案】{2,4,8}2．(2014·安徽高考改编)命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”【解析】∀x∈R，|x|＋x2≥0的否认是∃x0∈R，|x0|＋xeq\o\al(2,0)<0.【答案】∃x0∈R，|x0|＋xeq\o\al(2,0)<03．(2014·南通市调研)集合A＝{x|x≥3}∪{x|x<－1}，那么∁RA＝________.【解析】根据题意并结合集合补集运算可得：∁RA＝{x|－1≤x<3}．【答案】{x|－1≤x<3}4．(2014·韶关二模)命题“a，b∈R，假设a2＋b2＝0，那么a＝b＝0”【解析】a＝b＝0的否认为a≠0或b≠0；a2＋b2＝0的否认为a2＋b2≠0.【答案】a，b∈R，假设a≠0或b≠0，那么a2＋b2≠05．(2013·江苏高考)集合{－1,0,1}共有________个子集．【解析】根据计算集合子集个数的公式求出或直接写出．由于集合中有3个元素，故该集合有23＝8(个)子集．【答案】86．(2014·南京、盐城模拟)“p∨q为真命题”是“綈p为假命题”成立的________条件(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分分也不必要”)．【解析】“p∨q为真命题”就是p，q中至少有一个为真；“綈p为假命题”即得p为真命题．可见“綈p为假命题”可推出“p∨q为真命题”，而“p∨q为真命题”不能推出“綈p为假命题”，故“p∨q为真命题”是“綈p为假命题”成立的必要不充分条件．【答案】必要不充分7．集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．假设P∪M＝P，那么a的取值范围是________．【解析】由P∪M＝P，有M⊆P，∴a2≤1，∴－1≤a≤1.【答案】[－1,1]8．以下命题中：①命题“假设f(x)是奇函数，那么f(－x)是奇函数”的否命题是“假设f(x)不是奇函数，那么f(－x)不是奇函数”；②命题“∃x0∈∁RQ，xeq\o\al(3,0)∈Q”的否认是“∀x∈∁RQ，x3∉Q”；③命题“对∀x∈R，都有x≤1”的否认是“∃x0∈R，使x0>1④“假设am2<bm2，那么a<b”的逆命题为真．其中正确结论的序号是________．(填上所有正确结论的序号)【解析】因为否命题是既否认题设，又否认结论，因此否命题应为“假设函数f(x)不是奇函数，那么f(－x)不是奇函数”．∴①正确．根据含有一个量词命题的否认，命题②③正确．对于④，逆命题为：“假设a<b，那么am2<bm2”．当m＝0时，有am2＝bm2，故④【答案】①②③9．设集合A＝{1，eq\r(a)}，B＝{a}，假设B⊆A，那么实数a的值为________．【解析】由B⊆A，得a＝1或a＝eq\r(a)，解得a＝0或a＝1，将a＝1代入A，得A＝{1,1}，舍去．所以a＝0.【答案】010．(2014·广州第二次联考)全集U＝R，集合A＝{x|0<x<9，x∈R}和B＝{x|－4<x<4，x∈Z}关系的韦恩图如图1－1－1所示，那么阴影局部所示集合中的元素共有________个．图1－1－1【解析】集合B＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，而阴影局部所示集合为B∩∁RA，所以阴影局部集合中含有－3，－2，－1,0共4个元素．【答案】411．命题p：“∀x∈[1,2]，eq\f(1,2)x2－lnx－a≥0”是真命题，那么实数a的取值范围是________．【解析】命题p：a≤eq\f(1,2)x2－lnx在[1,2]上恒成立，令f(x)＝eq\f(1,2)x2－lnx，f′(x)＝x－eq\f(1,x)＝eq\f(x－1x＋1,x)，当1<x<2时，f′(x)>0，∴f(x)min＝f(1)＝eq\f(1,2)，∴a≤eq\f(1,2).【答案】eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))12．设p：|4x－3|≤1，q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，假设非p是非q的必要不充分条件，那么实数a【解析】p：|4x－3|≤1⇒－1≤4x－3≤1，∴eq\f(1,2)≤x≤1；q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0⇒(x－a)[x－(a＋1)]≤0.假设綈p是綈q的必要不充分条件，那么q是p的必要不充分条件，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤\f(1,2)，,a＋1≥1，))那么0≤a≤eq\f(1,2).【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))13．(2014·湖北保定高三调研)集合M＝{1,2,3,4}，集合A、B为集合M的非空子集，假设∀x∈A、y∈B，x<y恒成立，那么称(A，B)为集合M的一个“子集对”，那么集合M的“子集对”共有________个．【解析】当A＝{1}时，B有23－1＝7种情况，当A＝{2}时，B有22－1＝3种情况，当A＝{3}时，B有1种情况，当A＝{1,2}时，B有22－1＝3种情况．当A＝{1,3}，{2,3}，{1,2,3}时，B均有1种情况，∴满足题意的“子集对”共有7＋3＋1＋3＋1＋1＋1＝17个．【答案】1714．假设集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，那么a＝________.【解析】集合A中只有一个元素等价于方程ax2＋ax＋1＝0有且只有一个实数解．(1)假设a＝0，那么方程1＝0不成立．(2)假设a≠0，那么有Δ＝a2－4a＝0，即a【答案】415．设p：eq\f(x,x－2)<0，q：0<x<m，假设p是q成立的充分不必要条件，那么m的取值范围是________．【解析】p：0<x<2，假设p是q成立的充分不必要条件，那么m>2.【答案】(2，＋∞)16．(2014·安徽六校测试)假设命题“∀x∈[－1,1]，1＋2x＋a·4x<0”是假命题，那么实数a【解析】先求∀x∈[－1,1]，1＋2x＋a·4x<0恒成立的a值，最后求其补集即可．变形得a<－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x＋1,4x)))＝－eq\f(1,2x)＋eq\f(1,2)2＋eq\f(1,4)，令t＝eq\f(1,2x)，那么a<－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,2)))2＋eq\f(1,4)，∵x∈[－1,1]，∴t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，∴f(t)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,2)))2＋eq\f(1,4)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上是减函数．