成考专起点升本数学(二)第二章 一元函数微分学

/(工0+Ax)-f(1Q)

即f(x0)=lim

Ax-»O△x

如果记Xzo+Ax,则当Ax0时ZT%,于是上式又可写为

/（工。）="（工）一~。）

工JCQ

如果上式的极限不存在，则称函数人工）在点“处不可导.如果函数f（x）在区间（a,6）内的每

一点工都可导，则称人工）在（a，6）内可导,/（工）称为函数/（工）在区间（。,6）内的导（数）函数，简称

为导数，记作

八必,，3*喀

△y_f(网+AJ)-f工(0)

反映的是自变量"从z。改变到％+Ax时，函数f（z）的平均变化速

△x

率，称为函数的平均变化率，而导数r（H°）=lim善反映的是函数在点工。处的变化速率，称为函数

Ar-0AZ

在点入处的变化率.

2.左导数与右导数

（1）左导数：/.5）如果当△x-O-时，笈的极限存在,则称此极限值为函数f（z）在々处的

左导数，记为（死），即

/(x+Ax)~/(xp)

f-(x0)=lim誓=lim0

Ar—»O7△x—*0△.7

⑵右导数，+5）如果当堤T。+时含的极限存在，则称此极限值为函数/（X）在4处的

右导数，记为f+（工。），即

/(20+△■!)-f(Ho)

f+(x0)=lim留=lim

Ay»O~*~△x

根据函数在一点存在极限的充分必要条件是左右两个极限存在且相等，同时我们可得到函数

/（X）在工。点可导的充分必要条件是/-（%）与f+（x„）都存在且相等.

函数人工）在闭区间［:a,可上可导是指：八工）在开区间（a,6）内每一点都可导，而在左端点a是指

右导数lim-f（a）=尸（a）存在；而在右端点6是指左导数lim八公一］“）=/（6）存在.

对于函数f（z）在点与处可导的定义，需要更进一步的理解为：

C、—rf（H°+II）->

JII

其中方块||为△工或Ax的函数，且当0时，||f0.只要符合上面的结构式，其极限值

亦为函数〃力在点”处的导数.

3.导数的几何意义

设曲线方程为y=/（z）,则由导数的定义可知，函数y=f（z）在点

判处的导数/（%）就是曲线在点处切线的斜率（见图2-

D.EP

f（x0）=lim-=tana（ar）

由直线的点斜式方程，易知曲线y=/（z）在点处的切线

方程为图2—1

=

y-y<>/(xoXx—x0).

法线方程为y—%=一7专J(N一々I

4.可导与连续的关系

定理1如果函数y=/(z)在点石处可导，则它在工。处必定连续

由这个定理的逆反形式可知，如果函数/(x)在“处不连续，则

f(z)在工。处必定不可导，所以用此定理可以判断函数人工)在4处不

可导.但要注意，这个定理的逆定理不成立.即函数y=f(z)在4处

连续，它在％处不一定可导，所以连续只是可导的必要条件而不是充分

条件，例如函数，=I工I在％=0处就是这种例子，如图2—2.

从直观上可以看出，曲线y=l工|在々=0处是连续的，但没有切

线，所以在否=0处不可导.我们将在后面的典型例题中给出严格的证明.

二、导数的四则运算法则和基本求导公式

1.导数的四则运算

设函数“=M(X),V=在点X处可导，则

(1)[〃(了)士了=wz(x)士vf(.x)；

(2)[“(工)行(工)了=uCx)v(.x)+u(x)v(,x)i

⑶[翳)="，3弋屋—)(伏工)片0)

(4)「CU(%)T=cu(z)'(c为常数)

2.基本初等函数的导数公式

(1)0=0<c为常数),

=2rAi(a为实数)，

(3)(logjc)'=-p-(a>0,a/0),

aNina

(4)(In#)'=—,

JC

(5)(a*)'=a"Ina(a>0,a考1),

(6)3)'=e，,

f

(7)(sinrc)=COSJC9

F

(8)(COSJC)=—sinjr9

z2*1

(9)(tanjc)=secJC=9

COS2oc

(10)(COtjr)Z=­CSC2JC----：~~2-

sinJC

z

(11)(secjr)=secjr•tame9

R

(12)(CSCJC)=—cscrr•cotjr9

(13)(arcsinrr),=―:]•(—1VnV1),

Jl—二

(14)(arccos^s)z------:1(—1Va:V1),

——

(15)(arctanjr)z=

1%

(16)(arccotx)/=——~r.

