等比数列范围最值及函数性质2022-2023学年高二数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019选择性必修第二册）（解析版）

专题18等比数列范围最值及函数性质

目录

【题型一】等比数列前n项积....................................................................1

【题型二】与通项和Sn有关的正负比较...........................................................4

【题型三】等比数列函数性质....................................................................5

【题型四】等比数列与范围......................................................................7

【题型五】等比数列最值........................................................................8

【题型六】恒成立求参..........................................................................10

【题型七】等比数列复合型：“下标数列”........................................................12

【题型八】递推公式构造等比型.................................................................14

【题型九】递推：二阶等比数列.................................................................15

【题型十】等比数列文化应用题.................................................................17

培优第一阶——基础过关练.....................................................................19

培优第二阶——能力提升练.....................................................................21

培优第三阶——培优拔尖练.....................................................................25

w---------------------------------

，鸳热点题型归纳

【题型一】等比数列前n项积

【典例分析】

已知等比数列｛q｝满足q=32,q=-g,记a„(«eN+),则数列｛7；｝()

A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项

C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项

【答案】A

【分析】求出等比数列｛a,,｝的通项公式进而求出I,再由数列最大项、最小项的意义判断作答.

【详解】依题意，等比数列的通项公式a“=aq"T=32.(一:)1=果2,

n(M-l)

23(_])〃T(_])I+2+3++(n-l)1

T1-1(-D(-D(-1产

,\Tn\=〃(〃一11),

"一尹^^5p-,“-6,(-5)+(-4)+(-3)++(〃-6)1)

(，?+1乂〃-10)

由三±1=21「=25-”21知，时，数列｛1(1｝是递增的，时，数列｛I7J｝是

\T,.\

递减的，

于是得数列｛111｝的最大项为141=1(1=*，而〃为奇数时，北＞0,〃偶数时，北＜0,

所以7；=23和7；=-2”分别是数列｛7；,｝的最大项和最小项.

故选：A

【提分秘籍】

基本规律

可以类比前n项和求通项过程来求数列前n项积:

l.n=l,得ai

2.nN2时，aM

,“-I

｛T,(n=l)

所以a.=<

【变式训练】

1.已知等差数列｛%｝,等比数列也｝的前n项和之积为22"1+22向〃-〃2-2〃，设等差数列｛%｝的公差为d、

等比数列｛"｝的公比为q,则以下结论正确的个数是()

①4=3②4=2③仇=3④g=4

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【分析】由题意设等差数列｛“、等比数列也｝的前〃项和分别为A1+B〃，C-Cq",因式分解得

2?”r+2?向”-*-2〃=(1+2〃)Q2"-1),从而得-C(A"?+时"-1)=(〃2+2矶4"-1),即可求解出q=4,

无法求解出4,伉,d,可得答案.

【详解】显然等比数列｛a｝不是常数列，

设等差数列｛%｝、等比数列也｝的前〃项和分别为A/+8"，C-Cq",

其中A,B,C,q为常数,Cq^O,q^\,

因为22”“2+22同〃_〃2_2〃=(〃2+2")Q2"-1),

即等差数列｛%｝、等比数列也｝的前n项和之积为何+2〃)(22"-1),

所以(而+8中仁一。9")=(〃2+2〃)(22"-1),

所以—。(而+坳)@-1)=(〃2+2〃乂4"-1),

所以4=4,-04=1,-8=2,所以不能判断出q,耳，”的值，故只有④正确.

故选：A

2..已知｛凡｝为等比数列，｛/｝的前"项和为S,,前〃项积为7.，则下列选项中正确的是()

A.若S2022As谢,则数列｛““｝单调递增

B.若金22＞4m，则数列｛““｝单调递增

C.若数列⑸｝单调递增，则叼竣2%⑼

D.若数列区｝单调递增,则吸泄⑼

【答案】D

【分析】根据等比数列的前〃项和公式与通项公式可得生侬>。与“2022>1，进而可得可、0取值同号，即可

判断A、B；

举例首项和公比的值即可判断C；

根据数列的单调性可得进而得到4>1,求出夕21,即可判断D.