∴a<[f(x)]min＝f(2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(1,2)))2＋eq\f(1,4)＝－6，∴a≥－6，故实数a的最小值为－6.【答案】－6B卷1．(2014·青岛一模)命题p：任意x∈R，x>sinx，那么p的否认是________．【解析】p的否认是：存在x∈R，x≤sinx.【答案】∃x∈R，x≤sinx2．(2014·商丘模拟)设集合A＝{2，lnx}，B＝{x，y}，假设A∩B＝{0}，那么y＝________.【解析】由A∩B＝{0}知lnx＝0，∴x＝1，∴y＝0.【答案】03．(2014·安丰高级中学月考)设集合U＝{1,2,3,4}，A＝{1,2}，B＝{2,4}，那么(∁UA)∪B＝________.【解析】由补集的定义有∁UA＝{3,4}，由并集的定义有(∁UA)∪B＝{2,3,4}．【答案】{2,3,4}4．(2014·诚贤中学月考)集合P＝{x|x(x－1)≥0}，Q＝{x|y＝ln(x－1)}，那么P∩Q＝________.【解析】由x(x－1)≥0，可得x≤0或x≥1，那么P＝(－∞，0]∪[1，＋∞)；又由x－1>0，可得x>1，那么Q＝(1，＋∞)，所以P∩Q＝(1，＋∞)．【答案】(1，＋∞)5．(2014·吉林模拟)命题p：“a＝1是x>0，x＋eq\f(a,x)≥2的充分必要条件”；命题q：“∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋x0－2>0”．那么以下命题正确的选项是________(填序号)．①命题“p∧q”是真命题；②命题“(綈p)∧q”是真命题；③命题“p∧(綈q)”是真命题；④命题“(綈p)∧(綈q)”是真命题．【解析】由条件可知，命题p是假命题，命题q是真命题，根据命题的真值表，可得命题“(綈p)∧q”是真命题，故填②.【答案】②6．(2014·湖北高考)设U为全集，A，B是集合，那么“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的________条件(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”．【解析】由韦恩图易知充分性成立．反之，A∩B＝∅时，不妨取C＝∁UB，此时A⊆C，必要性成立．故为充要条件．【答案】充要7．(2014·扬州联考)假设命题“∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋mx0＋2m－3<0”为假命题，那么实数m的取值范围是________．【解析】由题意可知，命题“∀x∈R，x2＋mx＋2m－3≥0”为真命题，故Δ＝m2－4(2m－3)＝m2－8m＋12≤0，解得2【答案】[2,6]8．命题p：a＝1是x＞0，x＋eq\f(a,x)≥2的充分必要条件；命题q：∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋x0－2＞0.给出以下命题：①命题“p∧q”是真命题；②命题“(綈p)∧q”是真命题；③命题“p∧(綈q)”是假命题；④命题“(綈p)∧(綈q)”是假命题．其中真命题的个数是________．【解析】对于命题p：当a＝1时，x＞0，x＋eq\f(1,x)≥2成立；当x＞0，x＋eq\f(a,x)≥2时，a≥2x－x2，又2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1.∴a≥1，因此命题p是假命题，綈p是真命题．对于命题q：当x0＝2时，xeq\o\al(2,0)＋x0－2＞0成立，故命题q是真命题，綈q是假命题．综上知(綈p)∧q是真命题，p∧(綈q)是假命题，(綈p)∧(綈q)是假命题．故真命题的个数为3.【答案】39．(2014·陕西五校模拟)p：存在x0∈R，mxeq\o\al(2,0)＋2≤0；q：任意x∈R，x2－2mx＋1>0.假设“p∨q”为假命题，那么实数m的取值范围是________．【解析】假设存在x0∈R，mxeq\o\al(2,0)＋2≤0成立，那么m<0，所以假设p为假命题，m的取值范围是[0，＋∞)；假设任意x∈R，x2－2mx＋1>0，那么Δ＝4m2－4<0，即－1<m<1，所以假设q为假命题，m的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以假设“p或q”为假命题，那么实数m的取值范围是[1，＋∞)．【答案】[1，＋∞)10．(2014·通州高级中学期中考试)集合A＝{x|x>2或x<－1}，B＝{x|a≤x≤b}，假设A∪B＝R，A∩B＝{x|2<x≤4}，那么eq\f(b,a)＝________.【解析】由A＝{x|x>2或x<－1}，A∪B＝R，A∩B＝{x|2<x≤4}，可得B＝{x|－1≤x≤4}，那么a＝－1，b＝4，故eq\f(b,a)＝－4.【答案】－411．(2014·南通高三期末测试)记max{a，b}为a和b两数中的较大数．设函数f(x)和g(x)的定义域都是R，那么“f(x)和g(x)都是偶函数”是“函数F(x)＝max{f(x)，g(x)}为偶函数”的________条件．(在“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”和“既不充分也不必要”中选填一个)【解析】由函数f(x)和g(x)的定义域都是R，及“f(x)和g(x)都是偶函数”再结合偶函数的对称性，可得当取两者中的较大值所构成的函数也关于y轴对称，即可推得“函数F(x)＝max{f(x)，g(x)}为偶函数”；反之那么不一定成立，所以是充分不必要条件．【答案】充分不必要12．(2014·新余联考)给出以下四个结论：①假设命题p：∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋x0＋1<0，那么綈p：∀x∈R，x2＋x＋1≥0；②“(x－3)(x－4)＝0”是“x－3＝0③命题“假设m>0，那么方程x2＋x－m＝0有实数根”的逆否命题为：“假设方程x2＋x－m＝0没有实数根，那么m≤0”④假设a>0，b>0，a＋b＝4，那么eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值为1.其中正确结论的个数为________．【解析】①正确，綈p是p的否命题；②不正确，(x－3)(x－4)＝0，那么x＝3或x＝4，应该是必要不充分条件；③正确，两命题互为逆否命题；④正确，因为a＋b≥2eq\r(ab)，∴ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＝4，∴eq\f(4,ab)≥1，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,ab)＝eq\f(4,ab)≥1.【答案】①③④13．(2014·唐山模拟)设U＝R，集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>a}，且(∁UA)∪B＝R，那么实数a的取值范围是________．【解析】∵A＝{x|x>1}，B＝{x|x>a}，∴∁UA＝{x|x≤1}．由(∁UA)∪B＝R可知a≤1.【答案】a≤114．