高中数学第二章推理与证明2.2.1综合法和分析法第2课时分析法练习含解析新人教A版选修1-

第2课时分析法A级基础巩固一、选择题1．关于综合法和分析法的说法错误的是()A．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法B．综合法又叫顺推证法或由因导果法C．综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法D．分析法又叫逆推证法或执果索因法解析：由综合法和分析法的意义与特点，知C错误．答案：C2．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：eq\r(b2－ac)<eq\r(3)a，则证明的依据应是()A．a－b>0 B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0解析：eq\r(b2－ac)<eq\r(3)a⇔b2－ac<3a2⇔(a＋c)2－ac<3a2⇔(a－c)·(2a＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0.答案：C3．若a＞1，0＜b＜1，则下列不等式中正确的是()A．ab＜1 B．ba＞1C．logab＜0 D．logba＞0解析：因为a＞1，0＜b＜1，所以logab＜loga1＝0.答案：C4．对于不重合的直线m，l和平面α，β，要证明α⊥β，需要具备的条件是()A．m⊥l，m∥α，l∥βB．m⊥l，α∩β＝m，l⊂αC．m∥l，m⊥α，l⊥βD．m∥l，l⊥β，m⊂α解析：对于选项A，与两相互垂直的直线平行的平面的位置关系不能确定；对于选项B，平面内的一条直线与另一个平面的交线垂直，这两个平面的位置关系不能确定；对于选项C，这两个平面有可能平行或重合；根据面面垂直的判定定理知选项D正确．答案：D5．设P＝eq\r(2)，Q＝eq\r(7)－eq\r(3)，R＝eq\r(6)－eq\r(2)，则P，Q，R的大小关系是()A．P>Q>R B．P>R>QC．Q>P>R D．Q>R>P解析：先比较Q与R的大小．Q－R＝eq\r(7)－eq\r(3)－(eq\r(6)－eq\r(2))＝(eq\r(7)＋eq\r(2))－(eq\r(6)＋eq\r(3))．因为(eq\r(7)＋eq\r(2))2－(eq\r(6)＋eq\r(3))2＝7＋2＋2eq\r(14)－(6＋3＋2eq\r(18))＝2(eq\r(14)－eq\r(18))<0，所以Q<R.又P＝eq\r(2)>R＝eq\r(2)(eq\r(3)－1)，所以P>R>Q.答案：B二、填空题6．如果aeq\r(a)＋beq\r(b)>aeq\r(b)＋beq\r(a)，则实数a，b应满足的条件是________．解析：aeq\r(a)＋beq\r(b)>aeq\r(b)＋beq\r(a)⇔aeq\r(a)－aeq\r(b)>beq\r(a)－beq\r(b)⇔a(eq\r(a)－eq\r(b))>b(eq\r(a)－eq\r(b))⇔(a－b)(eq\r(a)－eq\r(b))>0⇔(eq\r(a)＋eq\r(b))(eq\r(a)－eq\r(b))2>0，故只需a≠b且a，b都不小于零即可．答案：a≥0，b≥0且a≠b7．已知a，b，μ∈(0，＋∞)，且eq\f(1,a)＋eq\f(9,b)＝1，则使得a＋b≥μ恒成立的μ的取值范围是________．解析：因为a，b∈(0，＋∞)，且eq\f(1,a)＋eq\f(9,b)＝1，所以a＋b＝(a＋b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(9,b)))＝10＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9a,b)＋\f(b,a)))≥10＋2eq\r(9)＝16，所以a＋b的最小值为16，所以要使a＋b≥μ恒成立，需16≥μ，所以0<μ≤16.答案：(0，16]8．如图，在直四棱柱A1B1C1D1­ABCD(侧棱与底面垂直)中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)．解析：要证明A1C⊥B1D1只需证明B1D1⊥平面A1C1C因为CC1⊥B1D1只要再有条件B1D1⊥A1C1，就可证明B1D1⊥平面A1CC1从而得B1D1⊥A1C1.答案：B1D1⊥A1C1(答案不唯一)三、解答题9．已知a>1，求证：eq\r(a＋1)＋eq\r(a－1)<2eq\r(a).证明：因为a>1，要证eq\r(a＋1)＋eq\r(a－1)<2eq\r(a)，只需证(eq\r(a＋1)＋eq\r(a－1))2<(2eq\r(a))2，只需证a＋1＋a－1＋2eq\r(（a＋1）（a－1）)<4a，只需证eq\r(（a＋1）（a－1）)<a，只需证a2－1<a2，即证－1<0.该不等式显然成立，故原不等式成立．10．求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大．证明：设圆和正方形的周长为L，依题意，圆的面积为πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,2π)))eq\s\up12(2)，正方形的面积为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,4)))eq\s\up12(2)，因此本题只需证明πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,2π)))eq\s\up12(2)＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,4)))eq\s\up12(2)，要证明上式成立，只需证明eq\f(πL2,4π2)＞eq\f(L2,16)成立，即证明eq\f(L2,4π)＞eq\f(L2,16)，两边同乘以eq\f(4,L2)，得eq\f(1,π)＞eq\f(1,4)，因为上式显然成立，所以πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,2π)))eq\s\up12(2)＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,4)))eq\s\up12(2).所以，如果一个圆与一个正方形的周长相等，那么这个圆的面积比这个正方形的面积大．[B级能力提升]1．欲证eq\r(2)－eq\r(3)<eq\r(6)－eq\r(7)成立，只需证()A．(eq\r(2)－eq\r(3))2<(eq\r(6)－eq\r(7))2B．(eq\r(2)－eq\r(6))2<(eq\r(3)－eq\r(7))2C．(eq\r(2)＋eq\r(7))2<(eq\r(3)＋eq\r(6))2D．(eq\r(2)－eq\r(3)－eq\r(6))2<(－eq\r(7))2解析：根据不等式性质，a>b>0时，才有a2>b2，所以只需证：eq\r(2)＋eq\r(7)<eq\r(6)＋eq\r(3)，只需证：(eq\r(2)＋eq\r(7))2<(eq\r(3)＋eq\r(6))2.答案：C2．设函数f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f(1)>1，f(2)＝eq\f(3a－4,a＋1)，则实数a的取值范围是________．解析：因为f(x)是周期为3的奇函数，且f(1)>1，所以f(2)＝f(－1)＝－f(1)，因此eq\f(3a－4,a＋1)<－1，则eq\f(4a－3,a＋1)<0，解之得－1<a<eq\f(3,4).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(3,4)))3．设实数a，b，c成等比数列，非零实数x，y分别为a与b，b与c的等差中项，证明：eq\f(a,x)＋eq\f(c,y)＝2.证明：要证明eq\f(a,x)＋eq\f(c,y)＝