新教材高考数学全程一轮总复习第十章计数原理概率随机变量及其分布第四节事件的相互独立性与条件概率学生用书

第四节事件的相互独立性与条件概率【课标标准】1.了解两个随机事件独立性的含义，利用独立性计算概率.2.了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率.3.了解条件概率与独立性的关系，会用乘法公式计算概率.4.会利用全概率公式计算概率．必备知识·夯实双基知识梳理对任意的两个事件A与B，如果P(AB)＝________成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．如果事件A1，A2，…，An相互独立，则P(A1A2…An)＝________________．2．条件概率(1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝________为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．(2)公式：①利用古典概型：P(A|B)＝________；②概率的乘法公式：P(AB)＝________．3．全概率公式一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意事件B⊆Ω，[常用结论]1．两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两个事件相互独立是指一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥．2．若事件A与事件B相互独立，则A与B，A与B，A与3．计算条件概率P(B|A)时，不能随便用事件B的概率P(B)代替P(AB)．夯实双基1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)掷两枚质地均匀的骰子，设A＝“第一枚出现的点数大于2”，B＝“第二枚出现的点数小于6”，则A与B相互独立．()(2)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．()(3)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．()(4)若A，B相互独立，且P(A)＝，P(B)＝，则A，B都不发生的概率为0.3.()2．(教材改编)天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率是，乙地的降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为________．3．(教材改编)某班为响应校团委发起的“青年大学习”号召组织了有奖知识竞答活动，第一环节是一道必答题，由甲乙两位同学作答，每人答对的概率均为，两人都答对的概率为，则甲答对的前提下乙也答对的概率是________．(用分数表示)4．(易错)某电视台的夏日水上闯关节目中的前四关的过关率分别为56A．725B．C．1225D．5．(易错)从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝________．关键能力·题型突破题型一相互独立事件的概率例1[2023·河北元氏模拟]第32届夏季奥林匹克运动会于2021年7月23日至8月8日在日本东京举办，某国男子乒乓球队为备战本届奥运会，在某训练基地进行封闭式训练，甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为23，乙发球甲赢的概率为14(1)求该局打4个球甲赢的概率；(2)求该局打5个球结束的概率．题后师说独立事件概率的求法(1)解答这类概率综合问题时，一般“大化小”，即将问题划分为若干个彼此互斥事件，然后运用概率的加法公式和乘法公式来求解，在运用乘法公式时一定要注意是否满足相互独立，只有相互独立才能运用乘法公式．(2)在求事件的概率时，有时遇到求“至少……”或“至多……”等事件概率的问题，如果从正面考查这些问题，它们是诸多事件的和或积，求解过程繁琐，但“至少……”“至多……”这些事件的对立事件却往往很简单，其概率也易求出，此时，可逆向思考，先求其对立事件的概率，再利用概率的和与积的互补公式求得原来事件的概率．这是“正难则反”思想的具体体现．巩固训练1[2023·河南郑州期末]甲、乙、丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约．甲表示只要面试合格就签约，乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设甲面试合格的概率为14，乙、丙每人面试合格的概率都是1(1)恰有一人面试合格的概率；(2)至多一人签约的概率．题型二条件概率例2[2023·北京大兴期末]某次抽奖活动共有50张奖券，其中5张写有“中奖”字样，抽完的奖券不再放回．若甲抽完之后乙再抽．(1)求在甲中奖的条件下，乙中奖的概率；(2)证明：甲中奖的概率与乙中奖的概率相等．题后师说求条件概率的常用方法巩固训练2已知一个不透明的口袋中有4个白球和8个红球，球除颜色外完全相同．(1)若一个人从口袋中随机抽取一个球，求其抽取到白球的概率；(2)若一个人从口袋中随机不放回连续抽取球两次，每次抽取一个球，求在第一次抽取出白球的条件下第二次抽取出的也是白球的概率．题型三全概率公式的应用例3已知甲箱产品中有5个正品和3个次品，乙箱产品中有4个正品和3个次品．(1)如果依次不放回地从乙箱中抽取2个产品，求第2次取到次品的概率；(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求从乙箱中取出的这个产品是正品的概率．题后师说利用全概率公式求解概率的步骤巩固训练3鲜花饼是以云南特有的食用玫瑰花入料的酥饼，是具有云南特色的云南经典点心代表，鲜花饼的保质期一般在三至四天．据统计，某超市一天鲜花饼卖出3箱的概率为15，卖出2箱的概率为12，卖出1箱的概率为15(1)在第一天结束营业后货架上有2箱鲜花饼的条件下，求第二天结束营业时货架上有1箱存货的概率；(2)求第二天结束营业时货架上有1箱存货的概率．1.[2020·新高考Ⅰ卷]某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A．62%B．56%C．46%D．42%2．[2022·全国乙卷]某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1，p2，p3，且p3>p2>p1p，则()A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大3．