2025年高考数学一轮复习-第九章-第一节 椭圆及其性质-课时作业【含解析】

2025年高考数学一轮复习-第九章-第一节椭圆及其性质-课时作业（原卷版）[A组基础保分练]1.（多选）已知动点M（x，y）满足（x+2）2＋y2＋（xA.椭圆B.直线C.圆D.线段2.（2024·云南昆明）已知椭圆x24＋y23＝1的两个焦点为F1，F2，过F2的直线交椭圆于M，N两点，则△F1MNA.2B.4C.6D.83.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于12，则C的方程是（A.x23＋y24＝1B.xC.x24＋y23＝1D.x24.（2024·江西南昌）椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则实数m的值为（）A.2B.4C.12D.5.（多选）（2024·江苏淮安）为使椭圆x22＋y2m＝1的离心率为13，正数A.95B.C.169D.6.如图，已知椭圆C的中心为原点O，F（－25，0）为C的左焦点，P为C上一点，满足｜OP｜＝｜OF｜，且｜PF｜＝4，则椭圆C的方程为（）A.x225＋y25＝1B.xC.x236＋y216＝1D.x7.（2024·山东青岛）已知F1，F2分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2A.23，1C.13，18.椭圆C的左焦点为F1（－6，0），且经过点P（5，2），则椭圆C的标准方程为.9.（2024·北京）已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，点P在C上，且PF1＋P10.过椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点.若以AB为直径的圆与11.已知A（1，3），F是椭圆C：x29＋y25＝1的左焦点，P是椭圆C上的动点，则｜PA｜＋｜[B组能力提升练]12.（2024·云南昆明）已知椭圆x2a2＋y2b2＝1a＞b>0的左、右焦点分别为F1，F2，点A是椭圆短轴的一个端点，且cos∠F1AF2A.12B.C.36D.13.已知椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的半焦距是c，A，B分别是长轴、短轴的一个端点，O为原点，若△ABO的面积是3A.12B.C.22D.14.已知圆（x＋2）2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，且点N（2，0），线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线15.（多选）已知P是椭圆C：x26＋y2＝1上的动点，Q是圆D：（x＋1）2＋y2＝15上的动点，则下列结论正确的是A.C的焦距为5B.C的离心率为30C.圆D在C的内部D.｜PQ｜的最小值为216.我们把离心率为22的椭圆称为“最美椭圆”.已知椭圆C为“最美椭圆”，焦点在x轴上，且以椭圆C上一点P和椭圆两焦点F1和F2为顶点的三角形的面积最大值为4，则椭圆C的方程为（A.x22＋y2＝1B.x24C.x26＋y23＝1D.x17.（多选）已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2（如图），离心率为12，过F1的直线AF1垂直于x轴，且在第二象限中交E于点A，直线AF2交E于点B（A.若椭圆E的焦距为2，则短轴长为43B.△ABF1的周长为4aC.若△AF1F2的面积为12，则椭圆E的方程为x232＋yD.△ABF1与△AF1F2的面积的比值为1018.（2024·河南平顶山）已知椭圆C的一个焦点为F（0，1），椭圆C上的点到F的距离的最小值为1，则椭圆C的标准方程为；若P为椭圆C上一动点，M（3，3），则｜PM｜－｜PF｜的最小值为.19.甲、乙两名探险家在某山中探险，他们来到一个山洞，洞内是一个椭球形，截面是一个椭圆，甲、乙两人分别站在洞内如图所示的A，B两点处，甲站在A处唱歌时，乙在与A处有一定距离的B处听得很清晰，原因在于甲、乙两人所站的位置恰好是洞内截面椭圆的两个焦点，符合椭圆的光学性质，即从一个焦点发出光经椭圆反射后经过另一个焦点.