2021届高三数学“小题速练”含答案解析09

2021届高三数学“小题速练”9

答案解析

一、单项选择题：.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合4=„>1},8=卜,=/一1,%61<},贝ij他4用8=()

A.(-1,1)B.[-1,0]C.[-1,0)D.(-oo,0]

【答案】B

【解析】由题意A={x|x>0}=(0,+oo),B={y|y>-l}=[-l,+oo),

”=S,0],

所以9RA)n8=[—1,0],

故选：B.

2.设(l—i)z=|G+i],则复平面内彳对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解析】

因为(1-i)z=|6+i卜J3+1=2,

所以(l+i)(l_，)z=2(l+z),

所以2z=2(l+j),即z=l+i

所以』=l-i在复平面对应的点(1,-1)位于第四象限，

故选：D

3.（五-2）的展开式的二项式系数之和为64,则展开式中的常数项为（）

A.120B.-120C.60D.-60

【答案】C

【解析】

由题意2"=64，解得〃=6,

展开式通项公式为&I=C；（4）6T—女=（—2）「。。丁，令—一=0,r=2,

lx/2

所以常数项为（-2）2。：=6（）.

故选：C.

4.某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度d（每层玻璃的厚度相同）及两层玻璃间夹空

夕—4-7----------\

气层厚度/对保温效果的影响，利用热传导定律得到热传导量夕满足关系式.其中玻璃

a+2

的热传导系数4=4xi（尸焦耳/（厘米.度），不流通、干燥空气的热传导系数4nzsxicr4焦耳八厘米.度）,

△T为室内外温度差，4值越小，保温效果越好，现有4种型号的双层玻璃窗户，具体数据如下表：

型号每层玻璃厚度d（单位：厘米）玻璃间夹空气层厚度/（单位：厘米）

A型0.43

B型0.34

C型0.53

D型0.44

则保温效果最好的双层玻璃的型号是()

A.A型B.B型C.C型D.D型

【答案】D

4xl0-3x|AT|/-3-/I

4=477;—\=

4x10-3=4x10x|AT|,固定|AT|,可知16/+M最大时，4

【解析】区+2

d------I+2d16/+2d

)25x10-4

最小，保温效果最好,

对于A型玻璃,16/+切=16x3+2x0.4=48.8,

对于B型玻璃,16/+2d=16/+/2d=16x4+2x0.3=64.6，

对于C型玻璃,16/+2tZ=16x3+2x0.5=49,

对于D型玻璃,16/+2d=16x4+2x0.4=64.8,

经过比较可知,D型玻璃保温效果最好.

故选：D.

5.设函数/(x)=log2W,若“=/log12,Z?=/(log52),c=/(e02),则a,c的大小为()

37

A.b<a<cB.c<a<bC.b<c<aD.a<b<c

【答案】A

【解析】函数的定义域为(T»,0)U(0,+8),

因为〃X)=log2N,所以/(-x)=log2r=log2W=/(x),

所以/(x)为偶函数,

所以a=/log]2=/(-log32)=/(log32),

\3J

因为0<10852<1。832<1,e。？>],

2

所以0<log52<log32<e°-,

因为/(x)=log2|x|在(0，+°。)上为增函数，

所以,(logs2)</(log,2)</(e02),所以b<a<c,

故选：A

6.五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、

羽.如果把这五个音阶全用上，排成一个5个音阶的音序，从所有的这些音序中随机抽出一个音序，则这个

音序中宫、羽不相邻的概率为()

1234

A-B.—C.-D.-

5555

【答案】C

【解析】中国古乐中的五声音阶依次为：官、商、角、微、羽，把这五个音阶全用上，排成一个5个音阶

的音序，基本事件总数“=6=120,

其中宫、羽不相邻的基本事件有m=&=72,

则从所有的这些音序中随机抽出一个音序，这个音序中宫、羽不相邻的概率为

m723

P———----二一，

n1205

故选：C

7.将函数/(x)=sin2x+2石cos?x-百图象向右平移专个单位，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍

(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则下列说法中正确的是()

A.g(x)的周期为兀B.g(x)是偶函数

c.g(x)的图象关于直线x=2对称D.g(x)在-St上单调递增

1，\0Jy

【答案】D

【解析】函数/(x)=sin2x+2>/3cos2x-6=sin2x+ecos2x=2sin

71

把函数图象向右平移二个单位，

12

(兀、冗(不、

得到y=2sin2x---+—=2sin2x+一,

_k12；3JI6J

再把各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，

■」g(x)=2sin(x+?J.

