椭圆及其标准方程(一)国家示范性高中评估公开课(教案+学案)

课题：椭圆及其标准方程〔一〕授课教师：高二级一．教材及学情分析：本节课是选修1－1第二章《圆锥曲线与方程》中§2.1《椭圆及其标准方程》第一课时．用一个平面去截一个对顶的圆锥，当平面与圆锥的轴夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是圆、椭圆、抛物线、双曲线，我们将这些曲线统称为圆锥曲线．圆锥曲线的发现与研究始于古希腊。当时人们从纯粹几何学的观点研究了这种与圆密切相关的曲线，它们的几何性质是圆的几何性质的自然推广。17世纪初期，笛卡尔创造了坐标系，人们开始在坐标系的根底上，用代数方法研究圆锥曲线．在这一章中，我们将继续用坐标法探究圆锥曲线的几何特征，建立它们的方程，通过方程研究它们的简单性质，并用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题，进一步感受数形结合的根本思想．解析几何是数学一个重要的分支,它沟通了数学内数与形、代数与几何等最根本对象之间的联系．在必修2中学生已初步掌握了解析几何研究问题的主要方法,并在平面直角坐标系中研究了直线和圆这两个根本的几何图形．在选修1-1中，教材利用三种圆锥曲线进一步深化如何利用代数方法研究几何问题。由于教材以椭圆为重点交代求方程、利用方程讨论几何性质的一般方法,在双曲线、抛物线的教学中应用和稳固，因此“椭圆及其标准方程”起到了承上启下的重要作用。本节内容蕴含了许多重要的数学思想方法，如：数形结合思想、化归思想等．因此，教学时应重视表达数学的思想方法及价值。根据本节内容的特点，教学过程中可充分发挥信息技术的作用，用几何画板的动态作图优势为学生的数学探究与数学思维提供支持。二．教学目标：1．知识与技能目标：①理解椭圆的定义②掌握椭圆的标准方程，在化简椭圆方程的过程中提高学生的运算能力2．过程与方法目标：①经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，从具体到一般，掌握数学概念的数学本质，提高学生的归纳概括能力②学会用坐标化的方法求动点轨迹方程③对学生进行数学思想方法渗透，培养学生具有利用数学思想方法分析和解决问题的意识3．情感态度价值观目标：①充分发挥学生在学习中的主体地位，引导学生活动、观察、思考、合作、探究、归纳、交流、反思，促进形成研究气氛和合作意识②重视知识的形成过程教学，让学生知其然并知其所以然，通过学习新知识体会到前人探索的艰辛过程与创新的乐趣③通过对椭圆定义的严密化，培养学生形成扎实严谨的科学作风④通过经历椭圆方程的化简,增强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美⑤利用椭圆知识解决实际问题，使学生感受到数学的广泛应用性和知识的力量，增强学习数学的兴趣和信心三．重、难点重点：椭圆的定义、椭圆的标准方程、坐标化的根本思想难点：椭圆标准方程的推导与化简，坐标法的应用关键：含有两个根式的等式化简四．教法分析新课程倡导学生自主学习，要求教师成为学生学习的引导者、组织者、合作者和促进者，使教学过程成为师生交流、积极互动、共同开展的过程．本节课坚持推行“学案引导——自主学习——教师点拨——练习稳固”的课堂教学模式，按照“创设情境——学生活动——意义建构——数学理论——数学应用——回忆反思——稳固提高”的程序设计教学过程，并以多媒体手段辅助教学，使学生经历实践、观察、猜测、论证、交流、反思等理性思维的根本过程，切实改良学生的学习方式，使学生真正成为学习的主人．五．教学过程创设情境——提出问题,学生活动——体验数学,意义建构——感知数学,数学理论——建立数学,数学应用——稳固新知,回忆反思——归纳提炼,课后作业——稳固提高六、教学辅助手段：多媒体、试验工具七、教学程序及设计：教学环节教学程序及设计设计意图创设情境给出椭圆的一些实例：神舟七号飞船运行轨迹，生活中的椭圆图片、倾斜的水杯等借助多媒体形成生动的直观图象，吸引学生的注意力，提高参与程度，为后续学习做好准备。动手试验2、学生动手试验：1、学生分组试验2、分组讨论概括椭圆上的点满足什么条件注重概念形成过程。通过让学生亲自动手，分组讨论，从感性认识自然过渡到理性认识，培养学生的观察、归纳、概括能力。概念透析3．归纳，形成概念 定义：到平面内两个定点F1、F2的距离之和等于常数〔大于|F1F2|定点F1、F2称为椭圆的焦点。F1、F2间的距离|F1F2|称为焦距问1：为什么常数要大于|F1F2问2：椭圆定义还可以用集合语言如何表示？在给出定义后，通过设问让学生加深对椭圆定义中的关键词汇的理解，进一步强化椭圆定义，真正使学生理解定义的内涵和外延。方程推导4．椭圆的标准方程的推导〔1〕复习求曲线的方程的根本步骤〔由学生答复，不正确的教师给予纠正〕〔2〕如何选取坐标系？以过F1、F2的直线为X轴，线段F1F2的垂直平分线为Y〔3〕推导方程以过F1、F2的直线为X轴，线段F1F2的垂直平分线为Y设M〔x，y〕是椭圆上任意一点，椭圆的焦距│F1F2│为2c〔c>0〕、正常数为2，那么F1〔-c,0〕、F2〔c,0〕根据椭圆的定义可得：│MF1│+│MF2│=2学会建立适当的坐标系，构造数与形的桥梁，体会数学的对称美。