【详解】A：由S畋2>S加，得喙>。，即4产bO,则%、4取值同号，

若4<0,g<0,则｛4｝不是递增数列，故A错误；

B：由n022>4)21，得々022>1，即4g23>1,则可、<7取值同号,

若q<0,q<0,则数列｛4｝不是递增数列，故B错误；

1八1

C：若等比数列％=1,公比4=彳，则3=-^-=2(1--),

21--2

2

所以数列⑸｝为递增数列，但%)22<%)2一故C错误；

D：由数列凡｝为递增数列,得一>数T，所以勺>列

a

即921,所以“2022—2O2l,故D1E确.

故选：D

3.设正项等比数列｛q｝的前"项和为S"，q=9,4=1.记1=444,(〃=1,2,)，下列说法正确的是()

A.数列应｝的公比为YB.S„>^-

C.7；存在最大值，但无最小值D.7X=(6f)

【答案】C

【分析】根据题意，由4=9,%=1求出公比4,可判断A的正误；利用等比数列的前〃项和公式求出S,,,

可判断B的正误；根据题意求出7；,可判断C,D的正误.

【详解】因为4=9,4=1，

所以正项等比数列｛«„｝的公比4满足八十"，且q>0,

所以q=g,故A错误；

由等比数列的前8项和公式可得，s，(j”)

"1-q

3

因为<1,所以S“<§，故B错误；

因为a“=6q"T=9x(g)=3""，

〃(2+3-〃)-£+5”

加以1=4%4=32x3、X33-"=32"+3-"=32=32,

易知f2+5.43,由指数函数单调性可知0<3?427，

所以7；存在最大值，但无最小值，故C正确；

2

-nr+5n-n2+5n--n+3n+6二，？““

2322故D错误;

Tna„=3X3'N=3=3=(若)丰

故选：c.

【题型二】与通项和Sn有关的正负比较

【典例分析】

已知数列｛m｝是等比数列，其前"项和为S”，则下列结论正确的是()

A.若4/+〃2>0，则4/+03>0B.若4/+03>0,则4/+〃2>0

C.若幻>0,则S2O2/>0D.若。/>0,则5202。>0

【答案】C

【分析】结合等比数列的有关知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.

【详解】A选项，等比数列:-3,6-12,,满足4+出>0,但4+%<0,A错误.

B选项，等比数列:3,-6,12,,满足q+%>0,但q+的<0,B错误.

l-a202'

C选项，4>0,若q=l,则S,。”=20214>0；若qwO,则S,⑼=qx——,此时1-<?.与1-4同号,

1-<7

l-a202'

所以S202i=qx-r”—>o,c正确.

「q

1-(一2户2°

D选项,4>0,若。=-2,贝IJSMO=%x”号工。,D错误.

1-(-2)

故选：C

【变式训练】

1.设等比数列｛%｝的前〃项和为S“，其中〃GN,,则下列说法正确的是()

A.若外>《>0,则可>0(n=\,2,3....)

B.若。3>%>0，则5“>0(〃=1,2,3....)

C.若％+"2+4>“2+4>。，则S">。(n=l»2,3,...)

D.若4+4+4>4+4>0，则4>0(〃=1,2,3,...)

【答案】C

【分析】根据等比数列通项公式和前〃项和公式分析首项〃/,公比q的范围即可得解.

(详解］设等比数列｛%｝(〃€N,)的公比q班

由％>4>0,即。M2>4>0得4>0,4>1或4<T,当4>0,q<T,〃为偶数时，«„=«,<,<0,即A不

正确；

当4>0国<-1,〃为偶数时，/>1,S.二畔一夕)-<0,B不正确；

1-<7

由%+%+4>%+4>0，即+qq+q>44+4>0得4>0,^>-1,

当4>0,-1<4<0,〃为偶数时，4=adi<0,即D不正确；

q>0,-1<4<0或Sjia)>0,a,>0,^=1^,S„=na,>0,

"q

4>0应>1时，q">\,S"=a°_q)=1(4T)>0,所以幻乂)，q>.\,»),有*>0,即C正确.

