第一章　必刷小题1　集合、常用逻辑用语、不等式-2025高中数学大一轮复习讲义人教A版

必刷小题1集合、常用逻辑用语、不等式一、单项选择题1．已知全集U＝R，集合A＝{x||x－1|≤3}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x－5,x＋1)<0))))，那么A∪B等于()A．(－1,4) B．(－1,4]C．(－2,5) D．[－2,5)答案D解析由|x－1|≤3，解得－2≤x≤4，即A＝[－2,4]．由eq\f(x－5,x＋1)<0，解得－1<x<5，即B＝(－1,5)，所以A∪B＝[－2,5)．2．“x<1”是“x2－4x＋3>0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析解不等式x2－4x＋3>0，得x>3或x<1，所以“x<1”是“x2－4x＋3>0”的充分不必要条件．3．若不等式2x2＋2kx＋3k>0对一切实数x都成立，则k的取值范围是()A．0≤k≤6 B．－6<k<0C．0<k<6 D．k<0或k>6答案C解析由题意，函数y＝2x2＋2kx＋3k的图象开口向上，又不等式2x2＋2kx＋3k>0对一切实数x都成立，∴对应方程的判别式Δ＝(2k)2－4×2×3k<0，解得0<k<6.4．若关于x的一元二次方程x2＋qx＋8－q＝0有两个正实数根，则q的取值范围是()A．q>8 B．q<－4C．q>8或q<－4 D．q<－8答案D解析由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝q2－48－q>0，,－q>0，,8－q>0，))解得q<－8.5．若－π<α<β<π，则α－β的取值范围是()A．－2π<α－β<2π B．0<α－β<2πC．－2π<α－β<0 D．{0}答案C解析∵－π<β<π，∴－π<－β<π，又－π<α<π，∴－2π<α－β<2π，又α<β，∴α－β<0，∴－2π<α－β<0.6．若正实数a，b满足(a＋1)(2b＋1)＝4，则a＋2b＋1的最小值为()A．2B．3C.eq\f(10,3)D．4答案B解析因为a，b为正实数，所以a＋2b＋1＝a＋1＋2b＋1－1≥2eq\r(a＋12b＋1)－1＝2eq\r(4)－1＝3，当且仅当a＋1＝2b＋1，即a＝1，b＝eq\f(1,2)时等号成立．7．若关于x的方程x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,a)))x＋9＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1<1<x2，那么a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,7)，\f(2,5))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(2,7))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,11)，0))答案D解析令f(x)＝x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,a)))x＋9，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,a)))2－36>0，,f1＝11＋\f(2,a)<0，))解得－eq\f(2,11)<a<0，即a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,11)，0)).8．已知x1>0，x2>0，x1＋x2<ex1x2(e为自然对数的底数)，则()A．x1＋x2>1 B．x1＋x2<1C.eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)<eq\f(1,e) D.eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)>eq\f(1,e)答案A解析由题意得eq\f(x1＋x2,x1x2)＝eq\f(x1,x1x2)＋eq\f(x2,x1x2)＝eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)<e.又(x1＋x2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x1)＋\f(1,x2)))＝1＋eq\f(x1,x2)＋eq\f(x2,x1)＋1≥2＋2eq\r(\f(x1,x2)·\f(x2,x1))＝4，当且仅当x1＝x2时等号成立，所以x1＋x2>eq\f(4,e)>1.二、多项选择题9．下列各结论正确的是()A．“xy>0”是“eq\f(x,y)>0”的充要条件B.eq\r(x2＋9)＋eq\f(1,\r(x2＋9))的最小值为2C．命题“∀x>1，x2－x>0”的否定是“∃x≤1，x2－x≤0”D．“二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1,0)”是“a＋b＋c＝0”的充要条件答案AD解析xy>0⇔eq\f(x,y)>0，故A正确；由基本不等式知，eq\r(x2＋9)＋eq\f(1,\r(x2＋9))≥2，当且仅当eq\r(x2＋9)＝eq\f(1,\r(x2＋9))，即x2＝－8时等号成立，由于x2＝－8无解，所以等号不成立，所以取不到最小值2，故B错误；命题“∀x>1，x2－x>0”的否定是“∃x>1，x2－x≤0”，故C错误；二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1,0)，显然有a＋b＋c＝0，反之亦可，故D正确．