(2014·汕头模拟)设命题p：eq\f(2x－1,x－1)≤0，命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)<0，假设p是q的充分不必要条件，那么实数a的取值范围是________．【解析】p：eq\f(2x－1,x－1)≤0⇒eq\f(1,2)≤x<1，q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)<0⇒a<x<a＋1.因为p是q的充分不必要条件，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)>a,1≤a＋1))，解得0≤a<eq\f(1,2).【答案】eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))15．(2014·福州模拟)集合A＝{(x，y)|y＝lgx}，B＝{(x，y)|x＝a}，假设A∩B＝∅，那么实数a的取值范围是________．【解析】依题意得方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝lgx，,x＝a))没有实数解，于是有a≤0.【答案】a≤016．c>0，且c≠1，设p：函数y＝cx在R上递减；q：函数f(x)＝x2－2cx－1在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上为增函数．假设“p且q”为假，“p或q”为真，那么实数c的取值范围为________．【解析】由函数y＝cx在R上递减可知0<c<1.由函数f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上为增函数可知c≤eq\f(1,2).又p∧q为假，p∨q为真，所以p、q一真一假．(1)假设p真q假，那么eq\f(1,2)<c<1.(2)假设p假q真，那么这样的实数c不存在．综上可知，实数c的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))第2讲函数的图象与性质(填空题型)考向一函数及其表示命题角度1．求函数的定义域．2．分段函数求值．[经典例题引领]【例1】(1)(2014·山东高考)函数f(x)＝eq\f(1,\r(log2x－1))的定义域为________．(2)(2013·江苏高考)f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－4x，那么不等式f(x)＞x的解集用区间表示为________．【思路点拨】(1)需满足真数大于0，分母不为0，被开方数有意义．(2)求f(x)解析式，分类讨论求解．【尝试解答】(1)要使函数有意义，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,log2x－1>0，))解得x>2.(2)设x＜0，那么－x＞0，于是f(－x)＝(－x)2－4(－x)＝x2＋4x，由于f(x)是R上的奇函数，所以－f(x)＝x2＋4x，即f(x)＝－x2－4x，且f(0)＝0，于是f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x，x＞0，,0，x＝0，,－x2－4x，x＜0.))当x＞0时，由x2－4x＞x，得x＞5；当x＜0时，由－x2－4x＞x，得－5＜x＜0，故不等式的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)．【答案】(1)(2，＋∞)(2)(－5,0)∪(5，＋∞)【规律总结】1.对于分段函数求值，应注意依据条件准确地找出利用哪一段求解．2．求函数定义域的类型及方法：(1)假设函数的解析式，那么函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建并解不等式(组)即可．(2)函数f(g(x))的定义域应由不等式a≤g(x)≤b解出．[对点知识训练]1．假设函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，那么函数g(x)＝eq\f(f2x,lnx)的定义域是________．【解析】由函数y＝f(x)的定义域是[0,2]得，函数g(x)有意义的条件为0≤2x≤2且x>0，x≠1，故x∈(0,1)．【答案】(0,1)2．(2014·扬州中学月考)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosπx，x≤0，,fx－1＋1，x>0，))那么feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))的值为________．【解析】feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)－1))＋1＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＋1＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＋1＋1＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)π))＋2＝eq\f(3,2).【答案】eq\f(3,2)

考向二函数的图象及其应用命题角度1．应用函数图象确定方程根的个数．2．应用函数图象研究函数的性质．[经典例题引领]【例2】(1)(2014·苏北四市质检)函数f(x)＝x|x－2|，那么不等式f(eq\r(2)－x)≤f(1)的解集为________．(2)(2014·天津高考)函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R.假设方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，那么实数a的取值范围为________．【思路点拨】(1)作出f(x)的图象，根据图象转化为关于x的不等式．(2)在同一坐标系中，分别作出y1＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|的图象，将方程根的个数问题转化为两图象交点的个数问题求解．【尝试解答】(1)函数y＝f(x)的图象如图，由不等式f(eq\r(2)－x)≤f(1)知，eq\r(2)－x≤eq\r(2)＋1，从而得到不等式f(eq\r(2)－x)≤f(1)的解集为[－1，＋∞)．(2)设y1＝f(x)＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|，在同一直角坐标系中作出y1＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|的图象如下图．由图可知f(x)－a|x－1|＝0有4个互异的实数根等价于y1＝|x2＋3x|与y2＝a|x－1|的图象有4个不同的交点，且4个交点的横坐标都小于1，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－x2－3x，,y＝a1－x))有两组不同解．消去y得x2＋(3－a)x＋a＝0有两个不等实根，所以Δ＝(3－a)2－4a>0，即a2－10解得a<1或a>9.