\-qq-\

故选：C

2.等比数列｛《,｝各项均为实数，公比为<?,给出以下三个结论：①若。臼<0,则4%<0;②若G+q<。，

且为+为>0,则q<T;③若用<0,则(4+「％)(%+1-4,+2)<0.其中所有正确结论的个数为()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】选项①，由4/<0可得4<0,转化44=分析可判断；

选项②，用基本量表示4，%，4，%可得4(1+。')<。，q(q2+q4)>0,分析即可判断；

选项③，由的向<0,可得”0,转化限）=-（〜-4）%，分析可得解

【详解】选项①，若4/<0,贝肥片<0,又。；>0,则q<0,故如&=〃曾<0,正确；

选项②，若q+%<。，生+4〉。，则q（i+d）<。，弓⑷+心〉。

由于/+/>0,故4>0,即1+。3<0=4*<-1=4<-1,正确；

选项③，若44+1<。,则4》<0,则4<0,则（％-4,）（。“+|-。,+2）=-（4用一4,）%

由于故（%+|-q）2>0，故（4+|-4,）（4+|-4+2）=一（4+1一%）24>0,错误

故其中正确结论的个数为2

故选：C

3.已知等比数列｛4｝的前〃项和为5“，下列一定成立的是（）

A.若例>0，则$2023>0B.若%>0，则$2023<0

C.若%>0,贝”2022>0D.若%>0,则S2022Vo

【答案】A

【分析】根据题意，结合特殊值4=1,g=T,4片±1三类情况讨论求解即可.

【详解】解：当等比数列｛%｝的公比为9=1时，由%>0或%>0得4>0,进而5,,=〃4>0，故BD选项

不满足；

当g=-l时，由/>0得q>0，此时$2023=4>0，由。4>0得4<0，$2022=°，故C选项不满足；

当4*±1时，由/>。得4>。，故当夕«YO,T）（-1,0）（0,1）（1,小》）时，S.="~~->0.故A

1-q

选项满足.

由4=。4〉°得4闯同号，故当夕«田,一1）时，$2022=」------^>0；当底（f,T）时，

i-q

52。22=1>0；*4«0,1）时，$2期=1>0：”'"«1,+00）时，S2°22=l>0.故

1-（7\-q\-q

S2O22>。不恒成立，C选项错误.

故选：A

【题型三】等比数列函数性质

【典例分析】

设无穷等比数列｛4｝,贝1]“0<生<4"是”｛%｝为递减数列”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由已知条件0</<可可以得出等比数列公比的范围，然后结合通项公式判断｛4｝的单调性；反之,

举出反例说明｛4｝为递减数列但"0<々<q"不成立.

【详解】因为｛4｝为无穷等比数列，0<々<4,所以公比4满足°<4=生<1，

%

所以有%向=%4，即｛4｝为递减数列;

反之，若无穷等比数列｛q｝是递减数列，则它的笫一项和第二项可以为负，

如-!，-2，-1，T，-2……,所以不一定得到。<的<4,

所以，，0<生<4”是"｛q｝为递减数列”的充分而不必要条件，

故选：A.

【提分秘籍】

基本规律

比数列与函数关系：

(1)数列｛“"｝是等比数列，斯=硒叫通项如为指数函数：即斯=0产;

_------------―----------------q-r_rg

(2)数列｛an｝是等比数列，Sn=………,Sn为r-rq"型线性指数函数

【变式训练】

1.设｛/｝是等比数列，贝广对于任意的正整数〃，都有《,+2>。"''是”｛4｝是严格递增数列'’()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D,既不充分也不必要条件

[答案]C

【分析】根据严格递增数列定义可判断必要性，分类讨论可判断充分性.

【详解】若｛%｝是严格递增数列，显然M+2>4,所以“对于任意的正整数%都有4+2>凡”是"｛靖是严格

递增数列”必要条件；

q+2=。应2>对对任意的正整数“都成立，所以｛4｝中不可能同时含正项和负项，

2

:.an>0,q>l,即或即%<0,0<q<1,

当a,,>0,q>l时，有a.q>a”,即明>4,,是严格递增数列，

当%<0,0<4<1时，有a“q>a”,即4M>外,｛《,｝是严格递增数列，

所以“对于任意的正整数n,都有a.>%''是”｛%｝是严格递增数列”充分条件

故选：C

2..在等比数列｛q｝中，已知q>0,8%-%=0,则数列｛%｝为().

