2023-2024学年黑龙江省牡丹江市海林市朝鲜族中学高二（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年黑龙江省牡丹江市海林市朝鲜族中学高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列函数中为偶函数且在区间(0,+∞)上是增函数的是(

)A.f(x)=1x2 B.f(x)=|x| C.f(x)=2.已知x>2，则函数y=x+12(x−2)−2的最小值是A.22 B.22−2 3.已知幂函数f(x)=(m2−2m−2)x​m2−2A.−1 B.3 C.−1或3 D.1或−34.已知4x=9y=6，则A.2 B.1 C.12 D.5.f(x)为(−∞,+∞)上的减函数，a∈R，则(

)A.f(a)<f(2a) B.f(a2)<f(a) C.f(6.已知x∈(1,2)，a=2x2，b=(2x)2，c=22xA.a>b>c B.b>c>a C.b>a>c D.c>a>b7.若偶函数f(x)在(0,+∞)上单调递减，且f(2)=0，则不等式f(x)+f(−x)3x<0的解集为(

)A.(−2,2) B.(−2,0)∪(2,+∞)

C.(−∞,−2)∪(2,+∞) D.(−∞,−2)∪(0,2)8.已知f(x)是R上的奇函数，且f(x+2)=f(−x)，当x∈(0,1]时，f(x)=2x+1，则f(21)=(

)A.1 B.−1 C.3 D.−3二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=x+2,x≤−1,x2,−1<x<2,关于函数f(x)A.f(x)的值域为(−∞,4) B.f(1)=3

C.若f(x)=3，则x的值是3 D.f(x)<1的解集为10.已知f(x)是定义域为R的函数，满足f(x+1)=f(x−3)，f(1+x)=f(3−x)，当0≤x≤2时，f(x)=x2−x，则下列说法正确的是A.f(x)的最小正周期为4

B.f(x)的图象关于直线x=2对称

C.当0≤x≤4时，函数f(x)的最大值为2

D.当6≤x≤8时，函数f(x)的最小值为−11.已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x+2)=−f(x)，若函数f(x+1)的图像关于x=−1对称，且对任意的x1，x2∈(0,2)，且x1≠x2，都有A.f(x)是偶函数 B.f(2022)=0

C.f(x)的图像关于(1,0)对称 D.f(−三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若m>0，n>0，m+n=3，则1m+413.函数y=x+2x−1的最小值为

．14.已知f(x)=x5+ax3+bx−8(a,b是常数)，且四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=(a2+a−5)ax是指数函数．

(1)求f(x)的解析式；

(2)16.(本小题15分)

已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且它的图象关于直线x=1对称．

(1)求f(0)的值．

(2)证明函数f(x)是周期函数．17.(本小题15分)

已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在区间[−2,4]上的最大值是16．

(1)求实数a的值；

(2)假设函数g(x)=log2(x2−3x+2a)18.(本小题17分)

函数f(x)的定义域为(0,+∞)，且对任意x>0，y>0都有f(xy)=f(x)−f(y)+1，且f(2)=2，当x>1时，有f(x)>1．

(1)求f(1)，f(4)的值；

(2)判断f(x)的单调性并加以证明；

(3)求f(x)在19.(本小题17分)

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c，且满足f(0)=2，f(x+1)−f(x)=2x+1．

(Ⅰ)求函数f(x)的解析式；

(Ⅱ)若关于x的方程f(x)−m=0在x∈[−1,2]上有解，求实数m的取值范围；

(Ⅲ)当x∈[t,t+2](t∈R)时，求函数f(x)的最小值(用t表示)答案解析1.B

【解析】解：对于选项A，函数在区间(0,+∞)上是减函数，故选项A错误；

对于选项B，函数为偶函数且在区间(0,+∞)上是增函数，故选项B正确；

对于选项C，函数的定义域为[0,+∞)，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，故选项C错误；

对于选项D，函数为奇函数，故选项D错误．

故选B．2.D

【解析】解：x>2时，y=x+12(x−2)−2≥2(x−2)⋅12(x−2)=2，

当且仅当x−2=12(x−2)，即x=2+【解析】解：∵幂函数f(x)=(m2−2m−2)x​m2−2在(0,+∞)上为增函数，

∴m4.A

【解析】解：4x=9y=6，

则x=log46，y=log96，

故【解析】解：因为a∈R，所以a−2a=−a与0的大小关系不定，没法比较f(a)与f(2a)的大小，故A错

而a2−a=a(a−1)与0

的大小关系也不定，f(a2)与f(a)的大小，故B错；

又因为a2+1−a=(a−12)2+34>0，

所以a2+1>a.又f(x)为(−∞,+∞)上的减函数，【解析】解：x∈(1,2)时，x2<2x，所以2x2<22x，即a<c；

又(2x)2=22x，x∈(1,2)，2x>2x7.B

【解析】解：因为偶函数f(x)在(0,+∞)上单调递减，且f(2)=0，

所以f(x)在(−∞,0)上单调递增，且f(−2)=0，

所以当x∈(−2,0)∪(0,2)时，f(x)>0；当x∈(−∞,−2)∪(2,+∞)时，f(x)<0，

不等式f(x)+f(−x)3x<0可化为2f(x)3x<0，即xf(x)<0，

所以x<0f(x)>0或x>0f(x)<0，

所以8.C

【解析】解：∵f(x)是R上的奇函数，

∴f(−x)=−f(x)，

由f(x+2)=f(−x)=−f(x)可得f(x+4)=f(x)，

∵0≤x≤1时，f(x)=2x+1，

则f(21)=f(4×5+1)=f(1)=2×1+1=3．

故选：C．9.AC

【解析】解：当x≤−1时，f(x)的取值范围是(−∞,1]，

当−1<x<2时，f(x)的取值范围是[0,4)，

因此f(x)的值域为(−∞,4)，故A正确；

当x=1时，f(1)=12=1，故B错误；

当x≤−1时，由x+2=3，解得x=1(舍去)，

当−1<x<2时，由x2=3，解得x=3或x=−3(舍去)，故C正确；

当x≤−1时，由x+2<1，解得x<−1，

当−1<x<2时，由x2<1，解得−1<x<1，

因此f(x)<1的解集为(−∞,−1)∪(−1,1)【解析】解：∵对任意实数x满足f(x+1)=f(3−x)，

可得函数f(x)关于x=2对称轴，

又∵f(x+1)=f(x−3)，

∴f(x+4)=f(x)