方程推导〔想一想：下面怎样化简？〕〔1〕学生在下面进行运算，教师一边巡视，一边给予指导和提示，然后选出1—2位学生的推导过程利用实物投影仪展示出来，并请学生本人作简要陈述．〔2〕的引入由椭圆的定义可知，,，进而引进，此时，得椭圆的标准方程为．〔3〕如果椭圆的焦点在轴上，并且焦点为,那么椭圆方程为，这也是椭圆的标准方程，2.两种类型的椭圆方程的比拟：焦点在X轴：F1〔-c,0〕、F2〔c,0〕焦点在Y轴：F1〔0,-c〕、F2〔0,c〕让学生参与到问题的解答中，体验方程推导的全过程，培养运算能力。表达对称的思想及数学的美感。学生运用类比的方法，大胆猜测出方程。对学生观察、归纳能力的训练。尝试应用1、以下方程哪些表示的是椭圆，如果是，判断它的焦点在哪个坐标轴上？注意：分母哪个大，焦点就在哪个坐标轴上，反之亦然。写出适合以下条件的椭圆的标准方程两个焦点的坐标分别是、，椭圆上一点到两焦点距离的和等于10；变式一:将上题焦点改为(0，-4)、(0，4)，结果如何？变式二：将上题改为两个焦点的距离为8，椭圆上一点P到两焦点的距离和等于10，结果如何？〔学生直接抢答〕通过练习来强化理解，深化知识点的掌握，突出重点、难点。开拓学生的思维，训练学生思维的严谨性。范例教学例一：写出适合以下条件的椭圆的标准方程两个焦点的坐标分别是、，并且经过点P．〔先和学生一起简单分析条件中蕴涵的信息，再由学生自己动手完成。教师巡视，投影学生答案。学生讨论总结。〕有两种解题思路，思路1：利用椭圆定义〔椭圆上的点范例教学到两个焦点、的距离之和为常数2〕求出值，再结合条件和、、间的关系求出的值，进而写出标准方程；思路2：先根据条件设出焦点在轴上的椭圆方程的标准方程，再将椭圆上点的坐标代入此方程，并结合、、间的关系求出、的值，从而得到椭圆的标准方程为．以例代练，充分让学生动手、动脑。及时反应，强化知识点的学习，也起到激发学生学习数学的兴趣的作用。谈谈收获探究定义图形标准方程焦点坐标的关系焦点位置的判断以表格的形式更利于两种类型的椭圆方程的比拟，强化概念。布置作业1、课后反思与体验：１、本节课我学习了哪些知识，是用什么方法学会的。２、我还有什么知识没有掌握，是什么原因导致的。３、我从老师和同学那儿学到了哪些好的学习方法？４、通过上述的回忆评价一下自己本节课的表现。2、根底题：课本36页习题1、2、33、探究与拓展：介绍一种画椭圆的仪器.浏览网页//k12/xiaolu31/jieji/2-1，阅读有关“达.芬奇椭圆仪”的介绍。注重学习方法、情感、态度、价值观的小结六、板书设计：§2..1椭圆及其标准方程一、椭圆的定义：二、标准方程：焦点在X轴：焦点在Y轴：椭圆及其标准方程〔一〕学案①理解椭圆的定义，明确焦点、焦距的概念，掌握椭圆的标准方程的推导及椭圆的标准方程；②进一步学习类比、数形结合的数学思想方法，理解坐标法及其应用.一、创设情景、引入概念首先用多媒体演示“神州七号”飞船绕地球旋转运行的画面，并描绘出运行轨迹图．★问一：“神州七号”飞船绕地球旋转的轨迹是什么图形？二、尝试探究、形成概念学生实验：按课本上介绍的方法，学生用一块纸板，两个图钉，一根无弹性的细绳尝试画椭圆．椭圆的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数〔大于|F1F2|〕的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距找定义的关键处：①平面曲线；②任意一点到两个定点的距离的和等于常数；③常数大于|F1F2|．三、标准方程的推导归纳求曲线方程的一般步骤：建系设点列出方程化简方程．建系一般应遵循简单、优化的原那么．★问二：怎样建立坐标系，才能使求出的椭圆方程最为简单？推导过程：1．建系．2．设点．3．列式．4．化简．思考：观察右图，能从中找出表示的线段吗？．〔〕此即为椭圆的标准方程．它所表示的椭圆的焦点在轴上，焦点是，中心在坐标原点的椭圆方程．★问三：如果椭圆的焦点F1，F2在y轴上，线段F1F2的垂直平分线为x轴，a，b，c意义同上，椭圆的方程形式又如何？注意理解以下几点：①在椭圆的两种标准方程中，都有的要求；②在椭圆的两种标准方程中，由于，所以可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上；③椭圆的三个参数之间的关系是，其中大小不确定．四、尝试应用1、以下方程哪些表示的是椭圆，如果是，判断它的焦点在哪个坐标轴上？写出适合以下条件的椭圆的标准方程：两个焦点的坐标分别是、，椭圆上一点到两焦点距离的和等于10；变式一:将上题焦点改为(0，-4)、(0，4)，结果如何？变式二：将上题改为两个焦点的距离为8，椭圆上一点P到两焦点的距离和等于10，结果如何？3.写出适合以下条件的椭圆的标准方程两个焦点的坐标分别是、，并且经过点P．五、课堂练习，即时反应1．写出适合以下条件的椭圆的标准方程：〔1〕