A.递增数列B.递减数列C.常数列D.无法确定单调性

【答案】A

【分析】根据条件求出等比数列的公比，即可判断数列的单调性.

【详解】由8久-%=0,可知%=/=8,

解得4=2.又q>0,所以数列｛%｝为递增数列.

故选：A

3.数列｛4｝是等比数列，首项为劣，公比为q,则4(夕-1)<0是“数列｛%｝递减”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

[4>0[a<0

11

【分析】由4(夕-1)<0,解得iz八、或,,根据等比数列的单调性的判定方法，结合充分、必要

匕<l(qX0)[q>1

条件的判定方法，即可求解得到答案.

fa>0[a.<0,

【详解】由已知4(4一1)<0,解得'“八、或<,，，

匕<1(«♦0)[q>l

此时数列｛《,｝不一定是递减数列，

所以4(q-1)<0是“数列｛q｝递减”的非充分条件；

[a>0fa<0/、

若数列口｝为递减数列，可得:1或一所以4①-1）<0,

[0<^<1[“1

所以4（夕-1）<0是“数列（«„｝递减”的必要条件.

所以“卬（4-1）<0”是“数列｛4｝为递减数歹广的必要不充分条件.

故选：B.

【题型四】等比数列与范围

【典例分析】

已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为4,则4可能的一个值是（）

5।3

A.-B.；C.2D.-

222

【答案】D

【分析】先由三边构成等比数列求出q的范围，再逐一对照即可求解

【详解】由题意可设三角形的三边分别为亍，a,aq（aq丰0）.因为三角形的两边之和大于第三边,

所以①当4>1时，-+a>aq,即才一^一匕。，解得1<夕<112^；

q2

②当0<4<1时，a+aq>~,g|J^+q-\>0,解得二"金”］；

42

又当夕=1时，三边相等，三角形为等边三角形，满足条件;所以专1〈”曾

之一"工0,.二3

故A错误;

22222

石-1=工0,1亚-1

..〈，，故B错误；

2~2222

1+石=^a>o,.-2>-^.

2-故C错误；

222

31+752-V531+V53A/5-I4-逐-375-1

——=--------<0n,..〈，故D正确

2222222222

3

所以q可能的一个值是故选：D.

【提分秘籍】

基本规律

1.涉及到首项和公比的不等式（组）关系。

2.一般情况下，不等式组可以参考“线性规划”知识

【变式训练】

1.S,,为等比数列血｝的前“项和，«,>0,S5<3at+a2+a4,则公比q的取值范围是（）

A.（—1,0）B.（0,1）

C.（-1,1）D.（-l,0）U（0,l）

【答案】D

【分析】根据题意，利用首项与公比表示出各项和，建立不等式求解即可.

【详解】因为S5=4（i+q+q2+/+q4）<4（3+q+/）,且q>。，

所以44+d-2<0,解得d<l,又4'。，

解得-l<q<0或0<q<l,故选：D

2.已知等比数列｛%｝各项均为实数,其前"项和为列,则:F>0”是“S2023As的”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】设公比为4,按照4>1、9=1、0<夕<1、4<0分类讨论，利用等价转化法可得答案.

【详解】设公比为夕,

当时，产2<产3,

$23>SQO马牛式>马牛D=4(1-/23)<《(1一/22)

\-q\-q

Oq(产2-产3)<0=q>0,此时，“q>0”是“S2023>S2022”的充要条件;

S

当q=1时，$2023>2O22=2023%>2022a)=q>0,此时，“q>0”是“52023>与值”的充要条件：

当0<”1时，产2>产3,

>2023>>2022\)>“1)

\—q\-q-4-4

Oa,(产_03)>0=q>0,此时，“q>0，，是“52023>S2022”的充要条件;

当4<0时，产>0,产<0,

/[2023\/I，(P，、

$2023>$姐=♦=«,(力22一L23)>。。4>(J,此时，“囚>0”是“邑必>邑叱，，的充

\—q\-q

要条件，

综上所述：“4>0”是"邑必A%?''的充要条件.