1+X

3.复合函数求导公式

设y=/(u),u=d工)，且/(a)及叭力都可导，则复合函数y=/［即z)］的导数为

半=半.半=/(“).，⑴

axaudrT

复合函数求导法则可以用于多层复合的情形.也即y=f(u)9u=g(v)=(p(x).且/(〃)，

g®,⑺都可导，则复合函数y=/Eg(以外)］的导数为

查_虫.如dv

drdudedx

注意在导数的最后的表达式中只能是1的函数，而不能含有中间变量！例如y=sinx2，应看

成y=siniz,〃=/的复谷函数，此时有半=理・半=cosu-2x2JTCOSJ:2.

drauax

4.分段函数导数

设z=%为分段函数/(H)的一个分界点，若在工=工0处f(T)连续，且在工=%左右邻近两

倒的表达式右(力和fz(z)的导数相等，即

Z(z0)=fl(xo)

则/(X)在Z=々点处可导，且

/(Xo)=/(4)=£(工0)

这表明:分段函数在分界点导数是否存在问题，可归结为在该点处是否连续以及在该点两侧的

“导数状态”是否一致的问题.

三、隐函数的导数

设方程F(z,y)=0表示一个隐函数(一般认为自变量是z,函数是y),例如

x2+-r2=0

就表示一个隐函数.

对隐函数求导数，可以采用以下两个方法之一.

⑴如果能从F(z,y)=O解出y=F(z),则可以用以前对显函数求导数的方法处理.不过这种

方法有时用不上，因为有些隐函数是不能解出显函数y=/(x)的.

⑵将F(H,?)=0的两边各项分别对自变量工求导数，计算时要将y看成z的函数，将'的某

个函数(例如/)看成工的复合函数，用复合函数求导数的公式计算；最后再解出J的表达式(在表

达式中允许保留变量，).

四、对数求导法

所谓对数求导法，就是先对所给的函数式的两边分别取对数，再用隐函数求导数的方法求导数

Z需要注意的是在“的表达式中不允许保留y,式中的3应用相应的工的函数式代替之.

对数求导法主要用于：

⑴多个函数的连乘除的求导数.用对数求导法可以简化这类题目的计算.

(2)森指函数的求导数.

五、高阶导数

高阶导数的概念

如果函数y=/(z)的导数/(了)在工处可导，就称的导数为函数y=八工)的二阶导数，

记作

〃/〃(\d2/d?于

y，/

按照导数的定义，函数/(z)在点Z处的二阶导数就是下列极限:

/(■z+Ax)—f(工)

f(x)=lim

AT-*0△z

/(x)的二阶导数/=，(z)的导数，就称作函数y=八工)的三阶导数，记作

一=-3守，翳

一般地，我们定义八幻的n阶导数为其n—l阶导数的导数，即如果/"(幻的n-l阶导数的导

数存在，就称这个导数为原来的函数y=/(x)的n阶导数，记作

产,尸＞(外,黑，黑

axax

即有［尸叮=严(“=2,3,4…)

二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.函数f(x)的各阶导数在点4处的值，记为

f(工0),f(工0)，F(xo)，尸)5)

或y，:y，…，严

六、微分

1.微分的定义

如果函数y=f(H)在点H的某一领域内有定义，且当自变量在点H处取得改变量Az时，函数y

的改变量可表示为

=AAx+O(AX)(AX-*0),

其中A是与Ar无关的量,o(Ar)当Ar0时，是比Az更高阶的无穷小量，则称AAJ•为y=

/(x)在点N处的微分，记为dy或df(力，即

dy=AAx

此时称函数y=/(x)在点工处可微.

由于当工为自变量时，&c=Ar,这样

dy=Adx

当A£0时，函数的微分dy也称为函数改变量dy的线性主部.

2.微分的几何意义

设函数y=f(z)的图像如图2—3所示,M(z,y)为曲线上的一定

点，过M点作曲线的切线，则此切线的斜率为/(Z)=tana.当自变量

在点工处取得改变量Ar时，就得到曲线上另外一点+

△y).由图2-3易知

MN==4y

且NT=MN•tana=f(z)•AJ:=dy

因为，函数y=f(H)的微分dy就是过点M(工,y)的切线的纵坐标

的改变量.图中线段TM'是与dy之差，它是较Ax的高阶无穷小量

3.可微与可导的等价关系

定理2函数y=在点工处可微的充分必要条件是“工)在点工处可导，且A(工)=/(z),

即

，

dy=d1y(1)=/(x)djr

由于自变量&z=dzXO,所以上式可写成

孚=八x)

QX

导数》也称为微(分的)商.