又由图象得a>0，∴0<a<1或a>9.【答案】(1)[－1，＋∞)(2)(0,1)∪(9，＋∞)【规律总结】1.识图：在观察、分析图象时，要注意图象的分布及变化趋势，尤其是函数的奇偶性以及极值点、特殊点的函数值等，找准解析式与图象的对应关系．2．用图：函数图象形象地展示了函数的性质(如单调性、奇偶性、最值等)，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，因此常用函数的图象研究函数的性质，求解方程(不等式)中的参数取值等．[对点知识训练]1．(2014·南通高三期末)设函数y＝f(x)是定义域为R，周期为2的周期函数，且当x∈[－1,1)时，f(x)＝1－x2，函数g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lg|x|，x≠0，,1，x＝0，))那么函数f(x)和g(x)的图象在区间[－5,10]内公共点的个数为________．【解析】根据题意可分别在同一坐标平面内作出函数y＝f(x)和函数y＝g(x)的图象，如以下图所示，可见它们在区间[－5,10]内公共点的个数为14个．【答案】142．(2014·威海文登二模)函数y＝eq\f(1,2－x)的图象与函数y＝sineq\f(π,2)x(－4≤x≤8)的图象所有交点的横坐标之和等于________．【解析】函数y＝eq\f(1,2－x)与函数y＝sineq\f(π,2)x(－4≤x≤8)的图象有公共的对称中心(2,0)，画出两者的图象如下图，易知y＝eq\f(1,2－x)与y＝sineq\f(π,2)x(－4≤x≤8)的图象共有8个交点，不妨设其横坐标为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，且x1<x2<x3<x4<x5<x6<x7<x8，由对称性得x1＋x8＝x2＋x7＝x3＋x6＝x4＋x5＝4，∴x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8＝16.【答案】16考向三函数的性质及其应用命题角度1．函数奇偶性的判断与应用．2．函数周期性的判断与应用．3．函数单调性的应用．[经典例题引领]【例3】(1)函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex－k，x≤0，,1－kx＋k，x＞0))是R上的增函数，那么实数k的取值范围是________．(2)(2014·安徽高考)假设函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1－x，0≤x≤1，,sinπx，1<x≤2，))那么feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(29,4)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(41,6)))＝________.【思路点拨】(1)先分段处理，再考虑分界点处的函数值的大小，最后确定k的范围．(2)根据函数的周期性将待求函数值的自变量值转化到分段函数中的定义域范围内，结合奇函数性质求解．【尝试解答】(1)由f(x)为R上的增函数，那么f(x)在(0，＋∞)上为增函数，1－k＞0，k＜1.同时，k≥e0－k＝1－k，即k≥eq\f(1,2)，从而k∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).(2)∵f(x)是以4为周期的奇函数，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(29,4)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8－\f(3,4)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(41,6)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8－\f(7,6)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,6))).∵当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))＝eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))＝eq\f(3,16).∴当1<x≤2时，f(x)＝sinπx，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,6)))＝sineq\f(7π,6)＝－eq\f(1,2).又∵f(x)是奇函数，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))＝－eq\f(3,16)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,6)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,6)))＝eq\f(1,2).∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(29,4)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(41,6)))＝eq\f(1,2)－eq\f(3,16)＝eq\f(5,16).【答案】(1)eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))(2)eq\f(5,16)【规律总结】1.应用函数周期性和奇偶性求值的关键是借助函数的性质将待求函数值的自变量向函数的定义域进行转化．2．关于周期性的常用结论假设对于函数f(x)的定义域内任意一个自变量的值x都有f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝eq\f(1,fx)或f(x＋a)＝－eq\f(1,fx)(a是常数且a≠0)，那么f(x)是以2a为一个周期的周期函数．[对点知识训练]1．(2014·泰安模拟)函数f(x)在实数集R上具有以下性质：①直线x＝1是函数f(x)的一条对称轴；②f(x＋2)＝－f(x)；③当1≤x1<x2≤3时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0，那么f(2011)、f(2012)、f(2013)、f(2014)从大到小的顺序为________．【解析】由f(x＋2)＝－f(x)得f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)的周期是4，所以f(2011)＝f(3)，f(2012)＝f(0)，f(2013)＝f(1)，f(2014)＝f(2)．因为直线x＝1是函数f(x)的一条对称轴，所以f(2012)＝f(0)＝f(2)．由1≤x1<x2≤3时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0，可知当1≤x≤3时，函数单调递减，所以f(2013)>f(2012)＝f(2014)>f(2011)．