2023-2024学年北京市海淀区高二下学期期末学业水平调研数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年北京市海淀区高二下学期期末学业水平调研数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.(x−1)5的展开式中，所有二项式的系数和为(

)A.0 B.25 C.1 D.2.已知函数f(x)=sinxcosx，则f′(0)A.0 B.1 C.−1 D.π3.若等比数列an的前n项和Sn=2nA.12 B.−12 C.24.下列函数中，在区间−1,0上的平均变化率最大的时(

)A.y=x2 B.y=x3 C.5.将分别写有2，0，2，4的四章卡片，按一定次序排成一行组成一个四位数(首位不为0)，则组成的不同四位数的个数为(

)A.9 B.12 C.18 D.246.小明投篮3次，每次投中的概率为0.8，且每次投篮互不影响，若投中一次得2分，没投中得0分，总得分为X，则(

)A.EX=2.4 B.EX=4.8 C.7.已知一批产品中，A项指标合格的比例为80%，B项指标合格的比例为90%，A、B两项指标都合格的比例为60%，从这批产品中随机抽取一个产品，若A项指标合格，则该产品的B项指标也合格的概率是(

)A.37 B.23 C.348.已知等差数列an的前n项和为Sn，若a1<0、则“Sn有最大值”是“公差A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件9.设函数fx=ln1−x+asinx.若A.a=0 B.a≥1 C.0<a≤1 D.a=110.在经济学中，将产品销量为x件时的总收益称为收益函数，记为Rx，相应地把R′x称为边际收益函数，它可以帮助企业决定最优的生产或销售水平．假设一个企业的边际收益函数R′(x)=1000−x(注：经济学中涉及的函数有时是离散型函数，但仍将其看成连续函数来分析).①当销量为1000件时，总收益最大；②若销量为800件时，总收益为T，则当销量增加400件时，总收益仍为T；③当销量从500件增加到501件时，总收益改变量的近似值为500．其中正确结论的个数为(

)A.0 B.1 C.2 D.3二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.(1+2x)4的展开式中含x2项的系数为12.某学校组织趣味运动会，一共设置了3个项目(其中只包含1个球类项目)，每位教师只能从3个项目中随机选择2个参加，设李老师选择的2个项目中所含球类项目的数量为X，则X的所有可能取值为

，数学期望EX=

．13.已知数列an+1是公比为2的等比数列，若a1=0，则a114.甲乙两人射击一架进入禁飞区的无人机．已知甲乙两人击中无人机的概率分别为0.5,0.4，且甲乙射击互不影响，则无人机被击中的概率为

.若无人机恰好被一人击中，则被击落的概率为0.2；若恰好被两人击中，则被击落的概率为0.6，那么无人机被击落的概率为

15.已知数列an的前n项和为Sn，满足a1=1，当n≥2时，Sn2−an2②当λ=−3时，S2024③当λ=4时，∀n≥2，Sn④当λ>1时，an其中所有正确结论的序号为

．三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.（12分）已知函数fx=(1)判断fx在−∞,0(2)求fx在0,+∞上的零点个数．17.（12分）某公司有甲乙两条生产线生产同一种产品，为了解产品的质量情况，对两条生产线生产的产品进行简单随机抽样，经检测得到了A、B的两项质量指标值，记为qA,qB甲生产线抽样产品编号指标12345678910q0.980.961.071.020.990.930.920.961.111.02q2.011.971.962.032.041.981.951.992.072.02Q0.030.070.110.050.050.090.130.050.180.04乙生产线抽样产品编号指标12345678q1.020.970.950.941.130.980.971.01q2.012.032.151.932.012.022.192.04Q0.030.060.200.130.140.040.220.05假设用频率估计概率，且每件产品的质量相互独立．(1)从甲生产线上随机抽取一件产品，估计该产品满足qA>1且(2)从甲乙两条生产线上各随机抽取一件产品，设X表示这两件产品中满足qB>2的产品数，求X的分布列和数学期望(3)已知Q的值越小则该产品质量越好．如果甲乙两条生产线各生产一件产品，根据现有数据判断哪条生产线上的产品质量更好？并说明理由．18.（12分）已知f(x)=x(1)当a=−3,b=−1时，求曲线y=fx在点1,f(2)已知fx有两个极值点x1,x2(3)在(2)的条件下，若fx≥−x+1在1,+∞上恒成立，求a19.（13分）已知数列A:a1，a2，⋯，a100满足a1<a2<⋯<(1)若an=n,，请直接写出(2)若an=2(3)若b2025=ai20.（13分）设函数f(x)=sinωx+3(1)求fx(2)若对于任意的x∈π2,π，都有f条件①：函数fx的图象经过点−条件②：fx在区间−条件③：x=π12是注：如果选择的条件不符合要求，第(1)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．21.（13分）设n为正整数，集合An=αα=t1,t2,...,tn,t(1)若n=5，α=1,1,1,0,1，α∗β=0,1,1,0,1，β=4(2)若n=9，α1,α2,...,αkk≥2均为(3)若α0,α1,α2,...,αkk≥2均为A答案解析1.B