4.微分的计算

函数y=/(x)的微分，可用以下二式计算

dy=f(x)djc

dy=f1+2c

前一式用于计算心的表达式，后一式用于计算z=z。处有改变量时dy的数值.例如，求函

数y=lar的微分，

dy=(IruO'dz=­dx

x

又如，求函数y=/当n由1改变到1.01时的微分，

dy=(x2)Ax=2x^x

由所给条件△%=1.01-1=0.01

所以dv=2•1•(0.01)=0.02

5.微分公式

(l)d(c)=0(c为常数)

(2)d(xa)=ax^dx(a为任意实数)

(3)d(logx)=-p—dx(a>0,a#1)

axlna

(4)d(lnx)=­dx

x

(S)d(a1)=ax\nadx(a>0,a丰1)

(6)d(ex)=eJdx

⑺d(sinx)=cosjrdjr

⑻d(cosz)=-siardr

(9)d(tarkr)=-\—dx=sec2xdx

cos\r

(lO)d(cotx)----rV~dx=—esc2jrdx

sinz

(ll)d(secx)=sear-tarirdj;

(12)d(cscx)=­csar•cotrdi

(13)d(arcsinr)=--dj：(—1VzV1)

•J\—x2

(14)d(arccosx)----二1-cLr(-1Vn(1)

—x2

(15)d(arctaar)=T——j-dx

1+z

(16)d(arccotx)=-―rdjr

1-rx

6.微分的运算法则

(l)d(ui77)=dtt±d”

(2)d(如)=kduCk为常数)

(3)d(zzv)=xjdu+ud*u

。)

(4)d/u.\-udu-ud-u(V

\v/v

7.一阶微分形式不变性

所谓一阶微分形式的不变性是指对于函数y=/(“)，无论”是自变量还是中间变量，其一阶段

微分都具有形式：

dy=/z(tt)du

事实上，当"是中间变量〃=叭工)时，由复合函数的求导公式得

dj=ydx=f(”)/(z)dx=f(u)dtt

典型例题

例一、选择题

1.

(x2+1,-1x&0

设函数，(幻=7°，则f(“)在点z=0处()

A.可导B.连续但不可导

C.不连续D.无定义

分析：V/(0—0)=lim/(x)=lim(xz+1)=1

x-►0-x-*0-

y(0+0)==1

X-0+

所以在H=0处J(H)连续，又

“小

f-(0)=1h-m/-<--0---+---A---x-)-----/--(-0--)-=lim--(---3-----+---1------1-=c0

Ax-»O△z.o-Ar

r+(0)=lim八0+”)z2(0)=lim=1=o

Ax-*O*△XAr-O*AX

即有f.(0)=r+(0)=0,所以/(x)在H=0点可导.

答：A

2.

2xsin—,x0

设/(x)=x，在点N=0处()

19x=0

A.无定义B.不连续

C.可导D.连续但不可导

分析：:limf(z)=lim2xsin工=0Wf(0)

x-oX

/(x)在％=0点不连续

答：B

3.

设y=z*则dy=()

A.―—-dxB.

xey—1r=M"

xey-1j

工D.

c.ey

分析:=(xey)z=ey+xey•y

(1—xe>)j，=ey

/.dy=v，dr=；----dx

，，1—rey

答：B

4.

设f(0)=0且极限lim核存在，则lim&^等于()

X-*OxX—0T.

A./(x)B./(0)C./(0)D.4-/(0)

分析：由导数的定义及已知条件可知

lim口=lim一，⑹=/(0),

一QXx-0X-0

所以应选B.

答：B

5.

若y=/(")在u处可导，且u=e，，则dy等于()

A./(e')dyB.f(e')eHdr

C.[/(e')了de'D.[f(e')Te'dx

分析：因为y=/(ex)

则y=f(eI)(eI)z=f(e1)•e”

故dy=f(x)dr=f(ex)e*dz

所以B式正确，A式不正确.

又因为UXe，)了表示fg对工的导数，不表示对片的导数，也就是="1*,所以

C式和D式都不正确.

答：B

6.