故选:C

3.已知等比数列｛q｝的前5项积为32,1<《<2,则q+,+全的取值范围为()

【答案】D

【分析】利用等比数列性质求出的，进而求出公比二的取值范围并用/表示出6+仪+全，然后根据对勾

函数的性质即可求解.

【详解】由等比数列性质可知，qa2a34%=6=32=%=2,

因为l<ai<2,所以q-=」■€(1,2),从而q+q+-^_=—^+3+—^£_=2(=+冬)+1

424724于4

不妨令t=g2e(l,2),则与=/«)=2+：，由对勾函数性质可知，f(f)=L+=在(L2)上单调递减，

故对于Vrw(l,2),/(2)</(/)</(1),l</(r)<4,从而1<±+冬<:，则3<4+2+%<二.

4q-44242

故全的取值范围为0,故选：D.

【题型五】等比数列最值

【典例分析】

已知等差数列｛4｝的公差”>0,且%，%T，%。成等比数列，若q=5,S“为数列｛%｝的前〃项和，则

2S+2/7+9

―『的最小值为（）

]317

A.2^3+3B.7C.—D.—

23

【答案】C

【分析】由题意4=5,4，。5-1，6。成等比数列，可得。=3,即可求出%,S“，代入说+2；+9,再结

合双勾函数性质可求出答案.

【详解】由于生，氏-1，4。成等比数列，所以（％-1）2=〃24，（q+4，/-l）2=（q+d＞（q+9d）

；.（4d+4）2=（5+d）-（5+9d）,解得4=3，勺=3〃+2,AS„=1（3n2+7n）

29+2〃+9+9/7+934

所以上2—/=n+-+3,由双勾函数性质知y=〃+三在〃22,〃eN*上单调递增，所以当

an-23〃"n

3372s“+2〃+913

〃=2时，y=〃+三取得最小值为：2+：=；,所以一~厂的最小值为故选：C.

n22an~12

【变式训练】

1.在各项均为正数的等比数列㈤｝中，公比若。3+%=5，%4=4,储=bg?a"，数列｛4｝的前〃

项和为M则3+W+L取最大值时，”的值为（）

12n

A.8B.8或9C.9D.17

【答案】B

【分析】结合已知条件求得勺，由此求得打，进而求得S〃，由求得正确答案.

n

%q2+%/=5

%q•%q、=41./门丫

【详解】依题意《.,>0=4=16—5,所rri以4=16XQJ2""也=】og2a“=5-”

q>0

、4+5-779-77S9-n

所以也f,｝是首项为4,公差为7的等差数列，所以s“=土＜〃，字

v9-nqqq

由义20nl4〃49,〃eN*,所以=+?+L+'取最大值时，〃的值为8或9.

n212n

故选：B

2.等比数列｛%｝中，若温=4,则（）

A.%+4与“5+%都有最小值2

B.“4+a8与a5+”7都有最小值—2

C.当见＜0时“4+4有最小值2,“5+%有最大值-2

D.当％＜。时为+%与%+%都有最大值-2

【答案】C

1,1

【分析】由等比中项的性质得到%=1，aa=—+q-＞2,当仁＜0时夕＜0,%+%=—+4由均值不

i+,qq

等式得到最大值为-2.

【详解】设等比数列｛4｝的公比为9,根据等比中项的性质得到：温=a2a6al0

1,,1

得4=1,所以%+%=~y+4~22,等号成立的条件为G=r=q=±l,4+&有最小值2；

44

1,1

当仁＜0时q＜0,a5+Cb,=-+q＜-2,等号成立的条件为。=-^q=-\,

%十%有最大值-2.故选：C.

3.已知正项等比数列也｝的前"项和S“，满足54-2SZ=3,则SA-S'的最小值为()

A.-B.3C.4D.12

4

【答案】D

3

【分析】根据题意，设该等比数列的首项为囚，公比为心利用邑-2s2=3,可得/+q=T

q-

则$6-*=3(d-1)+人+2,再利用基本不等式求最值即可.