【解析】(x−1)5的展开式中所有二项式的系数和为故选：B．2.B

【解析】由f(x)=sinxcos所以f′(0)=1故选：B3.C

【解析】由Sn=2n−1n=2时，由a1+a依题意，q=a故选：C．4.B

【解析】对于A，y=x2在−1,0上的平均变化率为对于B，y=x3在−1,0上的平均变化率为对于C，y=12x在−1,0对于D，y=2x在−1,0上的平均变化率为故y=x3在故选：B5.A

【解析】根据题意，可将四位数分成两类：第一类，首位是2，则只需要将所剩下的三个数字全排即得，有A3第二类，首位是4，只需在余下的三个数位选一个给0即可，有A31由分类加法计数原理可得，组成的不同四位数的个数为6+3=9．故选：A．6.B

【解析】设小明投中次数为ξ，则由题意可知ξ∼B(3,0.8)，则Eξ=3×0.8=2.4，因为投中一次得2分，没投中得0分，所以X=2ξ，则EX=2Eξ故选：B．7.C

【解析】记事件A为“A项指标合格”，事件B为“B项指标合格”，则P(A)=80%,P(B)=90%,P(AB)=60%，所以P(BA故选：C8.C

【解析】充分性：等差数列an的前n项和为S前n项和可看做关于n的二次函数，则公差d<0时，Sn必要性：等差数列an的前n项和为Sn，若a1<0、公差故选：C．9.D

【解析】根据题意，函数fx=ln1−x+asinx.若fx≤f法一：f′因为x∈−1,1，所以当a≤0时，f′(x)<0,f(x)在−1,1上单调递减，此时函数无最大值，不符合题意；当0<a<1时，令ℎ(x)=f′(x),ℎ′(x)=−1(x−1)2−asinx，因为f(x)在−1,1上的最大值不为0，不符合题意；C错误；当a=1时，f′x=1x−1+当x∈(−1,0)时，f′(x)>0,f(x)在当x∈(0,1)时，f′(x)<0,f(x)在即函数f(x)在−1,1上的最大值为f(0)=0.符合题意；D正确；当a>1时，f′令f′x=0,⇔−1a(x−1)当x∈(−1,x0)时，f当x∈(x0,1)时，f即函数f(x)在−1,1上的最大值为f(x0)>0,f(法二：对于A，当a≤0时，f′(x)<0,f(x)在−1,1上单调递减，此时函数无最大值，不符合题意，对于B，当a=3时，取x=12，所以f(12对于C，当a=12时，取x=−12，所以f(−1对于D，当a=1时，ℎ(x)=当x∈−1,0，ℎ′x>0,f′x在(−1,0)上单调递增，当x∈0,1，ℎ′x<0,f′x在(−1,0)上单调递减，f′(x)<0,f(x)在(−1,0)上单调递减，综上可知故选：D．10.D

【解析】根据题意可知R′(x)=1000−x，则Rx=1000x−1①Rx=1000x−12x2+m(m②若销量为800件时，总收益为T，所以T=R800=1000×800−12×80则当销量增加400件，即x=1200件，总收益R1200=1000×1200−1③当销量从500件增加到501件时，R501总收益改变量的近似值为500.③正确；故选：D．11.24

【解析】二项式(1+2x)4展开式的通项为Tr+1所以T3=C42故答案为：2412.0，1；

23【解析】X的取值可能为0，1．依题意可知X服从超几何分布，则PX=0=C所以EX故答案为：0，1；2313.2n【解析】因为a1=0，所以因为数列an+1是公比为所以a=(==2故答案为：214.0.7

；；0.22

【解析】设甲击中无人机为事件A，乙击中无人机为事件B，无人机被击中为事件C，无人机被击落为事件D，则P(A)=0.5,P(B)=0.4，所以P(A所以P(C)=1−P(A若无人机恰好被一人击中，即事件AB+A则P(A若无人机被两人击中，即事件AB，则P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.4=0.2，所以P(D)=P(=0.5×0.2+0.2×0.6=0.22．故答案为：0.7，0.2215.①③④

