2025年高考数学一轮复习-第七章-第二节-等差数列【课件】

必备知识·逐点夯实第二节等差数列第七章数列核心考点·分类突破【课标解读】【课程标准】1.理解等差数列的概念并掌握其通项公式与前n项和公式.2.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题.3.体会等差数列与一次函数的关系.【核心素养】数学建模、数学运算、逻辑推理【命题说明】考向考法高考命题常以等差数列为载体,考查基本量的运算、求和及性质的应用.等差数列前n项和的性质是高考的热点,常以选择题的形式出现.预测2025年高考将会从以下两个角度来考查:(1)等差数列及其前n项和的基本运算与性质;(2)等差数列的综合应用,可能与等比数列、函数、方程、不等式相结合考查.必备知识·逐点夯实知识梳理·归纳1.等差数列的有关概念定义通项公式设{an}是首项为a1,公差为d的等差数列,则通项公式为an=_________等差中项由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,___叫做a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道,2A=____同一个常数a1+(n-1)dAa+b

已知条件前n项和公式a1,an,na1,d,nSn=___________

(n-m)dak+al=am+anmd常用结论

1.已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列,且公差为p.2.在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则Sn存在最大值;若a1<0,d>0,则Sn存在最小值.3.等差数列{an}的单调性:当d>0时,{an}是递增数列;当d<0时,{an}是递减数列;当d=0时,{an}是常数列.4.数列{an}是等差数列⇔Sn=An2+Bn(A,B为常数).基础诊断·自测1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.(

)提示:(1)第2项起每一项与它的前一项的差应是同一个常数;

(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2.(

)类型辨析易错高考题号132,4×√(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.(

)提示:(3)如果数列为0,0,0,0,则其通项公式不是一次函数.(4)已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列.(

)×√

4.(2022·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若2S3=3S2+6,则公差d=

.

【解析】因为2S3=3S2+6,所以2(a1+a2+a3)=3(a1+a2)+6,化简得3d=6,解得d=2.2核心考点·分类突破

解题技法等差数列基本量运算的常见类型及解题策略(1)求公差d或项数n:在求解时,一般要运用方程思想;(2)求通项:a1和d是等差数列的两个基本元素;(3)求特定项:利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解;(4)求前n项和:利用等差数列的前n项和公式直接求解或利用等差中项间接求解.

考点二等差数列的判定与证明教考衔接教材情境·研习·典题类

解题技法等差数列的判定与证明的常用方法提醒:若要判定一个数列不是等差数列,则只需找出三项an,an+1,an+2,使得这三项不满足2an+1=an+an+2即可.主要方法定义法对任意n∈N*,an+1-an是同一常数⇔{an}为等差数列.等差中项法2an+1=an+an+2⇔{an}为等差数列.常用结论通项公式法an=pn+q(p,q为常数)⇔{an}是等差数列.前n项和公式法Sn=An2+Bn(A,B为常数)⇔{an}是等差数列.问题的最终判定还是利用定义对点训练已知数列{an}满足a1=1,且nan+1-(n+1)an=2n2+2n.(1)求a2,a3;【解析】(1)由已知,得a2-2a1=4,则a2=2a1+4,又a1=1,所以a2=6.由2a3-3a2=12,得2a3=12+3a2,所以a3=15.

角度2

等差数列求和[例3](1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于(

)A.63 B.45 C.36 D.27【解析】选B.由{an}是等差数列,得S3,S6-S3,S9-S6为等差数列,即2(S6-S3)=S3+(S9-S6),得到S9-S6=2S6-3S3=45.

角度3

等差数列求最值[例4](一题多法)等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=13,S3=S11,当Sn最大时,n的值是(

)A.5 B.6 C.7 D.8【解析】选C.方法一(邻项变号法):由S3=S11,得a4+a5+…+a11=0,根据等差数列的性质,可得a7+a8=0.根据首项等于13可推知这个数列为递减数列,从而得到a7>0,a8<0,故n=7时Sn最大.方法二(函数法):由S3=S11,可得3a1+3d=11a1+55d,把a1=13代入,得d=-2,故Sn=13n-n(n-1)=-n2+14n.根据二次函数的性质,知当n=7时Sn最大.

对点训练1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5=7,S10=21,则S15=(

)A.35

B.42

C.49

D.63【解析】选B.在等差数列{an}中,S5,S10-S5,S15-S10成等差数列,即7,14,S15-21成等差数列,所以7+(S15-21)=2×14,解得S15=42.

解题技法等差数列实际应用的解题策略(1)审清题意,确定是否为等差问题,依据就是相邻项之间的差是否为同一个常数;(2)对于等差问题,确定其首项、公差、项数、通项公式、前n项和,把实际问题转化为等差数列基本量的运算.对点训练我国二十四节气依次为:大寒、小寒、冬至、大雪、小雪、立冬、霜降、寒露、秋分、白露、处暑、立秋、大暑、小暑、夏至、芒种