''<?-1

【详解】根据题意，设该等比数列的首项为生,公比为4,

若5-2邑=3,则有

—2S,=4+d>+%+%—2(%+2)=(%+2)—(4+2)=\Q~—1)(4+。2)=3,

乂由数列｛4｝为正项的等比数列，则夕>1,g2>i,

3

贝|]%+4=丁：，

qt

则S6-S4=氏+%=/x(%+a2)=_j_xg4=3x(g二][2.二>1

q2-\q2-\

22

3(9-1)+-^-J+2>6+3X2X^((7-1)X-^=12,当且仅当d=2时等号成立，

即$6-$4的最小值为12.故选：D.

【题型六】恒成立求参

【典例分析】

已知数列｛4,,｝中，其前八项和为S“，且满足S,=2-a“，数列,；｝的前"项和为7.，若对

“eN*恒成立，则实数2的值可以是()

38

A.--B.2C.3D.-

25

【答案】D

【分析】由5”=2-。“求出/，从而可以求用，再根据已知条件不等式恒成立，可以进行适当放大即可.

【详解】若〃=1,则岳=4=2-q,故4=1；

,_1

S=2—cia111

若77>2,〃£N*，贝lj由，S=2_1得亡=5,故"k2蕾=2-声

2

1_1

所以击，T〃=T中4一

,又因为S：-2(-1)"7；20对“eN*恒成立,

，-4

当〃=1时，则(2-以+21(4-1)>0恒成立，A>-1

当〃22,时，2W-1>2，0<^q-<^

所以-击<2,2<2+击4。，-2<-12-1

2”T-4

(2-击)-"-1)"[扣一/)卜。(2一击)7T呜(2+击)卜。

」2一，2」2

若〃为奇数，则义~彳Y>-3;若〃为偶数，则7一1所以京=：

娶+，)3(2+Hri

所以，对〃cN*(2—击)-2(-1)"g(4—J)]zO恒成立，必须满足一14/14：.

故选：D

【提分秘籍】

基本规律

数列恒成立，可以参考函数恒成立形式：n为自然数

⑴色/(〃)恒成立<=»/")mor；

(2)不/(")恒成立机

【变式训练】

1.已知数列｛4｝的通项公式为4=5-〃，其前〃项和为S,,,将数列｛4｝的前4项去掉其中一项后，剩下三

项按原来的顺序恰为等比数列｛"｝的前3项，记数列｛bn｝的前n项和为[,若对任意的meN*,〃eN*,

S“<7；“+/1恒成立，则实数2的取值范围是()

A.[2,+00)B.(2,+00)C.[6,+8)D.(&+8)

【答案】D

【分析】利用等差数列及等比数列的前"项和得出S“和7“，再求出(S“)g及区)丽，进而求出实数4的取值

范围.

【详解】解：由己知数列｛可｝的通项公式为=5-”,

可得5“=一!〃2+2〃=—]_("_21+肛，所以⑸)s=S&=S5=10.

“2221.2)8

数列｛《,｝的前4项为4,3,2,1,所以等比数列｛4｝的前3项为4,2,1,所以々=4,q=g

41fz、

所以7；=1;1=8]-£,显然忆｝是递增数列，且4W7；<8.

1-2

若对任意的〃?eN,〃eN",总有5〃<+2成立，则10v4+4,所以几>6.

故选：D.

2.已知数列｛4｝满足4+2=3q+「2q,(〃eN*),且4=1,4=4,其前〃项和为5.，若对任意的正整数〃,

5“+2〃+〃r2"20恒成立，则机的取值范围是()

A.；，+8)B.一；，+8)C.-|，+8)D.|,+8]

【答案】C

【分析】先判断出数列为等比数列，从而可得其通项公式，通过累加法可得％,进而求得5.，然

后由不等式恒成立得到结果.

