2023-2024学年江西省宜春三中高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年江西省宜春三中高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知z=−1−i，则|z|=(

)A.0 B.1 C.2 D.2.已知向量a=−i+j，b=2i+3j，A.−1 B.1 C.6 D.−53.某班同学利用课外实践课，测量A，B两地之间的距离，在C处测得A，C两地之间的距离是4千米，B，C两地之间的距离是6千米，且∠ACB=60°，则A，B两地之间的距离是(

)A.27千米 B.43千米 C.24.设α，β是两个平面，m，l是两条直线，则下列命题为真命题的是(

)A.若α⊥β，m//α，l//β，则m⊥lB.若m⊂α，l⊂β，m//l，则α//β

C.若α∩β=m，l//α，l//β，则m//lD.若m⊥α，l⊥β，m//l，则α⊥β5.已知△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若asin(π2−A)=A.钝角三角形 B.等边三角形 C.锐角三角形 D.等腰直角三角形6.如图，平行四边形ABCD中，AB=a，AD=b，点E是AC的三等分点EC=13ACA.13B.23C.13D.27.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为3，则圆锥的体积为(

)A.23π B.33π8.在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若B=π3，b2=9A.32 B.2 C.7二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=sin(2x+π6A.f(x)的图象向左平移π6个单位长度后得到函数g(x)=sin(2x+π3)的图象

B.直线x=π3是f(x)图象的一条对称轴

C.f(x)在10.已知向量a=(3,sinθ)，b=(cosθ,1)，A.若a⊥b，则tanθ=−3

B.设函数f(θ)=a⋅b，则f(θ)的最大值为2

C.|a+b|的最大值为22

D.若11.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA.直线PB//平面AB1D1

B.直线PB与AD1是异面直线

C.三棱锥P−AB1D1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知角α的终边与单位圆交于点P(−35,45)13.已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是

14.设向量a,b,c满足|a|=|b|=2，a⋅b=−2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知角α∈(0,π)，且cosα=−35．

(1)求sin(π−α)的值；

(2)求cos16.(本小题15分)

已知向量a=(1,2)，b=(0,2)，向量c满足a⊥c，且b//(2a+c)．

(1)求c的坐标；

(2)17.(本小题15分)

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足3acosπ−B2=bsinA．

(1)求B；

(2)∠ABC的角平分线与AC交于点18.(本小题17分)

已知四边形ABCD为直角梯形，∠ADC=90°，AD//BC，△ABD为等腰直角三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E为PA的中点，AD=2BC=22，PA=3PD=3．

(1)求证：BE//平面PDC；

(2)求证：平面PAB⊥平面PBD．

(3)求异面直线AD与PB19.(本小题17分)