已知函数y=/(x)在点4处可导，且

..________h________=1_

“啰f(工e—2A)—/(x0)4,

则/(死)等于()

A.-4B.-2C.2D.4

分析:化为导数定义的结构式即可.

因为fe?f(x0—2h)—y(x0)V-??/(x0—2/i)—/(x0)f八

----------^2h------------(-2)

_]_1

-2f(x0)4'

所以f(z。)=-2,应选B.

答：B

7.

设函数f(外在z=2处可导，且r(2)=1则

limf(2+h)—f(2—h)

A-*0h

等于()

A.0B.1C.2D.3

分析：由于/(2)=1,可知应该由导数的定义入手去求极限.注意到导数定义是函数的增量与

自变量增量之比的极限，其中函数的增量为八与一/(%),而所给极限的分子中没有函数值y(x0).

所以应该将分子变形，化成导数定义的标准结构式，再求其极限.

lim-2+〃)一/X2i)=Hm，(2+/Q—八2)[—[f(2—二-f(2)[

h—ohh-*oh

=lim小±4二/⑵+lim任.一/⑵

iohA-*O-h

=/(2)4-/(2)=2/(2)=2

所以应该选C.

答：c

8.若下列各极限都存在，其中不成立的是()

A.lim衣)一八豆=/(o)B.lim二二二八工9.)=/(Xo)

r-*0X,z-^x工工0

C.lim+2?s=/(XO)D.lim'工。)一/5二3=f(工,)

A-»0hAr-*oZ\JC

分析:这是导数定义的概念题，显然选项A、B都正确，对于选项C,若用上面的结构式，则有

lim-工。+21一人工。).2=2/(x0)

ioLrl

所以应选c.

对于选项D,则有

lim/(々)一=工。3)=1加"("3—1(_i)=/(Xo)

Ax—0Ax—0一△]

答：c

9.

A.—1B.0C.1D.—T.

分析：按照导数的定义，这个极限的含意是f(z)=1皿在工。=1的导数，可得

f(x)=(lnx)z=—

x

所以Z(1)=I

答：c

10.函数/(x)在工。处的左导数?-(x„)以及右导数/+(x0)存在且相等，是/(X)在工。处可

导的()

A.必要条件B.充分条件

C.必要充分条件D.既非必要又非充分条件

分析：因为按/(X)在4处可导的定义，就是要求极限

1./(x)-/(x)

lim------------0-

rx-xQ

存在，而该极限存在的必要充分条件是极限

[./(x)—y(x)

lim------------0-

r-*x0工工0

和

/(X)—/(x)

,lrim------------0--

都存在且相等，即/一(4)和/+(%)都存在且相等.

答：C

11.

再教/(e)在点]=工0处连续是/(工)在10处可导的()

A.充分条件

B.必要条件

C.充分必要条件

D.既非充分条件也非必要条件

分析：由函数连续与可导的关系定理，函数在一点可导必连续，而连续不一定可导，故应选

择B.

这里注意连续不一定可导，例如：

又f(工)=(―1—)'=一(1二±.)=--L._-

X3(1一工)2(1-X)2

故d/(x)=f(x)dx=1--ycLr.

(1-x)

答：A

例二、填空题

1.

设/(x)=,则lim，("+△：)-/(#=.

2fo△X---------

分析：•；lim八兀+午)二小)=/(K)

2—0△JC

而人力)=(ef'=eSiM(sioz)'=e^cosz

于是/(K)=[bcosHI-=-1

答：-1

2.

设函数y=Inarcsin在,则y=.

分析：用复合函数求导公式，则有

y=111

arcsin\[x—x2A/X

所以应填~~—T=.

2-Jx-xzarcsin-Jx

宏.

I=I■

1

2J1一壬arcsin^J'x

3.

设函数/(x)=(1+/)arctanx,贝ljf(0)=.

分析：利用(如)'的公式计算.

所以f(x)=(1-Fxz)7arctanx4-(1+x2)(arctaaz)7

=2xarctanjc+(1+/).----

1+x2

=2xarctanx+1

所以r(o)=i.

答：1

4.

曲线y=or?+6上点(1,2)处的切线斜率为1,则Q=,b=.

分析：•・•，=(ar2+6)'=2az

由题设yI.=2azI=2a=1

IX-1I

于是a=:，又(1,2)是曲线y=az?+。上的点，即满足此方程

1Q

所以有2=0+6=5+6,解得6=y

故应填a=9

答：

13

T9~2

5.

