2025年高考数学一轮复习-第六章-第二节-等差数列（课件）

第二节等差数列1.理解等差数列的概念和通项公式的意义.2.探索并掌握等差数列的前

n

项和公式，理解等差数列的通项公式与

前

n

项和公式的关系.3.体会等差数列与一元一次函数的关系.目录CONTENTS123知识逐点夯实课时跟踪检测考点分类突破PART1知识逐点夯实必备知识系统梳理基础重落实课前自修1.等差数列的有关概念（1）定义：如果一个数列从

起，每一项与它的前一项

的

都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数

列，这个常数叫做等差数列的

，公差通常用字母

d

表

示，符号表示为

（

n

∈N*，

d

为常数）.提醒

在公差为

d

的等差数列{

an

}中：①

d

＞0⇔{

an

}为递增

数列；②

d

＝0⇔{

an

}为常数列；③

d

＜0⇔{

an

}为递减数列.第2项差公差an

＋1－

an

＝

d

（2）等差中项：数列

a

，

A

，

b

成等差数列的充要条件是

A

＝

，其中

A

叫做

a

与

b

的等差中项.

2.等差数列的有关公式（1）通项公式：

an

＝

a

1＋（

n

－1）

d

＝

nd

＋（

a

1－

d

）⇒当

d

≠0时，

an

是关于

n

的一次函数模型，即

an

＝

pn

＋

q

，

其中

p

为公差；

3.等差数列的常用性质（1）通项公式的推广：

an

＝

am

＋（

n

－

m

）

d

（

n

，

m

∈N*）；（2）若{

an

}为等差数列，且

k

＋

l

＝

m

＋

n

（

k

，

l

，

m

，

n

∈N*），则

ak

＋

al

＝

am

＋

an

；（3）若{

an

}是等差数列，公差为

d

，则

ak

，

ak

＋

m

，

ak

＋2

m

，…

（

k

，

m

∈N*）是公差为

md

的等差数列；（4）数列

Sm

，

S

2

m

－

Sm

，

S

3

m

－

S

2

m

，…也是等差数列，公差

为

⁠.m

2

d

1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则

这个数列是等差数列.

（

×

）（2）等差数列{

an

}的单调性是由公差

d

决定的.

（

√

）（3）数列{

an

}为等差数列的充要条件是对任意

n

∈N*，都有2

an

＋1

＝

an

＋

an

＋2.

（

√

）（4）等差数列的前

n

项和公式是常数项为0的二次函数.

（

×

）×√√×2.在数列{

an

}中，

a

1＝－2，

an

＋1－

an

＝2，则

a

5＝（

）A.－6B.6C.－10D.10解析：

∵

an

＋1－

an

＝2，∴数列{

an

}是公差为2的等差数列，又

a

1＝－2，∴

a

5＝

a

1＋4

d

＝－2＋2×4＝6.故选B.3.已知等差数列{

an

}，若

a

1＝12，

a

2＋

a

5＝36，则

a

6＝（

）A.20B.24C.28D.32解析：

由等差数列的性质可知，

a

1＋

a

6＝

a

2＋

a

5＝36，所以

a

6

＝36－

a

1＝24.故选B.4.已知

Sn

为等差数列{

an

}的前

n

项和，

a

2＝2，

S

4＝14，则

an

＝

⁠

⁠.

3

n

－4

5.（2024·金华模拟）在首项为28的等差数列{

an

}中，从第8项开始为

负数，则公差

d

的取值范围是

⁠.

A.0B.1

C.2023D.20242.在项数为2

n

的等差数列中，各奇数项之和为75，各偶数项之和为

90，末项与首项之差为27，则

n

＝

⁠.