【解析】当λ=0时，Sn2−an2=0，当n≥2若S2=a2⇒因为Sn2=an若S3=a所以S3=−a当λ=−3时，Sn2−所以S12S2−所以Sn是以2为周期的周期数列，所以S2024=当λ=4时，Sn2−所以Sn=124Sn−1由基本不等式可得Sn当且仅当4Sn−1=Sn−1⇒S当λ>1时，Sn2−所以Sn=12λ所以λSn−1>0,当且仅当λSn−1=Sn−1又因为an令x=Sn−1x>0当y=1由y=12λx−x所以Sn当n≥3且n增大时，Sn−1递减，a所以an从第三项起为递增数列，所以④故答案为：①③④16.(1)fx在−∞,0因为fx所以f′x又因为x∈−∞,0，从而e所以f′x所以fx在−∞,0(2)由(1)知：f′x因为x∈0,+∞令f′x=0，得fx与f′x在区间x0,lnlnf′−0+f↘极小↗因为f0=0−1所以由零点存在定理及fx单调性可知，fx在【解析】(1)先判断单调性，再求导函数根据导函数正负证明函数单调性；(2)结合函数单调性及极值结合零点存在定理得出零点个数．17.(1)记A表示“从甲生产线上随机抽取一件产品，该产品满足qA>1且用频率估计概率，则PA所以该产品满足qA>1且qB(2)由表格数据，用频率估计概率，可得“从甲生产线上随机抽取一件产品，该产品满足qB>2”的概率为“从乙生产线上随机抽取一件产品，该产品满足qB>2”的概率为由题意，X的所有可能取值为0,1,2．PX=0PX=2所以X的分布列为X012P117所以X的数学期望为EX=0×1(3)甲生产线上的产品质量更好，因为甲生产线上Q值的平均值Q甲乙生产线上Q值的平均值Q乙所以甲生产线上Q值的平均值明显比乙小，所以甲生产线上的产品质量更好．其它理由：从甲乙两生产线的样本中各随机取一件，则甲生产品的Q值小于乙的概率为7+4+4+5+5+4+3+5+2+68×10所以甲生产线上的产品质量更好．

【解析】(1)根据给定数据，利用频率估计概率即得；(2)先分别得出甲、乙的B项指标值大于2的产品的概率，再利用相互独立事件同时发生的概率乘法公式分别求解相应概率，列出分布列，最后求解期望即可；(3)比较甲乙两生产线上Q值的平均值大小可得.(其他理由也可，如：求出甲生产品的Q值小于乙的概率，再比较该概率值与12的大小18.(1)当a=−3,b=−1时，fx所以f′x所以f′1所以曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为(2)因为fx所以f′x因为fx有两个极值点x所以f′x有两个大于0所以方程x2所以Δ=a2又因为fx即有x1整理得x1代入x1可得−a+aln−b又因为a2>−4ba<0经检验，符合题意．(3)由(2)可知b=−1且a<−2，从而fx因为fx≥−x+1在令g则有gx≥0在1,+∞上恒成立，易得因为g′x=2+a令ℎx=2x①当−3≤a<−2时，ℎ1所以ℎx在1,+∞单调递增，从而ℎ所以g′x=ℎ所以gx在1,+∞单调递增，从而g②当a<−3时，ℎ1所以2x2+ax+1=0有两个不等实根x所以x3<1<x4，且当x∈1,所以gx在1,所以gx4<g1=0综上，a的取值范围是−3,−2．【解析】(1)利用导数的几何意义求解即可；(2)求导f′x=x2+ax−bx2，由极值点的定义可知方程x(3)令gx=fx+x−1=2x+alnx−119.(1)由题意可知a1所以可知b1所以S=3,4,5,⋅⋅⋅,199所以m=197,b(2)因为对任意1≤i<j≤100，都有ai所以b1b1b2b4b7bb16=所以b20(3)j先证明：j≥25．方法1：考虑从aj−1,aj,…,a100因为ai+aj≤因为C772=2926，所以102−j≤76方法2：假设j≤24，则i≤23．则b2025因为满足am+ak<a23+a所以小于a23a1a2……a22共99+98+…..+78=99+78其次，证明存在符合要求的数列．构造：令ak显然满足a1且ak此时，b2025=a

【解析】(1)由题意可求得S=3,4,5,⋅⋅⋅,199，从而可求出m,(2)由题意可得ai+ai+1=(3)先证明：j≥25，方法一：考虑从aj−1,aj,…,a100这102−j个数中任取2个求和，这些和都不小于a20.(1)因为fx若选①②：由①函数f(x)的图象经过点−π则−πω6+π3=π由②f(x)在区间−5π12,π12又ω>0且T=2πω，即2πω≥π，所以选条件②③：由②f(x)在区间−5π12,π12又ω>0且T=2πω，即2πω由③x=π12是f(x)的一条对称轴，则π12所以ω=2+12k，k∈Z，所以ω=2，所以f(x)=2sin2x+π3，则由π2+2kπ≤2x+π所以f(x)的单调递减区间为π12若选①③：由①函数f(x)的图象经过点−π则−πω6+π3=π由③x=π12是f(