2023-2024学年天津市部分区高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年天津市部分区高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.i是虚数单位，则复数21+iA.1−i B.1+i C.2.对于两个事件M，N，则事件M∪N表示的含义是(

)A.M与N同时发生 B.M与N不能同时发生

C.M与N有且仅有一个发生 D.M与N至少有一个发生3.如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，若A

A.24 B.12 C.14.已知a=(1,2)A.a+b=0 B.a⋅b5.下列说法正确的是(

)A.在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是该圆柱的母线

B.直四棱柱是长方体

C.将一个等腰梯形绕着较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是一个圆锥

D.正棱锥的侧面是全等的等腰三角形6.某校要从高一某班5名班干部(其中2名男生，3名女生)中抽调2人，主持国旗下讲话活动，则被抽调的班干部都是女生的概率为(

)A.110 B.310 C.7107.在△ABC中，若BC=23，A.π6 B.π4 C.π6或58.已知m，n表示两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则(

)A.若m/​/α，n/​/α，则m/​/n B.若m⊥α，m⊥n，则n9.在四边形ABCD中，AB=DC，AD=A.π6 B.π3 C.2π10.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，H分别是AB，DD1，BC1的中点，给出下列结论：

①C1D1//平面ABH；

②AA.①③ B.②④ C.②③二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。11.甲、乙两人破译同一个密码，已知他们能破译出该密码的概率分别为13和14，若甲、乙两人是否译出该密码相互独立，则甲、乙都译出该密码的概率为______．12.一个射击运动员打靶6次的环数为：9，5，7，6，8，7，则这组数据的方差为______．

注：一组数据x1，x2，…，xn的平均数为x−，它的方差为13.已知a，b是两个不共线的向量，且向量2a−b与λa+5b14.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的外接球的表面积为36π，点E为棱B15.在△ABC中，∠BAC=π3，AD=2DB，P为CD上一点，且满足A三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题12分)

已知i是虚数单位，复数z=(m2+2m−8)+(m−2)i，m∈R．

(Ⅰ)当m=1时，求|17.(本小题12分)

抽取某车床生产的8个零件，编号为A1，A2，…，A8，测得其直径(单位：cm)分别为：1.51，1.49，1.49，1.51，1.49，1.48，1.47，1.53，其中直径在区间[1.49,1.51]内的零件为一等品．

(Ⅰ)求从上述8个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；

(18.(本小题12分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3asinB+bcosA=0．

(19.(本小题12分)

高一年级进行消防知识竞赛，从所有答卷中随机抽取样本，将样本数据(成绩/分)按[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成5组，并整理得到如下频率分布直方图．

(Ⅰ)求a的值和众数；

(Ⅱ)若成绩在[20.(本小题12分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAB.平面ABCD，且AD//BC，∠ADC=90°，BC=CD=12AD=1，E为AD

答案和解析1.【答案】A

【解析】解：21+i=2(1−i2.【答案】D

【解析】解：事件M∪N表示的含义是：M与N至少有一个发生．

故选：D．

根据已知条件，结合和事件的定义，即可求解．3.【答案】C

【解析】解：画出△ABC，如图所示：

由斜二测画法的规则可知，AO=1，BO=CO=1，

所以△4.【答案】B

【解析】解：a=(1,2)，b=(−2,1)，

则a+b=(−1,3)，a⋅b=5.【答案】D

【解析】解：对于A，在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线与轴线平行是该圆柱的母线，

故A错误；

对于B，直四棱柱的上下底面不一定是矩形，故不一定是长方体，故B错误；

对于C，将一个等腰梯形绕着较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是一个简单组合体，由两个圆锥和一个圆柱组成，故C错误；

对于D，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故D正确．

故选：D．

根据题意，由圆柱的结构特征分析A，由直棱柱的定义分析B，由旋转体的定义分析C，由正棱锥的结构特征分析D，综合可得答案．

本题主要考查了旋转体的定义，考查了直四棱柱和正棱锥的定义，属于基础题．6.【答案】B

【解析】解：2名男生记为A，B，3名女生记为a，b，c，

从5人中抽取2人，样本空间为Ω={AB,Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,ab7.【答案】A