3.已知等差数列{

an

}的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所

有偶数项之和为290，则该数列的中间项为

⁠.解析：设项数为奇数2

n

－1，由结论4可得：

S

奇－

S

偶＝

an

＝319－

290＝29.5

29

2

PART2考点分类突破精选考点典例研析技法重悟通课堂演练【例1】

（1）（2023·全国甲卷5题）记

Sn

为等差数列{

an

}的前

n

项

和.若

a

2＋

a

6＝10，

a

4

a

8＝45，则

S

5＝（

）A.25B.22等差数列基本量的运算

C.20D.15

（2）（多选）记

Sn

为等差数列{

an

}的前

n

项和，已知

S

4＝0，

a

5＝

5，则下列选项正确的是（

）A.

a

2＋

a

3＝0B.

an

＝2

n

－5C.

Sn

＝

n

（

n

－4）D.

d

＝－2

解题技法等差数列基本量运算的常见类型及解题策略（1）求公差

d

或项数

n

：在求解时，一般要运用方程思想；（2）求通项：

a

1和

d

是等差数列的两个基本元素；（3）求特定项：利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解；（4）求前

n

项和：利用等差数列的前

n

项和公式直接求解或利用等差

中项间接求解.

1.已知{

an

}为等差数列，其前

n

项和为

Sn

，若

a

1＝1，

a

3＝5，

Sn

＝

64，则

n

＝（

）A.6B.7C.8D.9

2.在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建

筑中包含许多与9相关的设计.例如，北京天坛圜丘坛的地面由扇环

形的石板铺成，如图，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第

一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共9圈，

则第7圈的石板数为

，前9圈的石板总数为

⁠.63

405

所以2

Sn

＋1＋（

n

＋1）2＝2

an

＋1（

n

＋1）＋（

n

＋1），

②②－①，得2

an

＋1＋2

n

＋1＝2

an

＋1（

n

＋1）－2

ann

＋1，化简得

an

＋1－

an

＝1，所以数列{

an

}是公差为1的等差数列.等差数列的判定与证明

解题技法判断数列{

an

}是等差数列的常用方法（1）定义法：对任意

n

∈N*，

an

＋1－

an

是同一常数；（2）等差中项法：对任意

n

≥2，

n

∈N*，满足2

an

＝

an

＋1＋

an

－1；（3）通项公式法：对任意

n

∈N*，都满足

an

＝

pn

＋

q

（

p

，

q

为常

数）；（4）前

n

项和公式法：对任意

n

∈N*，都满足

Sn

＝

An

2＋

Bn

（

A

，

B

为常数）.提醒

（3）（4）只适用于客观题的求解与判断.

1.已知数列{

an

}的前

n

项和

Sn

＝

an

2＋

bn

（

a

，

b

∈R）且

a

2＝3，

a

6

＝11，则

S

7＝（

）A.13B.49C.35D.63

等差数列的性质及应用考向1

等差数列项的性质【例3】

（1）在等差数列{

an

}中，已知

a

2＝5，

am

＝7，

am

＋3＝

10，则数列{

an

}的前

m

项和为（

）A.12B.22C.23D.25

（2）已知数列{

an

}，{

bn

}都是等差数列，

a

1＝1，

b

1＝5，且

a

21－

b

21＝34，则

a

11－

b

11＝（

）A.－17B.

－15C.17D.15

解题技法

考向2

等差数列前

n

项和的性质【例4】

（1）已知等差数列{

an

}的前

n

项和为

Sn

，若

S

10＝10，

S

20

＝60，则

S

40＝（

D

）A.110B.150C.210D.280解析：因为等差数列{

an

}的前

n

项和为

Sn

，所以

S

10，

S

20

－

S

10，

S

30－

S

20，

S

40－

S

30也成等差数列.故（

S

30－

S

20）＋

S

10

＝2（

S

20－

S

10），所以

S

30＝150.又因为（

S

20－

S

10）＋（

S

40－

S

30）＝2（

S

30－

S

20），所以

S

40＝280.

解题技法

在等差数列{

an

}中，

Sn

为其前

n

项和，则：（1）

S

2

n

＝

n

（

a

1＋

a

2

n

）＝…＝

n

（

an

＋

an

＋1），

S

2

n

－1＝（2

n

－

1）

an

；（2）

Sk

，

S

2

k

－

Sk

，

S

3

k

－

S

2

k

，…成等差数列.考向3

等差数列前

n

项和的最值问题【例5】

（多选）设等差数列{

an

}的前

n

项和为

Sn

，若

S

15＞0，

S

16

＜0，则（

）A.

a

8＞0B.

a

9＜0

解题技法求等差数列前

n

项和

Sn

最值的两种方法

A.14B.15C.16D.17

2.一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之

比为32∶27，则公差

d

＝

⁠.

