高中数学第一章立体几何初步7.3球的表面积和体积课时作业（含解析）北师大版必修2

第一章立体几何初步[课时作业][A组基础巩固]1．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的()A．2倍 B．2eq\r(2)倍C.eq\r(2)倍 D.eq\r(3,2)倍解析：由面积扩大的倍数可知半径扩大为原来的eq\r(2)倍，则体积扩大到原来的2eq\r(2)倍．答案：B2．一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个圆面的距离是4cm，则该球的体积是()A.eq\f(100π,3)cm3 B.eq\f(208π,3)cm3C.eq\f(500π,3)cm3 D.eq\f(416\r(13)π,3)cm3解析：根据球的截面的性质，得球的半径R＝eq\r(32＋42)＝5(cm)，所以V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(500π,3)(cm3)．答案：C3．已知正方体的外接球的体积是eq\f(32,3)π，那么正方体的棱长等于()A．2eq\r(2) B.eq\f(2\r(3),3)C.eq\f(4\r(2),3) D.eq\f(4\r(3),3)解析：设球的半径为R，正方体的棱长为a，则V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32,3)π，∴R＝2，∵正方体的外接球直径与正方体的体对角线等长，∴42＝3a2，即a＝eq\f(4\r(3),3).答案：D4.如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是()A．9π B．10πC．11π D．12π解析：由三视图可知该几何体上面是个球，下面是个圆柱，由已知数据得表面积S＝S球＋S圆柱＝4π×12＋2π×12＋2π×1×3＝12π.答案：D5．已知长方体的三条棱长分别是3,4，x，且它的8个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积为125π，则x的值为()A．5 B．6C．8 D．10解析：设球的半径为r，则4π2＝125π，∴r2＝eq\f(125,4).又32＋42＋x2＝(2r)2，∴9＋16＋x2＝125，∴x2＝100，即x＝10.答案：D6．若一个球的体积为4eq\r(3)π，则它的表面积为________．解析：设球的半径为R，则V球＝eq\f(4,3)πR3＝4eq\r(3)π，∴R＝eq\r(3)，∴S球＝4πR2＝4π×3＝12π.答案：12π7．毛泽东在《送瘟神》中写到：“坐地日行八万里”．又知地球的体积大约是火星的8倍，则火星的大圆周长约为________万里．解析：由地球和火星的体积比可知地球半径为火星半径的2倍，日行8万里指地球大圆的周长，即2πR地球＝8，故R地球＝eq\f(4,π)(万里)，所以火星的半径为eq\f(2,π)万里，其大圆的周长为4万里．答案：48．已知一个表面积为24的正方体，设有一个与每条棱都相切的球，则此球的体积为________．解析：设正方体的棱长为a，则6a2＝24，解得a＝2.又球与正方体的每条棱都相切，则正方体的面对角线长2eq\r(2)等于球的直径，则球的半径是eq\r(2)，则此球的体积为eq\f(4,3)π(eq\r(2))3＝eq\f(8\r(2),3)π.答案：eq\f(8\r(2),3)π9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱，左右两端均为半球，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．解析：该组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π，该组合体的体积V＝eq\f(4,3)πr3＋πr2l＝eq\f(4,3)π×13＋π×12×3＝eq\f(13π,3).10.如图，一个长、宽、高分别是80cm，60cm,55cm的水槽中有水200000cm3.现放入一个直径为50cm的木球，如果木球的eq\f(2,3)在水中，eq\f(1,3)在水上，那么水是否会从水槽中流出？解析：水槽的容积V＝80×60×55＝264000(cm3)，木球的体积V木＝eq\f(4,3)π×253≈65417(cm3)．∵200000＋65417×eq\f(2,3)≈243611<V，∴水不会从水槽中流出．[B组能力提升]1.如图所示的是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，则圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为()A.eq\f(3,2)，eq\f(3,2) B.eq\f(4,3)，1C.eq\f(3,2)，1 D.eq\f(4,3)，eq\f(4,3)解析：设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，所以V圆柱＝πR2×2R＝2πR3，V球＝eq\f(4,3)πR3，eq\f(V圆柱,V球)＝eq\f(3,2)；S圆柱＝2πR×2R＋2πR2＝6πR2，S球＝4πR2，eq\f(S圆柱,S球)＝eq\f(3,2)，故选A.答案：A2．球面上有三点A、B、C，且AB＝18，BC＝24，AC＝30，又球心到平面ABC的距离为半径的eq\f(1,2)，那么这个球的半径为()A．10eq\r(3) B．10C．20 D．30解析：因为AB2＋BC2＝AC2，所以△ABC为直角三角形．设球的半径为R，则R2＝(eq\f(1,2)R)2＋152，所以R＝10eq\r(3).答案：A3．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为________．解析：由三视图可知该几何体为三棱锥，此三棱锥的底面为直角三角形，直角边长分别为5,4，棱锥的高为3，把三棱锥补成长方体，则长方体的体对角线长等于该三棱锥外接球的直径．设球的半径为R，因为长方体的体对角线长为eq\r(32＋42＋52)＝5eq\r(2)，所以R＝eq\f(5\r(2),2)，所以所求外接球的表面积S＝4πR2＝50π.答案：50π4.如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积．(其中∠BAC＝30°)解析：如图所示，过C作CO1⊥AB于O1.在半圆中可得∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2R，∴AC＝eq\r(3)R，BC＝R，CO1＝eq\f(\r(3),2)R，∴S球＝4πR2，S圆锥AO1侧＝π×eq\f(\r(3),2)R×eq\r(3)R＝eq\f(3,2)πR2，S圆锥BO1侧＝π×eq\f(\r(3),2)R×R＝eq\f(\r(3),2)πR2，∴S几何体表＝S球＋S圆锥AO1侧＋S圆锥BO1侧＝eq\f(11,2)πR2＋eq\f(\r(3),2)πR2＝eq\f(11＋\r(3),2)πR2.故旋转所得几何体的表面积为eq\f(11＋\r(3),2)πR2.5．一倒置圆锥体的母线长为10cm，底面半径为6cm.(1)求圆锥体的高；(2)若有一球刚好放进该圆锥体(球与圆锥的底面相切)中，求这个球的半径以及此时圆锥体剩余空间的体积．解析：(1)设圆锥的高为h，底面半径为R，母线长为l，则h＝eq\r(l2－R2)＝eq\r(102－62)＝8(cm)，所以圆锥体的高为8cm.(2)球放入圆锥体后的轴截面如图所示，设球的半径为r.易得△OCD∽△ACO1，∴eq