现已知椭圆C：x2100＋y236＝1上一点M，过点M作切线l，A，B分别为椭圆C的左、右焦点，cos∠AMB＝－14，由光的反射性质：光的入射角等于反射角，则椭圆中心O2025年高考数学一轮复习-第九章-第一节椭圆及其性质-课时作业（解析版）[A组基础保分练]1.（多选）已知动点M（x，y）满足（x+2）2＋y2＋（xA.椭圆B.直线C.圆D.线段答案：ABC解析：设点F1（－2，0），F2（2，0），由题意知动点M满足｜MF1｜＋｜MF2｜＝4＝｜F1F2｜，故动点M的轨迹是线段F1F2.2.（2024·云南昆明）已知椭圆x24＋y23＝1的两个焦点为F1，F2，过F2的直线交椭圆于M，N两点，则△F1MNA.2B.4C.6D.8答案：D解析：由x24＋y23＝1因为M，N是椭圆上的点，F1，F2是椭圆的焦点，所以｜MF1｜＋｜MF2｜＝2a，｜NF1｜＋｜NF2｜＝2a，因此△F1MN的周长为｜MF1｜＋｜MN｜＋｜NF1｜＝｜MF1｜＋｜MF2｜＋｜NF2｜＋｜NF1｜＝2a＋2a＝4a＝8.3.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于12，则C的方程是（A.x23＋y24＝1B.xC.x24＋y23＝1D.x2答案：C解析：依题意，所求椭圆的焦点位于x轴上，且c＝1，e＝ca＝12，所以a＝2，b2＝a2－c2＝3，因此其方程是x244.（2024·江西南昌）椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则实数m的值为（）A.2B.4C.12D.答案：D解析：椭圆的方程x2＋y21m＝1，得b＝1，a＝1m.由长轴长是短轴长的2倍，可得1m＝25.（多选）（2024·江苏淮安）为使椭圆x22＋y2m＝1的离心率为13，正数A.95B.C.169D.答案：CD解析：当焦点在x轴上时，a＝2，b＝m，则c＝2－所以，e＝2－m2＝13，解得当焦点在y轴上时，a＝m，b＝2，则c＝m－所以，e＝m－2m＝13，解得6.如图，已知椭圆C的中心为原点O，F（－25，0）为C的左焦点，P为C上一点，满足｜OP｜＝｜OF｜，且｜PF｜＝4，则椭圆C的方程为（）A.x225＋y25＝1B.xC.x236＋y216＝1D.x答案：C解析：依题意，设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0由已知，半焦距c＝25.又由｜OP｜＝｜OF｜＝｜OF'｜，知∠FPF'＝90°.在Rt△PFF'中，｜PF'｜＝｜FF'｜2−|PF｜2＝（45）2－42＝8.由椭圆的定义可知2a＝｜PF｜＋｜PF'｜＝4＋8＝12，所以a＝6，于是b2＝a2－c2＝7.（2024·山东青岛）已知F1，F2分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2A.23，1C.13，1答案：C解析：如图所示，∵线段PF1的中垂线经过F2，∴｜PF2｜＝｜F1F2｜＝2c，即椭圆上存在一点P，使得｜PF2｜＝2c，∴a－c≤2c＜a＋c.∴e＝ca∈18.椭圆C的左焦点为F1（－6，0），且经过点P（5，2），则椭圆C的标准方程为.答案：x245＋y解析：椭圆C的左焦点为F1（－6，0），则椭圆C的焦点在x轴上且右焦点为F2（6，0）.由椭圆的定义，得｜PF1｜＋｜PF2｜＝（5+6）2＋22＋（5－6）2＋22＝65＝2a，所以a＝35.又c＝6，所以b2＝a2－c29.（2024·北京）已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，点P在C上，且PF1＋P答案：1解析：由PF1＋PF2＝2a，F1F2＝2c，又所以2a＝6c⇒e＝ca＝110.过椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点.若以AB为直径的圆与答案：0解析：由题设知，直线l：x－c＋yb＝1，即bx－cy＋bc＝0，以AB为直径的圆的圆心为（c，0），根据题意，将x＝c代入椭圆C的方程，得y＝±b2a，即圆的半径r＝b2a.又圆与直线l有公共点，所以｜2bc｜b2＋c2≤b2a，化简得2c≤b，平方整理得a2≥5c2，所以e＝c11.