【详解】由&+2=34田-2a“得an+2-an+l=2(a„+l-a„)，

•・•数列｛q,“-q｝是以%-q=3为首项，2为公比的等比数列，

二.”“+1—=3x2"'，

2

二当”22时，=3X2"',…，a3-a2=3x2,a2-at=3x1,

将以上各式累加得a“-q=3x2-2++3x2+3xl=3x可二=3(2"i-1)，

1—17〃

=3x2"T-2,(当〃=1时，也满足)，S„=3(1+2+22+...+2,"l)-2/z=3x^-y-2n=3-2,,-2rt-3,

由S“+2〃+m-2"20,得3・2"-2〃一3+2“+，小2”20,

31133

.•32"-3+〃"2"20，即机N-3+6，—<->:.m>-3+-=--.

故，〃的取值范围是一|，+8]故选：C.

3.已知数列｛叫的前〃项和为S“，且满足3q+324+…+3"q,="(〃eN*),若对于任意的xe[O,l],〃eN*,不

等式S,<-2x2-(n+l)x+/-a+g恒成立，则实数。的取值范围为()

A.[3,+w)B.(v,T)(3,+℃)

C.([l,+oo)D.(-^O,-2)VJ(1,+OO)

【答案】A

【分析】首先根据题意求出4$，从而得到S“<g；再由对于任意的XG[0,1],”eN*,不等式

S“<-2x2-(a+1)x+/-a+g恒成立，得至I」不等式2》2+(。+1)》一〃+。40在xe[0,l]时恒成立，从而得到

通过解不等式组即可求出实数0的取值范围.

IJ\*J—u

2

【详解】因为3q+3%2+…+3"〃"="(〃€%*),所以〃22时，3a,+3a2+...+3"-'^",=n-1,

两式相减，得3"q,=l("W2),即4="(〃22),又”=1时，3《=1,所以

1mlI

因为也适合4,=/，所以所以s=31山"<1，

333〃]」2[⑶]2

3

因为对于任意的Xe[0,l],neN*,不等式S“<-2x2-(a+\)x+a2-a+^恒成立，

所以对F任意的不等式;4一2》2一(〃+1)》+。2-。+；恒成立，

即对于任意的xe[0,l],不等式2/+(。+1)》一。2+。40恒成立，

[/(0)<0-a2+a<0

所以只需「二/八，即G(八，,八，解得QWT或423.

[/(1)<0[2+(a+l)-a-+aW0

所以实数。的取值范围为(9,一1][3,”).故选：A.

【题型七】等比数列复合型：“下标数列”

【典例分析】

已知数列｛%｝是以1为首项，3为公差的等差数列，｛2｝是以1为首项，3为公比的等比数列，设％=%,

（）当（时，〃的最大值为（）

T„=CI+C2++c„«eN,,<2021

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【分析】先求出。“也,，进而得到%,由分组求和得（=1（3"-1）-2〃，由&厂7；>0判断出｛1｝为递增数

列，计算出”<2021,7；>2021即可求解.

【详解】由题意知：«„=1+3（/7-1）=3«-2,&„=3"-'（C,,=%=%,=3-3"T—2=3"—2,

3（1-3"）3/\

2,,,,

Tn=3-2+3-2++3-2=-yy^-27：=--（3-l）-27?»

又1+「萼=|・（3向一1）一2（〃+1）-|・（3"-1）+2"=3'用一2>0,

故忆｝为递增数列，又7；=5*（36-1）-2乂6=1080,7；=^（37-1）—2乂7=3265,

故当7；<2021时，〃的最大值为6.故选：C.

【变式训练】

1.已知数列｛%｝是以2为首项，1为公差的等差数列，也｝是以1为首项，2为公比的等比数列，则

A.1033B.2057C.1034D.2058

【答案】A

【分析】由等差和等比数列通项公式可推导得到”的通项公式，利用分组求和法，结合等比数列求和公式

可求得结果.

【详解】Q他｝是以1为首项，2为公比的等比数列，.•.2=2"一,

｛4｝是以2为首项，1为公差的等差数列，.•.4,=〃+1，.•-%,=%=2"-'+1，

1_n10

二%+飙+…+%,=（1+2+2?+…+2"）+10=二一+10=10