【答案】f(2013)>f(2012)＝f(2014)>f(2011)2．(2014·课标全国卷Ⅱ)偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，那么f(－1)＝________.【解析】∵f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f(4－x)＝f(x)，∴f(4－1)＝f(1)＝f(3)＝3，即f(1)＝3.∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(－1)＝f(1)＝3.【答案】3命题展望函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，综合应用函数的性质解题是高考考查的重点内容之一.2014年课标全国卷Ⅰ、山东卷、安徽卷等对此作了考查，2015年仍是命题方向，应引起充分重视．[典例观摩]应用函数性质求值【例】(2014·大纲全国卷改编)奇函数f(x)的定义域为R.假设f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，那么f(8)＋f(9)＝________.【解析】因为f(x)为R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0.因为f(x＋2)为偶函数，所以f(x＋2)＝f(－x＋2)，所以f(x＋4)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋8)＝f(x)，即函数f(x)的周期为8，故f(8)＋f(9)＝f(0)＋f(1)＝1.【答案】1[阅卷心语]易错提示(1)对抽象函数的奇偶性不理解致误．(2)对函数奇偶性同周期性间的转化不到位致误．防范措施(1)可从函数图象平移或从函数奇偶性的定义两个角度理解抽象函数的奇偶性．(2)先利用函数的奇偶性建立等量关系，再借助周期函数的定义推导周期．[名师押题]1．(2014·南京、盐城高三第一次模拟考试)假设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调增函数．如果实数t满足f(lnt)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln\f(1,t)))<2f(1)时，那么t的取值范围是________．【解析】因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln\f(1,t)))＝f(－lnt)＝f(lnt)＝f(|lnt|)．由f(lnt)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln\f(1,t)))<2f(1)⇒2f(lnt)<2f(1)⇒f(|lnt|)<f(1)⇒|lnt|<1⇒－1<lnt<1⇒eq\f(1,e)<t<e.【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))2．(2014·四川高考)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－4x2＋2，－1≤x<0，,x，0≤x<1，))那么feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝________.【解析】函数的周期是2，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－2))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，根据题意feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2＋2＝1.【答案】13．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，当x∈[0,1]时，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1－x，给出以下命题：①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；③函数f(x)的最大值是1，最小值是0.其中所有正确命题的序号是________．【解析】在f(x＋1)＝f(x－1)中，令x－1＝t，那么有f(t＋2)＝f(t)，因此2是函数f(x)的周期，故①正确，由于f(x)是偶函数，所以f(x－1)＝f(1－x)，结合f(x＋1)＝f(x－1)得f(1＋x)＝f(1－x)，故f(x)的图象关于x＝1对称．当x∈[0,1]时，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1－x＝2x－1单调递增，所以f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故②正确．由②知，f(x)在一个周期区间[0,2]上的最大值为f(1)＝1，最小值为f(0)＝f(2)＝eq\f(1,2)，故③不正确．【答案】①②专题对点限时训练(二)A卷1．(2014·盐城高三二模)函数f(x)＝lnx＋eq\r(1－x)的定义域为________．【解析】因为对数函数中真数大于零，偶次根式下被开方数非负，所以x>0,1－x≥0.因此函数定义域为(0,1]．【答案】(0,1]2．设f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lgx，x>0，,10x，x≤0，))那么f(f(－2))＝________.【解析】f(－2)＝10－2，所以f[f(－2)]＝f(10－2)＝lg10－2＝－2.【答案】－23．f(x)是定义在R上的奇函数，假设对于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝ex－1，那么f(2013)＋f(－2014)＝________.【解析】由f(x＋2)＝f(x)可知当x≥0时函数的周期是2.所以f(2013)＝f(1)＝e－1，f(－2014)＝－f(2014)＝－f(0)＝0，所以f(2013)＋f(－2014)＝e－1.【答案】e－14．(2014·北京高考改编)以下函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是________(填序号)．①y＝eq\r(x＋1)②y＝(x－1)2③y＝eq\f(1,2－x)④y＝log0.5(x＋1)【解析】①中，函数y＝eq\r(x＋1)在[－1，＋∞)上为增函数，所以函数在(0，＋∞)上为增函数，故正确；②中，函数y＝(x－1)2在(－∞，1)上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数，故错误；③中，函数y＝eq\f(1,2－x)＝2x在R上为增函数，故正确；④中，函数y＝log0.5(x＋1)在(－1，＋∞)上为减函数，故错误．【答案】①③5．