设函数/(十)=d+?+1,则/(x)=.

分析：该题主要是考查函数概念及基本导数公式.由已知条件应该先求出/(x)的表达式，然后

「1]

再求导，因此先用!换fg)中的Z,则得/T=仆)，同时也用《换右边的Z,得到/(1)=：

Lx.

+x+1,再对X求导.

所以人力=-^+1.

答：

2,,

一尹+1

6.设y=V—2z+3,Ar=0.1,则在z=1处的改变量△、=,微分d?

分析：Ay=—yCx)

=(x+△JC)3—2(x+△])+3—(x3—2x+3)

=(3x2—2)Ax+3Z(AN)2+(Ax)3

dy=(3x2—2)Az

123

Ay|_v=(3•I-2)(0.1)+3•1•(0.1)+(0.1)=0.131

的1=，=(3•l2-2)(0.1)=0.1

答：0.131;0.1

7.

设函数y=e81则y〃=_______.

分析:先求y再求

由于y=e8"•(―siru:)

则y=(e00^)r(—siar)一十五但皿)'

=60°^(—sinx)2—e8ax•COSJ:

=e8sx(sim2x-COSJT)

答：

e81a(sin2x—COSJ?)

8.

设y=皿，贝=・

xI工-1------------I工=1------------

分析J-(1n_(Ina:)’•z-Inx・(1)’_1—lor

Vx2x2

(1—Inz)'•/一(i—Inj；)・(x2)f

=----------------------?----------------------

_21nz-3

=~p-

故，LT=P1,T=-3.

答：1;-3

9.

设函数y=cos(er),则y(0)=.

分析:用复合函数求导公式有

y=­sin(e'x)•e-x•(—1)

=e-xsin(e-i),

则有y(0)=(e-xsine-x)(…

=sinl

答：sinl

10.

函数f(z)=x(x-l)(x-2)(x-3)(x-4)的/(O)=.

分析:如果利用函数乘积的导数公式计算亦较麻烦，但是注意到函数乘积导数的五项中，只有第

一项不含小其余四项均含有以因此求出，(外再用z=0代入后，只有第一项为(0—1)(0—2)(0—

3)(0-4)=4!而其余各项均为0,事实上：

f(x)=(x—l)(x—2)(x—3)(x—4)+x(x—2)(x—3)(x—4)+x(x-1)(x—3)(x

4)+x(x-1)(x—2)(x—4)+x(x—1)(x—2)(x—3)

所以r(o)=，(工)|,_。=4!

答：4!

例三、解答题

1.

求函数/(x)=loga2：(a>0,Q半1)的导数.

分析:用导数的定义求导数

Z(x)=(IO&H)'=lim八f("

*-oh

=Hmloga(z+%)—lOgaZ

A-0h

Hmloga(三芋)

log”lim(l+—)+,+

A-0X

logd=-^logae=北3

答:上

2.

求由方程=si”+e，确定的函数y（z）的导数.

分析：方程xy2=siny+e，两边对工求导，得

].y2+z.2y.y，=COSJ•/+/

«

整理化简，并解出y',得

(2xy-cosj)y=ex—y2

，ex-y

y=----------

2xy-cosy

答:丁=f二丈-

2xy-cos1y

3.设函数

吗）=5z

1+3x2

求/（了）..

分析：首先求函数f（z）,因为

5

5•—

心）5xzX

l+3x2J_+3

/十§(—)z+3

X

5x

所以/(x)=

X2-1-3

5(x2+3)—5x•2x15—5公=5(3-x2)

从而

(f+3)2(d+3>—(/+3/

分5(3—/)

育：(/+3)2

4.

设函数y=（1+幻+,求/

分析：这是塞指函数，宜用对数求导法.

两边取对数得Iny=-ln(l+z)=x~x•ln(l+z)

x

等式两边对Z求导得

—•y=-x~2ln(1+x)+x~xz—7—

y1+1

答…]+叫.皿―

5.

设/(-)=二^，设求/(x)及/(I).

x1十J.

1

1129,VO

分析:令t=一,则z=:，于是/(«)=-z-----=匚匚

XtJ1_L11+z

—~r1

用x代替2,得/(x)=上

1十N

所以小)=(系)’=一舟方

从而r⑴一言可一十

“2_1

答：(13工)2，2

6.

若'G)=3求，⑴及/信)•

分析:应该先用复合函数求导，再求出/(X).