已知A（1，3），F是椭圆C：x29＋y25＝1的左焦点，P是椭圆C上的动点，则｜PA｜＋｜答案：4解析：设椭圆C的右焦点为F'，依题意，知F'（2，0），点A在椭圆内，连接PF'，AF'（图略），由椭圆的定义得｜PF｜＋｜PF'｜＝6，而｜｜PA｜－｜PF'｜｜≤｜AF'｜＝（2－1）2＋（3）2＝2，即－2≤｜PA｜－｜PF'｜≤2，有｜PF'｜－2≤｜PA｜≤2＋｜PF'｜，因此，｜PA｜＋｜PF｜≥｜PF｜＋｜PF'｜－2＝4，当且仅当点P是线段F'A的延长线与椭圆C的交点时取“＝”[B组能力提升练]12.（2024·云南昆明）已知椭圆x2a2＋y2b2＝1a＞b>0的左、右焦点分别为F1，F2，点A是椭圆短轴的一个端点，且cos∠F1AF2A.12B.C.36D.答案：C解析：如图，由题意可知AF1＝AF2＝OA2＋F1O2在△AF1F2中，由余弦定理得4c2＝a2＋a2－2a2cos∠F1AF2，化简得4c2＝13a2则e2＝112，所以e＝313.已知椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的半焦距是c，A，B分别是长轴、短轴的一个端点，O为原点，若△ABO的面积是3A.12B.C.22D.答案：A解析：12ab＝3c2，即a2（a2－c2）＝12c4，所以（a2＋3c2）·（a2－4c2）＝0，所以a2＝4c2，即a＝2c，故e＝ca＝14.已知圆（x＋2）2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，且点N（2，0），线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线答案：B解析：点P在线段AN的垂直平分线上，故｜PA｜＝｜PN｜，又AM是圆的半径，所以｜PM｜＋｜PN｜＝｜PM｜＋｜PA｜＝｜AM｜＝6＞｜MN｜，由椭圆定义知，动点P的轨迹是椭圆.15.（多选）已知P是椭圆C：x26＋y2＝1上的动点，Q是圆D：（x＋1）2＋y2＝15上的动点，则下列结论正确的是A.C的焦距为5B.C的离心率为30C.圆D在C的内部D.｜PQ｜的最小值为2答案：BC解析：∵x26＋y2＝1，∴a＝6，b＝1，∴c＝a2－b2＝6－1＝5，则C的焦距为25，离心率e＝ca＝56＝306.设P（x，y）（－6≤x≤6），则｜PD｜2＝（x＋1）2＋y2＝（x＋1）2＋1－x26＝56x＋652＋45≥16.我们把离心率为22的椭圆称为“最美椭圆”.已知椭圆C为“最美椭圆”，焦点在x轴上，且以椭圆C上一点P和椭圆两焦点F1和F2为顶点的三角形的面积最大值为4，则椭圆C的方程为（A.x22＋y2＝1B.x24C.x26＋y23＝1D.x答案：D解析：由已知e＝ca＝22，得c＝22a，故b＝a2∵S△PF1F2＝12F1F2yP＝1∴22a×22a＝4，得a2＝8，故b2＝12a2所以椭圆C的方程为x28＋y17.（多选）已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2（如图），离心率为12，过F1的直线AF1垂直于x轴，且在第二象限中交E于点A，直线AF2交E于点B（A.若椭圆E的焦距为2，则短轴长为43B.△ABF1的周长为4aC.若△AF1F2的面积为12，则椭圆E的方程为x232＋yD.△ABF1与△AF1F2的面积的比值为10答案：BCD解析：对于A，若椭圆E的焦距为2，则c＝1，由离心率为ca＝12，得a＝2，所以b＝3，则短轴长为23，故A错误；对于B，根据椭圆的定义，得△ABF1的周长为4a，故B正确；对于C，由ca＝12，可得a＝2c，b＝3c，所以椭圆的方程可写为x24c2则S△AF1F2＝12｜F1F2｜｜AF1｜＝32c所以c＝22，则a＝42，b＝26，则椭圆E的方程为x232＋y224＝1，故C正确；对于D，因为｜AF1｜＝32c，所以｜AF2｜＝2a－32c＝52c，如图，过点B作BH⊥x轴，易知△BHF2∽△AF1F2，则｜AF1｜｜BH｜＝｜F1F2｜｜HF2｜＝｜AF2｜｜BF2｜，即32c｜BH｜＝2c｜HF2｜＝52c｜BF2｜，设｜BH｜＝3k，k＞0，则｜HF2｜＝4k，｜BF所以S△ABF1S△AF1F2＝18.（2024·河南平顶山）已知椭圆C的一个焦点为F（0，1），椭圆C上的点到F的距离的最小值为1，则椭圆C的标准方程为；若P为椭圆C上一动点，M（3，3），则｜PM｜－｜PF｜的最小值为.答案：y24＋x23解析：因为椭圆C的一个焦点为F（0，1），所以椭圆C的焦点在y轴上，且c＝1，因为椭圆C上的点到F的距离的最小值为1，所以a－c＝1，得a＝2，因为b2＝a2－c2＝3，所以椭圆C的标准方程为y24＋