设平面内两个非零向量m,n的夹角为θ，定义一种运算“⊗”：m⊗n=|m||n|sinθ．

试求解下列问题：

(1)已知向量a,b满足a=(2,1),|b|=2,a⋅b=4，求a⊗b的值；

答案解析1.C

【解析】解：z=−1−i，则|z|=(−1)2+(−1)2.B

【解析】解：因为i,j分别为正交单位向量，所以|i|=|j|=1，i⋅j=0，

因为a=−i+3.A

【解析】解：由余弦定理可得AB2=AC2+BC24.C

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于A，直线m，l可能平行，相交或异面，故A错误，

对于B，平面α，β可能相交或平行，故B错误，

对于C，由直线与平面平行性质，分析可得C正确；

对于D，平面α，β可能相交或平行，故D错误．

故选：C．

5.B

【解析】解：由asin(π2−A)=b2cos2B2−1=ccosC，得acosA=bcosB=ccosC，6.B

【解析】解：∵平行四边形ABCD中，AB=a，AD=b，

∴AC=AB+AD=a+7.B

【解析】解：设圆锥的底面半径为：r，圆锥的母线长为：3+r2，

圆柱和圆锥的侧面积相等，可得23πr=12×2πr×3+8.C

【解析】解：因为B=π3，b2=94ac，

所以由正弦定理可得，sinAsinC=49sin2B=13，

由余弦定理可得：b2=a9.CD

【解析】解：对于A，由f(x)的图象向左平移π6个单位得f(x+π6)=sin[2(x+π6)+π6]=sin(2x+π3+π6)=sin(2x+π2)，

与得到函数g(x)=sin(2x+π3)不相同，故A错误；

对于B，将x=π3代入得f(π3)=sin(2×π3+π6)=sin5π6，此时既不是最高点，也不是最低点，

所以直线x=π3不是f(x)图象的一条对称轴，故B10.ABD

【解析】解：对于A：若a⊥b，则a⋅b=3cosθ+sinθ=0，所以tanθ=−3，故A正确；

对于B：f(θ)=a⋅b=3cosθ+sinθ=2sin(θ+π3)，

所以当θ+π3=π2，即θ=π6时，f(θ)取得最大值2，故B正确；

对于C：因为a+b=(3+cosθ,sinθ+1)，

所以|a+b|=(3+cosθ11.ACD

【解析】解：如图，连接BD，BC1，

对于选项A，因为AB//C1D1，AB=C1D1，所以四边形ABC1D1为平行四边形，

所以AD1//BC1，又BC1⊂平面BC1D，AD1⊄平面BC1D，故AD 1//平面BC1D，

同理AB1//DC1，又DC1⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，故AB 1//平面BC1D，

又AD1⊂平面AB1D1，AB1⊂平面AB1D1，AD1∩AB1=A，所以面AB1D1//面BC1D，

又PB⊂平面BC1D，所以直线PB//平面AB1D1，故选项A正确；

对于选项B，当点P与点C1重合时，PB//AD1，故选项12.−4【解析】解：角α的终边与单位圆交于点P(−35,45)，

则tanα=13.1

【解析】解：∵圆锥侧面展开图是半圆，面积为2π，

设圆锥的母线长为a，则12×a2π=2π，∴a=2，

∴侧面展开扇形的弧长为2π，

设圆锥的底面半径OC=r，则2πr=2π，解得r=1．14.4

【解析】解：如图所示，设OA=a,OB=b,OC=c，

因为a⋅b=|a|⋅|b|cos∠AOB=−2，所以cos∠AOB=−12，

因为0°<∠AOB<180°，所以∠AOB=120°，

又a−c与b−c的夹角为60o，∠AOB=120°，∠ACB=60°，

所以O，A，B，C四点共圆，

因为AB=b−a，所以|15.解：α∈(0,π)，且cosα=−35．

则sinα=1−cos2α=【解析】(1)利用诱导公式即可得；(2)利用两角和差公式即可得．

16.解：(1)设c=(x,y)，因为a=(1,2)，b=(0,2)，

所以2a+c=2(1,2)+(x,y)=(2+x,4+y)，

又因为a⊥c，且b//(2a+c)，

所以x+2y=02(2+x)=0(4+y)，解得x=−2y=1，所以c=(−2,1)；

(2)因为a=(1,2)，b=(0,2)，

所以a+λb=(1,2)+λ(0,2)=(1,2+2λ)【解析】(1)设c=(x,y)，表示出2a+c的坐标，再根据数量积及平面向量共线的坐标表示得到方程组，解得即可；

(2)依题意c⋅(a17.解：(1)由3acosπ−B2=bsinA得3asinB2=bsinA，

由正弦定理得3sinAsinB2=sinBsinA，即3sinAsinB2=2sinB2cosB2sinA，

由B2∈(0,π2),A∈(0,π)，所以sinB2≠0,sinA≠0，化简得cosB2=3【解析】(1)利用正弦定理将边化角，再由二倍角公式计算可得；

(2)由等面积法得到1a+1c18.(1)证明：设F是PD的中点，连接EF，CF，

由于E是PA的中点，

所以EF/​/AD，且EF=12AD，而BC/​/AD，且BC=12AD，

所以EF/​/BC，且EF=BC，

所以四边形BCFE是平行四边形，

所以BE/​/CF，由于BE⊄平面PDC，CF⊂平面PDC，

所以BE//平面PDC；

(2)证明：因为AD=2BC=22，PA=3PD=3，PD=1，

所以PD2+AD2=PA2，所以PD⊥AD，

由于平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PD⊂平面PAD，

所以PD⊥平面ABCD，

由于AB，BD，CD⊂平面ABCD，

所以PD⊥AB，

又因为AB⊥BD，PD∩BD=D，PD，BD⊂平面PBD，

所以AB⊥平面PBD，

由于AB⊂平面PAB，

所以平面PAB⊥平面PBD；

(3)解：由于AD//BC，所以∠PBC是异面直线AD与PB所成角(或其补角)，

因为AB=BD=22×【解析】(1)通过构造平行四边形，结合线面平行的判定定理来证得BE//平面PDC；

(2)通过证明AB⊥平面PBD来证得平面PAB⊥平面PBD．

(3)先判断出异面直线AD与PB所成角，然后求得所成角的余弦值．

19.解：(1)由已知a=(2,1)，得|a|=