①故函数的最小正周期为2»,故选项A错误；

②函数g(x)Hg(—x),不为偶函数，故选项B错误；

③当x=2L时，g|-^|=V2^2,故选项C错误；

12U2J

④由于工€[-2,9],所以0<X+工〈工,

Vo3762

故函数g(x)单调递增，故选项D正确.

故选：D.

8.已知产是抛物线y2=2"x(p>0)的焦点，过尸的直线与抛物线交于A，5两点，A3的中点为。，过C

作抛物线准线的垂线交准线于G，若CC的中点为M(l,4),则P=()

A.4B.8C.4及D.8>/2

【答案】B

【解析】因为cq的中点为"（1,4）,所以%+%=8,%—5=2xl,

所以+18—4+p,xc=2+,

设直线A3的方程为》”，+勺代入抛物线的方程得，y2-2pmy-p2=0,

所以y4+.yB=2pw,xA+xB=/M（yA+>>B）+/?=8/M+p

p=8

8=2pm，解得《1

所以<

8m+p=4+pm=—

故选：B

二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9.下列判断正确的是（）

A.若随机变量J服从正态分布P（^<4）=0.79,则-2）=0.21；

B.已知直线/，平面a,直线相//平面£,则是“/，机”的充分不必要条件；

C.若随机变量J服从二项分布：则£（J）=l；

D.〃加？〉人〃］？是的充分不必要条件.

【答案】ABCD

【解析】A.已知随机变量。服从正态分布N(1,/),尸&4)=0.79,则曲线关于x=l对称，可得尸(。

＞4)=1-0.79=0.21,尸(生-2)=P(＜f＞4)=0.21,故A正确；

B.若a.”小,直线/J_平面a,直线/_1_夕，：」工m成立.

若LLm,当m〃夕时，则/与夕的位置关系不确定，.•.无法得到a〃夕.

“a〃，提“江利”的充分不必要条件.故B对；

C.由于随机变量《服从二项分布：4〜B(4,-),则优=4x0.25=1,故C对；

4

O.%层＞加产,可推出，力＞〃，，但七＞〃，推不出“切2＞历?2，，,比如〃?=0,故。对；

故选：ABCD.

10.由我国引领的5G时代已经到来，5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快

速发展，进而对GAP增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业

的发展，创造出更多的经济增加值.如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G经济产出所做的预测.结

合图，下列说法不正确的是()

□运营商□信息服务商□设备制造商

A.5G的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加

B.设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓

C.设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位

D.信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势

【答案】C

【解析】由图可知设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位，而后期是信息服务商处于领先

地位，故C项表达错误.

故选：C

11.关于函数〃x）=：+lnx,下列判断正确的是（）

A.x=2是/（力的极大值点

B.函数y=/（x）-x有且只有1个零点

C.存在正实数人使得/（x）＞"成立

D.对任意两个正实数，且玉＞々，若/（玉）=/（*2），则%+%＞4.

【答案】BD

21_2

【解析】对于A选项，函数的的定义域为（0,+纪），函数的导数1（耳=一/+：=¥r,

.••xe（O,2）时，尸⑺＜0,函数f（x）单调递减,

%«2收）时，尸（力＜0,函数“X）单调递增，

•••》=2是/（力的极小值点，故A错误;