10．若实数a，b满足a<b<0，则()A.eq\f(1,a)<eq\f(1,b) B．lna2>lnb2C．a|a|<b|b| D．a＋eq\f(1,b)<b＋eq\f(1,a)答案BCD解析由a<b<0⇒ab>0⇒eq\f(a,ab)<eq\f(b,ab)⇒eq\f(1,b)<eq\f(1,a)，故A不正确；由a<b<0⇒－a>－b>0⇒a2>b2>0⇒lna2>lnb2，故B正确；因为a<b<0，所以a|a|－b|b|＝－a2＋b2＝(b－a)(b＋a)<0⇒a|a|<b|b|，故C正确；因为a<b<0，所以a＋eq\f(1,b)－b－eq\f(1,a)＝eq\f(a－bab＋1,ab)<0⇒a＋eq\f(1,b)<b＋eq\f(1,a)，故D正确．11．若不等式ax2－bx＋c>0的解集是(－1,2)，则下列选项正确的是()A．a<0B．b<0且c>0C．a＋b＋c>0D．不等式ax2－cx＋b<0的解集是R答案AB解析由题意得，方程ax2－bx＋c＝0的两根为－1,2，且a<0，故A正确；所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＋2＝\f(b,a)，,－1×2＝\f(c,a)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝a，,c＝－2a，))则b<0，c>0，故B正确；所以a＋b＋c＝a＋a＋(－2a)＝0，故C错误；不等式ax2－cx＋b<0即ax2＋2ax＋a＝a(x＋1)2<0，又a<0，所以不等式为(x＋1)2>0，该不等式的解集为{x|x≠－1}，故D错误．12．已知a>0，b>0，且2a＋b＝2，则下列说法正确的是()A．a2＋b2的最小值为eq\f(5,4)B．ab的最大值为eq\f(1,2)C．4a2＋b2的最小值为4D.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值为eq\f(3,2)＋eq\r(2)答案BD解析由题意得，a>0，b＝2－2a>0，从而0<a<1，所以a2＋b2＝a2＋(2－2a)2＝5a2－8a＋4＝5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(4,5)))2＋eq\f(4,5).当a＝eq\f(4,5)时，a2＋b2有最小值eq\f(4,5)，故A错误；因为2＝2a＋b≥2eq\r(2ab)，所以ab≤eq\f(1,2)，当且仅当a＝eq\f(1,2)，b＝1时等号成立，故B正确；4a2＋b2＝(2a＋b)2－4ab＝4－4ab≥4－4×eq\f(1,2)＝2，当且仅当a＝eq\f(1,2)，b＝1时等号成立，故C错误；eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,2)(2a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋\f(b,a)＋\f(2a,b)))≥eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋2\r(\f(b,a)·\f(2a,b))))＝eq\f(3＋2\r(2),2)＝eq\f(3,2)＋eq\r(2)，当且仅当eq\f(b,a)＝eq\f(2a,b)，即a＝2－eq\r(2)，b＝2eq\r(2)－2时等号成立，故D正确．三、填空题13．“α＝β”是“sinα＝sinβ”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中的一个)答案充分不必要解析若α＝β，则sinα＝sinβ，当α＝0，β＝2π时，sinα＝sinβ，此时α≠β，所以“α＝β”是“sinα＝sinβ”的充分不必要条件．14．已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，若B⊆A，则m的取值范围为________．答案[－1，＋∞)解析∵B⊆A，∴当B＝∅时，2m－1>m＋1，解得m>2，符合题意；当B≠∅时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1≥－3，,m＋1≤4，,2m－1≤m＋1，))解得－1≤m≤2，综上所述，m≥－1，即m的取值范围为[－1，＋∞)．15．若对∀1≤x≤4，不等式x2－(a＋2)x＋4≥－a－1恒成立，则实数a的取值范围为________．答案{a|a≤4}解析对∀1≤x≤4，不等式x2－(a＋2)x＋4≥－a－1恒成立，即对∀1≤x≤4，a(x－1)≤x2－2x＋5恒成立．当x＝1时，不等式为0≤4，恒成立，此时a∈R；当1<x≤4时，a≤eq\f(x2－2x＋5,x－1)＝x－1＋eq\f(4,x－1)，∵1<x≤4，∴0<x－1≤3，∴x－1＋eq\f(4,x－1)≥2eq\r(x－1·\f(4,x－1))＝4，当且仅当x－1＝eq\f(4,x－1)，即x＝3时取等号，∴a≤4.综上，实数a的取值范围为{a|a≤4}．16．运货卡车以x千米/时的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是6元/升，而汽车每小时耗油eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6＋\f(x2,360)))升，司机的工资是24元/时．则这次行车的总费用最低为________元．答案260解析设所用时间为t＝eq\f(130,x)小时，这次行车的总费用为y元．则由题意知y＝eq\f(13