2G)=，G)d,

所以,G)一京

则有f9=—

答----—1

0-21

7.

设f(x)=sin(lnx),求f(x).

分析:/(z)=Csin(lnjc)y=cos(lnx)•(lor)'=—cos(lnz)

x

f'(z)=[—cos(lru:)y=(—)z•cos(lrir)+—•[cos(lnx)]'

xxx

----^-COS(IILT)+—•[-sin(lnr)•(1ILT)T

XX

=---y[cos(lar)+sindnr)]

答:/'(n)----yCcos(lrir)+sin(lar)]

8.

设曲线y=Sor,试求曲线的平行于直线2z+2y+3=0的切线方程.

分析:设已知直线为/,易求得直线/的斜率4=-1.

因为过曲线？=川皿上点（z，y）的切线的斜率为

y=（zlm）'=Irir-|-x•—=1+Inx

x

又因为所求切线与直线/平行，所以

y=k=1

即1+laz=-1

得Inx=-2

从而x=e-2

将1=「代入曲线方程，得

y|z-.-*=xlnr|=一2e_2

于是切点为（z~）=（eT,-2eT）,所以平行于直线/的切线方程为

y+2e~2=—（x「e-z）

即x+^+e-2=0

答：Z+V+=0

9.

/31x2

设函数y=求y-

(x-2)2

分析：由于函数式为多个函数的连乘除的形式，用对数求导法为好.

因为ln,=ln(^-z+2

x—2)2

=21nx—ln(1—Z)+守口水1+2)—21n(z—2)]

等式两边对z求导，可得

1,21z,1121

一y•yx；1-x(-1)+亏3•x--\-1X—3=-•x—L方

所以已+占+•两一而号]

_/7z+2「2|1|12

1—xV(x—2)2Lxx—13(3+2)3(x—2)

,=上.3p+2~rA_j_+—_____

1—xv(x—2)2Lx+x—13(x+2)3(x—2)J

10.

求曲线y=2/+3］在点（1,5）处的切线与法线方程.

分析：•・・：/=(2x2+3x)/=4x+3

；・]=4X1+3=7

故过点(1,5)处的切线方程为y-5=7(z—D

即：y=7x—2

过点(1,5)处的法线方程为y—5=一：(工一1)

1.36

即Hny=­yx+y

结-136

答:y=-yx+y

11.

求y=Incosx的导数.

分析：设y—lnu,u=cosx,则可将y=Incox看成复合函数，此时〃为中间变量.因为

半=,

duu

d〃/、/.

(cosx；=­sinx9

由复合函数的导数公式，有

*'=半=孚•半=—(-sioz)

ckcdudru

=—(-sinx)=-tanx.

cosx

答:一taar

12.

设y1；/)3，试求.

分析:先取对数，得

出=ln7(TT^7=Tln(TTP7=当H一千山(1+z»

即

Iny=春lar--^-ln(l+x2)

03

上式两边同时对Z求导，得

1,2132x

一5x51+x2

故

xz

i+x2y•陵5(1+/)

答:：/=

号7•犊—5(1+/)

13.

求y=cosln(l+2x)的导数.

分析:，=[cosln(l+2x)y

=[-sinln(l+2x)][ln(l+2力丁

=[-sinln(l4-2x)3•77J0、•(1+2xY

(1H-2x)

2

=­sinln(l+2x)•77,0、

(1+2x)

一2

=i.sinln(l+2x).

14-Zox

副"急©nln(l+2x).

14.

设f(x)=zlar,试求f(x)及f(1).

分析/(力=(xlnj7)z=(>!)'・Iru:+z•(Im)'=lorH-x•——laz+1

x

/'(>r)=[/(幻了=(lar+l)z=—

x

于是/(l)=/(x)|x_1=±|x_i=1

15.

设函数？=y（H）由方程/+/=1确定,求乎.

分析：该方程可解出y1),

此时y=＞（x）为显函数，用导数公式可求得半.

如果不解出y=»（z）,而将方程中的y看成为工的复合函数，则有/+3（工）了=1,此时的

程的两边对工求导，但是一定要注意：其中的y（z）是工的复合函数，应用复合函数求导公式可得，

解:将方程/+y2=1,两边对N求导2z+2y•孚=0

=一三

所以dy

dxy

16.

求/(x)=(sinx)e的导数.

分析：先对函数f(z)=(sinx)e,取对数，有ln/(x)=