2

对于B选项，y=/(x)-x=—+lnx-x,

x

：.y'^-^+--\=~x2+^~2<0,

x~XX

...函数在(0,+纺)上单调递减,

又•••l=2+lnl—1=1>0,/(2)-2=l+ln2-2<0,

/.函数y=/(x)-x有且只有1个零点，故B正确；

对于C选项，若/(x)>束，可得人<&1=二+皿，

XXX

人/、2\nx,/、-4+x-x\nx

令g(x)=?+7,则g<x)=------------

令/z(x)=T+x-xlnx,贝ij/z'(x)=-lnx,

.•.在xe(O,I)上，/?'(%)>0,函数力⑴单调递增，

X€(l,+。。)上，A'(x)<0,函数/z(x)单调递减，

〃(x)W〃⑴=-3<0,

g'(x)<。，

...g(x)=卞+—在(0,+8)上函数单调递减，函数无最小值，

不存在正实数3使得/(x)>"成立，故C错误；

对于D选项，由玉>%2，/(玉)=/(%2)可知司>2,0<工2<2,

要证尤1+%2>4,即证玉>4一々，且玉>4-々>2,

由函数在xe(2,+8)是单调递增函数，

所以有/(芭)>/(4一々)，

由于/(%)=1(％)，所以/(电)>〃4-电)

即证明/（%）>/（4-X）,XG（0,2）,

/z22

令加(x)=/(x)-/(4-x)=lnx-ln(4-x)+-------,XG(0,2),

>X4~~x

,、—8(x—2)/\/\

则加，(x)=T——8<0,所以加(x)在(0,2)是单调递减函数，

x~(4-x)

所以根(x)>/〃(2)=0,即/(x)>/(4一x),xw(O,2)成立，

故％+々>4成立，所以。正确.

综上，故正确的是BD.

故选：BD.

12.已知函数〃x)=sinx—cosx,g(x)是/(x)的导函数，则下列结论中正确的是(）

A.函数/(%)的值域与g(x)的值域不相同

B.把函数“X)的图象向右平移事个单位长度，就可以得到函数g(x)的图象

C.函数/(x)和g(x)在区间-上都增函数

D.若X。为是函数“X)的极值点，则/是函数g(x)的零点

【答案】CD

【解析】

/(x)=sinA:-cosx=V2sin，g(x)=f'(x)=cosx+sinx=0sin(x+?

函数〃x)的值域与g(x)的值域均为［-夜,夜］,故A错误；

函数/(x)的图象向右平移］个单位长度，得y=0sin［x-］=Jlsin卜一个

,不是

g(x)=&sin(x+?J的图像，故B错误；

।7T7T\7T{7T\7T(TTi

xe一疝7时x--5'°’"X)是单调递增函数，^+-€0,-,g(x)是单调递增函数，故

C正确；

X。为是函数“X)的极值点，则g(Xo)=/'(%)=0,即X。是函数g(x)的零点，故D正确.

故选：CD.

三、填空题：本题共4小题.

13.若非零向量］、日，满足同=W«2G+B)J_5,则方与日的夹角为.

【答案】1200

【解析】设々与I的夹角为的由题意同=M，(2M+5)J_5,,

可得(22+b)石=2同同cose+时=0>所以cos。=-g,

再由00464180°可得，9=120，

故答案是120.

22

14.双曲线C：点—方=1(〃>00>0)的左、右焦点分别为耳(一2,0)、6(2,0),M是C右支上的一

点，加耳与y轴交于点P,AMP居的内切圆在边PF?上的切点为。，若|P0=3,则c的离心率为一.

【答案】V2

【解析】设△例的内切圆与MFI,MB的切点分别为A,B,

由切线长定理可知PA^PQ,BF2=QF2,

又PFI=PFZ,

：.MF\-MF2=(MA+AP+PFO-(MB+8B)=PQ+PF2-QF2=2PQ

由双曲线的定义可知MF\-MF2=2a,

故而a=PQ=&,又c=2,

.•.双曲线的离心率为6=工=J5.

a

故答案为：72.

(2)若/(0)是f(x)的最小值，则”的取值范围是.

【答案】(1).；(2).[0,V21

【解析】(1)当。=工时，当烂0时，/(x)=(%--)2>(--)2=~,

2224

当x>0时，/CO=x+->2/%--!-=2,当且仅当x=l时取等号，