[2022·新高考Ⅰ卷节选]一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，PBAPBA(1)证明：R＝PABP(2)利用该调查数据，给出P(A|B)，P(A|B)的估计值，并利用(ⅰ)的结果给出R的估计值．4．[2020·全国Ⅰ卷]甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为12(1)求甲连胜四场的概率；(2)求需要进行第五场比赛的概率；(3)求丙最终获胜的概率．第四节事件的相互独立性与条件概率必备知识·夯实双基知识梳理1．P（A）·P（B）P（A1）P（A2）…P（An）2．（1）P（AB）3.i-1nP（A夯实双基1．答案：(1)√(2)×(3)√(4)√2．解析：设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有一地降雨为AB+AB，∴P(AB+AB)＝P(AB)＋P(AB)＝P(A)P(B)＋P(A)答案：3．解析：记事件A：甲答对，事件B：乙答对，则有：P(A)＝P(B)＝，P(AB)＝，所以P(B|A)＝PABPA＝0.5答案：54．解析：该选手能进入第四关的概率为56×45×35答案：D5．解析：P(A)＝C32+C22C52＝25，P(AB)＝C22C答案：1关键能力·题型突破例1解析：(1)设甲发球甲赢为事件A，乙发球甲赢为事件B，该局打4个球甲赢为事件C，由题知，P(A)＝23，P(B)＝14，∴C＝AB∴P(C)＝P(ABAB)＝P(A)P(B)P(A)P(B)＝23×3∴该局打4个球甲赢的概率为112(2)设该局打5个球结束时甲赢为事件D，乙赢为事件E，打5个球结束为事件F，易知D，E为互斥事件，D＝ABABA，E＝ABABA，F＝D∪E∴P(D)＝P(ABABA)＝P(A)P(B)P(A)P(B)P(A)＝(1－23)×14×(1－23)×1P(E)＝P(ABABA)＝P(A)P(B)P(A)P(B)P(A)＝23×(1－14)×23×(1－14∴P(F)＝P(D∪E)＝P(D)＋P(E)＝1216+1∴该局打5个球结束的概率为19216巩固训练1解析：(1)记事件A：甲面试合格，事件B：乙面试合格，事件C：丙面试合格，事件D：恰好有一人面试合格，依题意，事件A、B、C相互独立，P(D)＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝14(2)至多一人签约包括甲签约乙丙没有签约、三人都没有签约两种情况，事件F：甲签约乙丙没有签约，事件G：三人都没有签约，事件E：至多一人签约，因为F与G互斥，所以P(E)＝P(F)＋P(G)，P(F)＝P(A)(1－P(BC))＝14×(1－13×P(G)＝(1－P(A))(1－P(BC))＝34×8P(E)＝P(F)＋P(G)＝29+2所以至多一人签约的概率为89例2解析：(1)设事件A为甲中奖，事件B为乙中奖，因为抽完的奖券不再放回，所以甲中奖的条件下，乙抽奖时，有49张奖券且4张写有“中奖”字样，所以在甲中奖的条件下，乙中奖的概率P(B|A)＝449(2)证明：P(A)＝550＝1乙中奖分两种情况，当甲不中奖时，乙抽奖时，有49张奖券且5张写有“中奖”字样，则在甲不中奖的条件下，乙中奖的概率P(B|A)＝549＝P所以甲不中奖且乙中奖的概率P(AB)＝549×9在甲中奖的条件下，乙中奖的概率P(B|A)＝449＝P所以甲中奖且乙中奖的概率P(AB)＝449×1所以乙中奖的概率P(B)＝45490+4所以甲中奖的概率与乙中奖的概率相等．巩固训练2解析：(1)从口袋中随机抽取一个球，抽取到白球的概率P＝44+8＝1(2)记“第一次抽取出球是白球”为事件A，“第二次抽取出球是白球”为事件B，则第一次抽取出白球和第二次抽取出球也是白球的概率P(AB)＝412×3所以在第一次取出白球的条件下第二次取出的也是白球的概率P(B|A)＝PABPA＝1例3解析：(1)令事件Ai＝“第i次从乙箱中取到次品”，i＝1，2，则P(A1)＝37，P(A2|A1)＝26＝13，P(A2|A1)＝因此P(A2)＝P(A2A1＋A2A1)＝P(A1)·P(A2|A1)＋P(A1)·P(A2|A1)＝3所以第2次取到次品的概率是37(2)令事件A＝“从乙箱取一个正品”，事件B1＝“从甲箱中取出两个正品”，事件B2＝“从甲箱中取出一个正品一个次品”，事件B3＝“从甲箱中取出两个次品”，B1，B2，B3互斥，且B1∪BP(B1)＝C52C82＝514，P(B2)＝C51C31C82＝1528，P(B3)＝C32C82＝328，P(A|B1则P(A)＝P(B1)·P(A|B1)＋P(B2)·P(A|B2)＋P(B3)·P(A|B3)＝514×6所以从乙箱中取出的这个产品是正品的概率是712巩固训练3解析：(1)设事件A：“第二天开始营业时货架上有3箱鲜花饼”，事件B：“第二天开始营业时货架上有2箱鲜花饼”，事件C：“第二天结束营业时货架上有1箱存货”，因为第一天结束营业后货架上有2箱鲜花饼，故第二天只卖出1箱，故P(C|B)＝15(2)由题意P(A)＝110+15+12＝45，P(B)＝15由全概率公式得P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝45×1真题展台——知道高考考什么？1．解析：记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A＋B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A·B，则P(A)＝，P(B)＝，P(A＋B)＝0.96.所以P(A·B)＝P(A)＋P(B)－P(A＋B)＝＋－＝0.46.所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选C.答案：C2．解析：设第二盘与甲比赛，则p甲＝p2p1(1－p3)＋(1－p2)p1p3＝p1(p2＋p3－2p2p3)．设第二盘与乙比赛，则p乙＝p2p1(1－p3)＋(1－p1)p2p3＝p2(p1＋p3－2p1p3)．设第二盘与丙比赛，则p丙＝p3p1(1－p2)＋(1－p1)p2p3＝p3(p1＋p2－2p1p2)．p甲－p乙＝p3(p1－p2)<0，p甲－p丙＝p2(p1－p3)<0，p乙－p丙＝p1(p2－p3)<0，故p丙>p乙>p甲．选D.答案：D3．解析：(1)证明：∵R＝PBAPBAPBAPBA＝PBAPBPABP(A|B)·P＝PABP(AB)·∴R＝PABP(2)由表格中的数据，得P(A|B)＝40100＝25，P(A|