高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算限时规范训练新人教A版必修4

2.3.3平面向量的坐标运算【基础练习】1．已知i，j分别是方向与x轴正方向、y轴正方向相同的单位向量，O为原点，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(x∈R)，则A位于()A．第一、二象限 B．第二、三象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】∵x2＋x＋1＞0，－(x2－x＋1)＜0，∴点A位于第四象限．故选D．2．已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝a且Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，4))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，2))，又λ＝eq\f(1,2)，则λa等于()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,8)，－1)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，3))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，1)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，－3))【答案】A【解析】a＝eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，2))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，4))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，－2))，λa＝eq\f(1,2)a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,8)，－1)).故选A．3．(2018年北京期末)若向量a＝(0，－1)，b＝(3,2)，则向量2a＋b的坐标是()A．(3,1) B．(5,0)C．(3,4) D．(3,0)【答案】D【解析】根据题意，向量a＝(0，－1)，b＝(3,2)，则2a＝(0，－2)，2a＋b＝(3,0)．故选D．4．(2019年云南模拟)已知点A(－1,1)，B(0,2)，若向量eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2,3)，则向量eq\o(BC,\s\up6(→))＝()A．(3，－2) B．(2，－2)C．(－3，－2) D．(－3,2)【答案】D【解析】由A(－1,1)，B(0,2)，得eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0,2)－(－1,1)＝(1,1)．又eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2,3)，则eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－2,3)－(1,1)＝(－3,2)．故选D．5．(2018年安徽黄山一模)已知平面上三点A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，则eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(BC,\s\up6(→))的坐标是________．【答案】(－3,6)【解析】根据题意，A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，则eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－10,14)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－8,4)，则eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－5,7)，eq\f(1,4)eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－2,1)，则eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－3,6)．6．(2019年河南模拟)在平行四边形ABCD中，已知A(1,2)，B(－2,0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2，－3)，则点D的坐标为________．【答案】(6,1)【解析】设D(x，y)，由A(1,2)，B(－2,0)，可得eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3，－2)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(x－1，y－2)．由平行四边形ABCD，可得eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，即(2，－3)＝(－3，－2)＋(x－1，y－2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝－3＋x－1，,－3＝－2＋y－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝1，))则D(6,1)．7．在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．已知点D在线段BC上且eq\o(BD,\s\up6(→))＝3eq\o(DC,\s\up6(→))，求线段AD的长度．【解析】设点D的坐标为(x，y)，由eq\o(BD,\s\up6(→))＝3eq\o(DC,\s\up6(→))，得(x－2，y－3)＝3(－2－x，－1－y)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2＝－6－3x，,y－3＝－3－3y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝0，))即点D的坐标为(－1,0)．又点A(－1，－2)，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝(0,2)，∴|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2，即线段AD的长度为2.8．若平行四边形ABCD的三个顶点为A(－1,3)，B(3,4)，C(2,2)，求顶点D的坐标．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)).设点D的坐标为(x，y)．可得(4,1)＝(2－x,2－y)，解得x＝－2，y＝1.故顶点D的坐标为(－2,1)．【能力提升】9．已知向量a，b满足a＋b＝(1,3)，a－b＝(3，－3)，则a，b的坐标分别为()A．(4,0)，(－2,6) B．(－2,6)，(4,0)C．(2,0)，(－1,3) D．(－1,3)，(2,0)【答案】C【解析】∵a＋b＝(1,3)，a－b＝(3，－3)，∴2a＝(1,3)＋(3，－3)＝(4,0)，2b＝(1,3)－(3，－3)＝(－2,6)．∴a＝(2,0)，b＝(－1,3)．10．(2019年广东梅州月考)已知点O为原点，A(－1,3)，B(2，－4)，eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))＋meq\o(OB,\s\up6(→))，若点P在y轴上，则实数m＝()A．0 B．1C．－1 D．－2【答案】B【解析】eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))＋meq\o(OB,\s\up6(→))＝2(－1,3)＋m(2，－4)＝(2m－2，－4m＋6)，则P(2m－2，－4m＋6)．若点P在y轴上，则2m－2＝0，解得m＝1.故选B．11．已知平面内三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，则满足a＝mb＋nc的实数m＝________，n＝________.【答案】eq\f(5,9)eq\f(8,9)【解析】∵a＝mb＋nc，∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＝－m＋4n，,2＝2m＋n，))解得m＝eq\f(5,9)，n＝eq\f(8,9).12．已知向量u＝(x，y)与向量ν＝(y,2y－x)的对应关系用ν＝f(u)表示．(1)设a＝(1,1)，b＝(1,0)，求向量f(a)及f(b)的坐标；(2)求使f(c)＝(p，q)(p，q为常数)的向量c的坐标；(3)求证：对于任意向量a，b及常数m，n，恒有f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立．【解析】(1)f(a)＝(1,2×1－1)＝(1,1)，f(b)＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．(2)设c＝(x，y)，则f(c)＝(y,2y－x)＝(p，q)．∴y＝p,2y－x＝q.∴x＝2p－q.∴向量c＝(2p－q，p