即函数f(x)是周期函数，最小正周期为4．

∴f(3−x)=f(x−3)，

那么f(−x)=f(x)

∴函数f(x)是偶函数，

又∵当0≤x≤2时，f(x)=x2−x

∴函数f(x)在区间[12,2]上单调递增．

∴函数f(x)在区间[0,12]上单调递减．

∴当0≤x≤4时，函数f(x)的最大值为2．

∵函数f(x)的周期为4，关于x=2对称轴．

当6≤x≤8时，函数f(x)=f(x−4)=f(8−x)=(8−x)2−(8−x)=x11.ABC

【解析】解：因为y=f(x+1)的图像关于直线x=−1对称，

所以将y=f(x+1)的图像向右平移一个单位，得y=f(x)的图像，关于y轴对称，

故y=f(x)是偶函数，故A正确；

因为函数f(x)对任意x∈R都有f(x+2)=−f(x)，

所以f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，

所以函数f(x)的周期为T=4，

所以f(2022)=f(4×505+2)=f(2)=f(−2)=0，故B正确；

因为f(x+2)=−f(x)=−f(−x)，所以f(x+2)+f(−x)=0，

所以f(x)的图像关于(1,0)对称，故C正确；

因为任意的x1，x2∈(0,2)，且x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2>0，

12.3

【解析】解：由m+n=3，得13(m+n)=1，又m>0，n>0，

所以1m+4n=13(m+n)(1m+4n)=53+13.12【解析】解：令t=2x−1，则t≥0，且x=t2+12，

所以原函数变为y=t2+12+t，t≥0．

配方得y=12t+1214.−21

【解析】解：已知f(x)=x5+ax3+bx−8，

则g(x)=f(x)+8=x5+ax3+bx为奇函数，

则g(x)+g(−x)=0，

即g(3)+g(−3)=0，

15.解：(1)根据题意，∵函数f(x)=(a2+a−5)ax是指数函数，

∴a2+a−5=1且a>0，解得，a=2，

故f(x)=2x；

(2)F(x)为奇函数，证明如下：

F(x)=f(x)−f(−x)=2x−2−x的定义域为R，【解析】(1)由指数函数的定义知a2+a−5=1且a>0，可解得a=2，则f(x)=2x；

(2)可判断F(x)为奇函数，利用奇偶性的定义证明即可．

16.解：(1)因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(−x)=−f(x)，当x=0时，f(−0)=−f(0)，所以f(0)=0．

(2)因为函数关于x=1对称，所以f(1+x)=f(1−x)，

即f(1+x)=f(1−x)=−f(x−1)，

所以f(x+2)=−f(x)，即f(x+4)=f(x)．

【解析】(1)根据函数是奇函数得到f(−x)=−f(x)，所以令x=0得，f(−0)=−f(0)，可得f(0)=0．

(2)根据函数关于x=1对称得到f(1+x)=f(1−x)，然后利用函数的周期性的定义证明即可．

17.解：(1)当0<a<1时，函数f(x)在区间[−2,4]上是减函数，

因此当x=−2时，函数f(x)取得最大值16，即a−2=16，

因此a=14；

当a>1时，函数f(x)在区间[−2,4]上是增函数，

当x=4时，函数f(x)取得最大值16，即a4=16，

因此a=2，

所以a=14或2．

(2)因为g(x)=log2(x2−3x+2a)的定义域是R，

即x2−3x+2a>0恒成立．

则方程x2−3x+2a=0的判别式Δ<0，即(−3)2−4×2a<0，

解得a>98，

又因为【解析】(1)当0<a<1时，由函数f(x)在区间[−2,4]上是减函数求解；，当a>1时，函数f(x)在区间[−2,4]上是增函数求解；

(2)根据g(x)=log2(x2−3x+2a)的定义域是R，由x2−3x+2a>0恒成立求解．

18.解：(1)可令x=y=1时，f(1)=f(1)−f(1)+1=1；

令x=4，y=2可得f(2)=f(4)−f(2)+1，即f(4)=3；

(2)函数f(x)在x>0上为增函数．

理由：当x>1时，有f(x)>1，

可令0<x1<x2，即有x2x1>1，则f(x2x1)=f(x2)−f(x1)+1>1，

可得f(x2)>f(x1)，

则f(x)在【解析】(1)可令x=y=1，可得f(1)；令x=4，y=2，可得f(4)；

(2)函数f(x)在x>0上为增函数．可令0<x1<x19.解：(Ⅰ)∵f(x+1)−f(x)=2x+1，

∴a(x+1)2+b(x+1)+c−ax2−bx−c=2ax+a+b=2x+1，

∴2a=2a+b=1，解得a=1，b=0，

又f(0)=2，∴c=2，

∴f(x)=x2+2；

(Ⅱ)由f(x)−m=0得，方程x2+2=m在x∈[−1,2]上有解，如图，

则2≤m≤6，

∴m的取值范围为[2,6]；

(Ⅲ)∵x∈[t,t+2]，

∴①t≥0时，f(