5

13

PART3课时跟踪检测关键能力分层施练素养重提升课后练习1.（2024·芜湖模拟）在等差数列{

an

}中，若

a

3＋

a

9＝30，

a

4＝11，

则{

an

}的公差为（

）A.－2B.2C.－3D.3

1234567891011121314152.（2024·九省联考）记等差数列{

an

}的前

n

项和为

Sn

，

a

3＋

a

7＝6，

a

12＝17，则

S

16＝（

）A.120B.140C.160D.180

1234567891011121314153.（2024·昆明一模）已知数列{

an

}和{

bn

}均为等差数列，

a

1＝1，

b

1

＝2，

a

10＋

b

10＝39，则数列{

an

＋

bn

}的前50项和为（

）A.5000B.5050C.5100D.5150

1234567891011121314154.（2024·抚州模拟）中国古代数学著作《九章算术》中有这样一个

问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第2个月开始，每月比

前一月多入相同量的铜钱），第3月入25贯，全年（按12个月计）

共入510贯”，则该人第12月营收贯数为（

）A.64B.66C.68D.70123456789101112131415

1234567891011121314155.（多选）记等差数列{

an

}的前

n

项和为

Sn

，已知

a

5＝3，

S

3＝－9，

则有（

）A.

a

1＝－5B.

a

4＜0C.

S

6＝0D.

S

3＜

S

4123456789101112131415

1234567891011121314156.（多选）已知

Sn

是等差数列{

an

}（

n

∈N*）的前

n

项和，且

S

8＞

S

9

＞

S

7，则下列结论正确的是（

）A.公差

d

＜0B.在所有小于0的

Sn

中，

S

17最大C.

a

8＞

a

9D.满足

Sn

＞0的

n

的个数为15123456789101112131415

1234567891011121314157.已知等差数列{

an

}的前

n

项和为

Sn

，若

a

1＝1，

S

3＝

a

5，

am

＝2

025，则

m

＝

⁠.解析：∵

S

3＝3

a

1＋3

d

，∴3

a

1＋3

d

＝

a

1＋4

d

，即

d

＝2，

am

＝

a

1

＋（

m

－1）×2＝2

m

－1＝2025，∴

m

＝1013.1013

1234567891011121314158.若一个等差数列{

an

}满足：①每项均为正整数；②首项与公差的积

大于该数列的第二项且小于第三项.写出一个满足条件的数列的通项

公式

an

＝

⁠.解析：设{

an

}的公差为

d

，由题意得，

a

2＜

a

1

d

＜

a

3，所以

a

1＋

d

＜

a

1

d

＜

a

1＋2

d

，又

a

1，

d

为正整数，所以可取

a

1＝3，

d

＝2，故

an

＝3＋2（

n

－1）＝2

n

＋1.2

n

＋1（答案不唯一）

123456789101112131415

12345678910111213141510.设数列{

an

}的前

n

项和为

Sn

，且

Sn

＝2

n

－1.数列{

bn

}满足

b

1＝2，

bn

＋1－2

bn

＝8

an

.（1）求数列{

an

}的通项公式；解：当

n

＝1时，

a

1＝

S

1＝21－1＝1；当

n

≥2时，

an

＝

Sn

－

Sn

－1＝（2

n

－1）－（2

n

－1－1）

＝2

n

－1.因为

a

1＝1符合上式，所以

an

＝2

n

－1.123456789101112131415

123456789101112131415

A.10B.20C.30D.40123456789101112131415

12345678910111213141512.（2024·襄阳模拟）已知等差数列{

an

}中，

a

2＝4，

a

6＝16，若在

数列{

an

}每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差

数列，则新数