(2014·无锡期中)f(x)＝x2，g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－m，假设对任意x1∈[－1,3]，总存在x2∈[0,2]，使得f(x1)≥g(x2)成立，那么实数m的取值范围是________．【解析】∵x1∈[－1,3]时，f(x1)∈[0,9]；x2∈[0,2]时，g(x2)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－m，1－m)).故只需0≥eq\f(1,4)－m，解得m≥eq\f(1,4).【答案】eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞))6．(2014·扬州中学月考)函数f(x)＝log2(4－x2)的值域为________．【解析】∵x2≥0，∴0<4－x2≤4，令t＝4－x2，那么0<t≤4，根据y＝log2t的图象，可知y≤log24＝2.所以值域为：(－∞，2]．【答案】(－∞，2]7．(2014·福州模拟)函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋3a，x<0，,ax，x≥0，))(a>0且a≠1)是R上的减函数，那么a的取值范围是________．【解析】根据单调性定义知，f(x)为减函数应满足：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,3a≥a0，))即eq\f(1,3)≤a<1.【答案】eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))8．(2014·潍坊模拟)函数f(x)＝e|lnx|－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))，那么函数y＝f(x＋1)的大致图象为________(填序号)．【解析】∵f(x)＝e|lnx|－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，0<x<1，,\f(1,x)，x≥1，))又y＝f(x＋1)的图象可由y＝f(x)向左平移1个单位得到，所以结合选项可知①正确．【答案】①9．(2014·安丰高级中学月考)设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，那么feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝________.【解析】由f(x)是周期为2的奇函数，可知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋2))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－eq\f(1,2).【答案】－eq\f(1,2)10．(2014·苏、锡、常、镇四市联考)设函数f(x)＝asinx＋x2，假设f(1)＝0，那么f(－1)的值为________．【解析】因为f(1)＝0，所以a＝－eq\f(1,sin1).因此f(－1)＝－asin1＋1＝2.【答案】211．(2014·诚贤中学月考)函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x，x∈[0，1]，,\f(9,2)－\f(3,2)x，x∈1，3]，))当t∈[0,1]时，f(f(t))∈[0,1]，那么实数t的取值范围是________．【解析】由题意可得：当t∈[0,1]时，f(t)＝3t∈[30,31]＝[1,3]，那么f(f(t))＝f(3t)＝eq\f(9,2)－eq\f(3,2)×3t，即eq\f(9,2)－eq\f(3,2)×3t∈[0,1]，可解得x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(log3\f(7,3)，1)).【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(log3\f(7,3)，1))12．定义域为R的偶函数f(x)满足对∀x∈R，有f(x＋2)＝f(x)－f(1)，且当x∈[2,3]时，f(x)＝－2x2＋12x－18，假设函数y＝f(x)与函数y＝loga(x＋1)在x∈(0，＋∞)上至少有三个交点，那么a的取值范围是________．【解析】令x＝－3得f(1)＝0，∵f(x＋2)＝f(x)－f(1)，∴f(x＋2)＝f(x)，周期T＝2.x∈[0,1]时，f(x)＝f(x＋2)＝－2(x－1)2.根据函数f(x)的奇偶性与周期性画出图象．要使y＝f(x)与y＝loga(x＋1)在x∈(0，＋∞)上至少有三个交点，只需满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,loga3>－2，))解得0<a<eq\f(\r(3),3).【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)))13．(2014·合肥一模)函数f(x)＝lneq\f(1,|x|＋1)的值域是________．【解析】因为|x|≥0，所以eq\f(1,|x|＋1)∈(0,1]，所以f(x)＝lneq\f(1,|x|＋1)∈(－∞，0]．【答案】(－∞，0]14．(2014·黄冈模拟)f(x)是定义在R上以2为周期的函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝logeq\f(1,2)(1－x)，那么feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2014,4)))＝________.【解析】因为f(x)的周期为2，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2014,4)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－504＋\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2014,4)))＝1.【答案】115．(2014·安徽素质测试)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x≤0,|log2x|，x>0))，那么方程f(x)＝eq\f(1,2)的解集为________．【解析】当x≤0时，解2x＝eq\f(1,2)，得x＝－1；当x>0时，解|log2x|＝eq\f(1,2)，得x＝eq\f(\r(2),2)或x＝eq\r(2).所以方程f(x)＝eq\f(1,2)的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(2),2)，\r(2))).【答案】eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(2),2)，\r(2)))16．