【解析】解：AC<BC，A=60°，

则B<60°，

BC=23，AC=2，A=60°，8.【答案】D

【解析】解：A项，如图：平面ABCD为平面α，则m，n可能平行，异面或相交，A项错误；

B项，平面ABCD为平面α，直线n可能在平面α内，B项错误；

C项，平面ABCD为平面α，直线A1D为直线m，A1B1为直线n，则n/​/α，C项错误；

D项，若9.【答案】C

【解析】解：因为AB=DC，所以AB=DC且AB//DC，所以四边形ABCD为平行四边形，

又|AB+AD|=|AB−AD|，两边平方得：4AB2+2AB⋅AD+AD2=AB2−2AB⋅A10.【答案】B

【解析】解：对于①，因为C1D1/​/AB，所以C1，D1，A，B共面，

因为AH⊂平面ABC1D1，

所以C1D1⊂平面ABH，所以①错误；

对于②，因为DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

所以DD1⊥AC，即DF⊥AC，

因为AC⊥BD，BD∩DF=D，BD，DF⊂平面BDF，

所以AC⊥平面BDF，所以②正确，

对于③，取AD的中点G，连接GF，GE，AD1，

因为F为DD1的中点，所以GF/​/AD，GF=12AD1，

因为AD1/​/BC1，所以GF//BC1，

所以∠GFE为直线EF与直线BC1所成的角，

设正方体的棱长为2，则FG=11.【答案】112【解析】解：因为甲、乙两人是否译出该密码相互独立，

所以甲、乙都译出该密码的概率为13×14=112．

12.【答案】53【解析】解：由题意可知，这组数据的平均数为x−=16×(9+5+7+613.【答案】−10【解析】解：向量2a−b与λa+5b共线，

则存在实数k，使得λa+5b=k(2a−b)，14.【答案】4【解析】解：正方体ABCD−A1B1C1D1的外接球的表面积为36π，

所以4πR2=36π，解得R=3，

设正方体的棱长为a，则315.【答案】110

23【解析】解：因为AD=2DB，P为CD上一点，

所以设CP=λCD，

则AP=AC+CP=AC+λCD=AC+λ(AD−AC)=(1−λ)AC16.【答案】(I)解：当m=1时，z=−5−i．

所以|z|=(−5)2+(−1)2=26．

(II)z=【解析】(Ⅰ)结合复数模公式，即可求解；

(Ⅱ)结合纯虚数的定义，即可求解；

(Ⅲ)结合复数的几何意义，即可求解．

本题主要考查纯虚数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题．17.【答案】解：(I)由所给数据可知，一等品零件共有5个，

设“从8个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件A，

则P(A)=58；

(II)一等品零件的编号为A1，A2，A3，A4，A5，

从这5个一等品零件中依次不放回随机抽取2个，所有可能的结果有：

Ω={(A1,A2)，(A1,A3)，(A1,A4)，(A1,A5)，(A2,A1)，(A2,A3)，(A2【解析】(Ⅰ)利用古典概型的概率公式求解；

(Ⅱ)利用古典概型的概率公式求解．

本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．18.【答案】解：(I)3asinB+bcosA=0．

由正弦定理得3sinAsinB+sinBcosA=0．

因为B∈(0,【解析】(Ⅰ)结合正弦定理，即可求解；

(Ⅱ)结合余弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解．

本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．19.【答案】(I)解：由频率分布直方图得：10×(0.2a+0.3a+0.7a+0.6a+0.2a)=1．

解得a=0.05，众数是75．

(II)解：因为，成绩在[50,60)一组人数为30人，其频率0.2×0.05×10=0.1，

所以，样本容量为300.1=300．

成绩在[80,90)和[90,100]的频数为90，30．

设在[80,90)和[90,100]按照分层随机抽样分别抽取x人，y人，按照分层随机抽样12120=x90=y30．【解析】(Ⅰ)根据频率分布直方图的性质，即可求解；

(Ⅱ)根据分层抽样的概念，即可求解；

(Ⅲ)根据百分位数的概念，即可求解．

本题考查频率分布直方图的相关知识，百分位数的概念，中位数的定义，属中档题．20.【答案】解：(I)证明：∵BC=CD=12AD，E为AD的中点．

∴BC//AE且BC=A