(2012·江苏高考)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋1，－1≤x＜0，,\f(bx＋2,x＋1)，0≤x≤1，))其中a，b∈R，假设feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))，那么a＋3b的值为________．【解析】由题意feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，所以eq\f(\f(b,2)＋2,\f(3,2))＝－eq\f(1,2)a＋1，∴eq\f(3,2)a＋b＝－1.①又f(－1)＝f(1)，∴b＝－2a，解①②得a＝2，b＝－4，∴a＋3b＝－10.【答案】－10B卷1．函数f(x)＝eq\r(log\f(1,2)3x－5)的定义域为________．【解析】函数f(x)＝eq\r(log\f(1,2)3x－5)的定义域为：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－5＞0，,log\f(1,2)3x－5≥0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－5＞0，,3x－5≤1，))解得eq\f(5,3)＜x≤2，故答案为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，2)).【答案】eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，2))2．(2014·山东高考改编)函数f(x)＝eq\f(1,\r(log2x2－1))的定义域为________．【解析】要使函数f(x)有意义，需使(log2x)2－1>0，即(log2x)2>1，∴log2x>1或log2x<－1.解之得x>2或0<x<eq\f(1,2).故f(x)的定义域为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪(2，＋∞)．【答案】eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪(2，＋∞)3．(2014·江西高考改编)函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax2－x(a∈R)．假设f[g(1)]＝1，那么a＝________.【解析】由条件可知：f[g(1)]＝f(a－1)＝5|a－1|＝1，∴|a－1|＝0，得a＝1.【答案】14．(2014·唐山模拟)f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x3＋ln(1＋x)，那么当x<0时，f(x)＝________.【解析】当x<0时，－x>0，又f(x)是R上的奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)3＋ln(1－x)]＝x3－ln(1－x)．【答案】x3－ln(1－x)5．(2014·咸宁模拟)函数f(x)＝sinx＋1，那么f(lg2)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(1,2)))＝________.【解析】eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(flg2＝sinlg2＋1，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(1,2)))＝sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(1,2)))＋1，))所以f(lg2)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(1,2)))＝sin(lg2)＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(1,2)))＋2，而y＝sinx是奇函数，lgeq\f(1,2)＝－lg2，所以f(lg2)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(1,2)))＝2.【答案】26．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)，x≥2，,x－13，0<x<2，))假设关于x的方程f(x)＝kx有两个不同的实根，那么实数k的取值范围是________．【解析】函数y＝(x－1)3在R上单调递增；函数y＝eq\f(2,x)在[2，＋∞)上单调递减，又因为x＝2时，(x－1)3＝1且eq\f(2,x)＝1，所以f(x)的最大值为1，对应点为(2,1)，又y＝kx过原点(0,0)，所以k＝eq\f(1－0,2－0)＝eq\f(1,2).可见：0<k<eq\f(1,2).【答案】0<k<eq\f(1,2)7．“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的________条件(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”【解析】充分性：当a<0时，f(x)＝|(ax－1)·x|＝－ax2＋x为开口向上的二次函数，且对称轴为x＝eq\f(1,2a)<0，故f(x)在(0，＋∞)上为增函数；当a＝0时，f(x)＝x为增函数．必要性：当a≠0时，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝0，f(0)＝0，f(x)在(0，＋∞)上为增函数，那么eq\f(1,a)<0，即a<0，f(x)＝x时，为增函数，此时a＝0，故a≤0.综上，a≤0是f(x)在(0，＋∞)上为增函数的充分必要条件．【答案】充要8．(2014·华南师大附中模拟)如表定义函数f(x)：x12345f(x)54312对于数列{an}，a1＝4，an＝f(an－1)，n＝2,3,4，…，那么a2014＝________.【解析】因为a1＝4，所以由函数定义知：a2＝f(a1)＝f(4)＝1；a3＝f(a2)＝f(1)＝5；a4＝f(a3)＝f(5)＝2；a5＝f(a4)＝f(2)＝4，……，数列是以4为周期的数列，故a2014＝a2＝1.【答案】19．(2014·牡丹江模拟)设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，那么feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))的大小关系为________(用“<”连接)．【解析】∵f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(x)＝f(2－x)．∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(2,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3))).又x≥1时，f(x)＝3x－1，且eq\f(4,3)<eq\f(3,2)<eq\f(5,3).∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))，即feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))).【答案】feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))10．(2014·天水一模)函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，假设f(2)＝2，那么f(2014)＝________.【解析】∵g(－x)＝f(－x－1)，∴－g(x)＝f(x＋1)．又g(x)＝f(x－1)，∴f(x＋1)＝－f(x－1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，那么f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(2014)＝f(2)＝2.【答案】211．(2014·盐城高三二模)f(x)是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，当x>1时，f(x＋1)＝f(x)＋f(1)，且假设直线y＝kx与函数y＝f(x)的图象恰有5个不同的公共点，那么实数k的值为________．【解析】由x>1时，f(x＋1)＝f(x)＋f(1)＝f(x)＋1，可得：当x∈[n，n＋1]，n∈N＋时，f(x)＝f(x－1)＋1＝f(x－2)＋2＝…＝f(x－n)＋n＝(x－n)2＋n.因为函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，所以其图象关于原点对称．因此要使直线y＝kx与函数y＝f(x)恰有5个不同的公共点，只需满足当x>0时，直线y＝kx与函数y＝f(x)恰有2个不同的公共点．作出x>0时函数y＝f(x)图象，由图可知，当直线y＝kx与曲线段y＝(x－1)2＋1，x∈[1,2]相切时，直线与函数y＝f(x)恰有5个不同的公共点．由直线方程y＝kx与y＝(x－1)2＋1，x∈[1,2]联立方程组，消去y得：x2－(2＋k)x＋2＝0，因为相切，所以Δ＝(2＋k)2－8＝0.又k>0，所以k＝2eq\r(2)－2.【答案】2eq\r(2)－212．定义在R上的函数y＝f(x)满足以下三个条件：①对于任意的x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)；②对于任意的x1，x2∈R，且0≤x1<x2≤2，都有f(x1)<f(x2)；③函数y＝f(x＋2)的图象关于y轴对称，那么f(4.5)，f(6.5)，f(7)的大小顺序是________(用“>”连接)．【解析】由得f(x)是以4为周期且关于直线x＝2对称的函数．∴f(4.5)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，f(7)＝f(4＋3)＝f(3)＝f(1)，f(6.5)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(5,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))).又f(x)在[0,2]上为增函数．所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))>f(1)>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，故有f(4.5)<f(7)<f(6.5)．【答案】f(6.5)>f(7)>f(4.5)13．(2014·湖南高考)假设f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，那么a＝________.【解析】利用偶函数的定义求解．∵f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴ln(1＋e3x)＋ax＝ln(1＋e－3x)－ax，∴ln(1＋e－3x)－ln(1＋e3x)＝2ax，即lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋e－3x,1＋e3x)))＝2ax，∴eq\f(1＋e－3x,1＋e3x)＝e2ax，∴1＋e－3x＝e2ax＋e(2a＋3)x对x∈R∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋3＝0，,2a＝－3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝0，,2a＋3＝－3))(舍去)．∴a＝－eq\f(3,2).【答案】－eq\f(3,2)14．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＝x2＋2x(x≥0)，假设f(3－a2)＞f(2a)，那么实数a【解析】f(x)＝(x＋1)2－1在[0，＋∞)上是增函数，又因为f(x)是R上的奇函数，所以函数f(x)是R上的增函数，要使f(3－a2)＞f(2a)只需3－a2＞2a，解得－3＜【答案】(－3,1)15．(2014·珠海模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log31－x，x≤0，,fx－1－fx－2，x>0，))那么f(2014)＝________.【解析】因为当x>0时，f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，所以f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，所以f(x＋1)＝f(x－1)－f(x－2)－f(x－1)＝－f(x－2)，即f(x＋3)＝－f(x)，所以函数的周期为6，故f(2014)＝f(4)＝f(3)－f(2)＝f(2)－f(1)－f(2)＝－f(1)＝－[f(0)－f(－1)]＝－(log31－log32)＝log32.【答案】log3216．定义在R上的偶函数f(x)满足：f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函数，以下关于f(x)的判断：①f(x)是周期函数；②f(x)的图象关于直线x＝2对称；③f(x)在[0,1]上是增函数；④f(x)在[1,2]上是减函数；⑤f(4)＝f(0)．其中判断正确的序号是________．【解析】f(x＋1)＝－f(x)⇒f(x＋2)＝f(x)，故f(x)是周期函数．又f(x)＝f(－x)，所以f(x＋2)＝f(－x)，故f(x)的图象关于直线x＝1对称．同理，f(x＋4)＝f(x)＝f(－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称．由f(x)在[－1,0]上是增函数，得f(x)在[0,1]上是减函数，在[1,2]上是增函数．因此可得①②⑤正确．【答案】①②⑤第3讲根本初等函数、函数与方程及函数的应用考向一指数函数、对数函数及幂函数的图象和性质命题角度1．指数函数、对数函数、幂函数的图象．2．指数函数、对数函数、幂函数的性质．【思路点拨】(1)根据图象，列