高中数学-双曲线的简单几何性质教学设计学情分析教材分析课后反思

《双曲线的简单几何性质》教学设计

一、教材分析

1.教材中的地位及作用

本节课是学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后，在此基础上，反过来利用双曲线

的标准方程研究其几何性质。它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点,

是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体

会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质。

2.教学目标的确定及依据

平面解析几何研究的主要问题之一就是：通过方程，研究平面曲线的性质。教学参考书

中明确要求：学生要掌握圆锥曲线的性质，初步掌握根据曲线的方程，研究曲线的几何性质

的方法和步骤。根据这些教学原则和要求，以及学生的学习现状，我制定了本节课的教学目

标。

（1）知识目标：①使学生能运用双曲线的标准方程讨论双曲线的范围、对称性、顶点、离

心率、渐近线等几何性质；

②掌握双曲线标准方程中的几何意义，理解双曲线的渐近线的概念

及证明；

③能运用双曲线的几何性质解决双曲线的一些基本问题。

（2）能力目标：①在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，培养学生的观察能力，想

象能力，数形结合能力，分析、归纳能力和逻辑推理能力，以及类比的

学习方法；

②使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标

系中曲线与方程的概念的理解。

（3）德育目标：培养学生对待知识的科学态度和探索精神，而且能够运用运动的，变化的

观点分析理解事物。

3.重点、难点的确定及依据

对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，而学生对渐近线的发现与证明方法接受、

理解和掌握有一定的困难。因此，在教学过程中我把渐近线的发现作为重点，充分暴露思维

过程，培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，巧妙地应用极限思想导出了双曲线的渐近

线方程。这样处理将数学思想渗透于其中，学生也易接受。因此，我把渐近线的证明作为本

节课的难点，根据本节的教学内容和教学大纲以及高考的要求，结合学生现有的实际水平和

认知能力，我把渐近线和离心率这两个性质作为本节课的重点。

4.教学方法

这节课内容是通过双曲线方程推导、研究双曲线的性质，本节内容类似于“椭圆的简单

的几何性质”，教学中可以与其类比讲解，让学生自己进行探究，得到类似的结论。在教学

中，学生自己能得到的结论应该让学生自己得到，凡是难度不大，经过学习学生自己能解决

的问题，应该让学生自己解决,这样有利于调动学生学习的积极性，激发他们的学习积极性，

同时也有利于学习建立信心，使他们的主动性得到充分发挥，从中提高学生的思维能力和解

决问题的能力。

渐近线是双曲线特有的性质，我们常利用它作出双曲线的草图，而学生对渐近线的发现

与证明方法接受、理解和掌握有一定的困难。因此，在教学过程中着重培养学生的创造性思

维，通过诱导、分析，从已有知识出发，层层设（释）疑，激活已知，启迪思维，调动学生

自身探索的内驱力，进一步清晰概念（或图形）特征，培养思维的深刻性.

例题的选备，可将此题作一题多变（变条件，变结论），训练学生一题多解，开拓其解

题思路，使他们在做题中总结规律、发展思维、提高知识的应用能力和发现问题、解决问题

能力。

二、教学程序

（一）.设计思路

（二）.教学流程

1.复习引入

我们已经学习过椭圆的标准方程和双曲线的标准方程，以及椭圆的简单的几何性质，请

同学们来回顾这些知识点，对学习的旧知识加以复习巩固，同时为新知识的学习做准备，利

用多媒体工具的先进性，结合图像来演示。

2.观察、类比

这节课内容是通过双曲线方程推导、研究双曲线的性质，本节内容类似于“椭圆的简单

的几何性质”，教学中可以与其类比讲解，让学生自己进行探究，首先观察双曲线的形状,

试着按照椭圆的几何性质，归纳总结出双曲线的几何性质。一般学生能用类似于推导椭圆的

几何性质的方法得出双曲线的范围、对称性、顶点、离心率，对知识的理解不能浮于表面只

会看图，也要会从方程的角度来解释，抓住方程的本质。用多媒体演示，加强学生对双曲线

的简单几何性质范围、对称性、顶点（实轴、虚轴）、离心率（不深入的讲解）的巩固。之

后，比较双曲线的这四个性质和椭圆的性质有何联系及区别，这样可以加强新旧知识的联系,

借助于类比方法，引起学生学习的兴趣，激发求知欲。

3.双曲线的渐近线的发现、证明

（1）发现

由椭圆的几何性质，我们能较准确地画出椭圆的图形。那么，由双曲线的几何性质，能

否较准确地画出双曲线=i的图形为引例，让学生动笔实践，通过列表描点，就能

把双曲线的顶点及附近的点较准确地画出来，但双曲线向远处如何伸展就不是很清楚。从而

说明想要准确的画出双曲线的图形只有那四个性质是不行的。

从学生曾经学习过的反比例函数入手,而且可以比较精确的画出反比例函数y=1的图

X

像，它的图像是双曲线，当双曲线伸向远处时，它与x、y轴无限接近，此时x、y轴是>

X

的渐近线，为后面引出渐近线的概念埋下伏笔。从而让学生猜想双曲线--产=1有何特

征？有没有渐近线？由于双曲线的对称性，我们只须研究它的图形在第一象限的情况即可。

在研究双曲线的范围时，由双曲线的标准方程=1,可解出y2=--i,

4=&一］,当X无限增大时，y也随之增大，不容易发现它们之间的微妙关系。但是如

果将式子变形为上3,我们就会发现：当X无限增大，1逐渐减小、

XXX

无限接近于o,而上就逐渐增大、无限接近于1（）<i）；若将工变形为上二9,即说明此

xxxx-0

时双曲线在第一象限，当x无限增大时，其上的点与坐标原点之间连线的斜率比1小，但与

斜率为1的直线无限接近，且此点永远在直线y=x的下方。其它象限向远处无限伸展的变

化趋势就可以利用对称性得到，从而可知双曲线/一y2=1的图形在远处与直线y=±x无

限接近,此时我们就称直线y=±x叫做双曲线/->2=1的渐近线。这样从己有知识出发,

层层设（释）疑，激活已知，启迪思维，调动学生自身探索的内驱力，进一步清晰概念（或

图形）特征，培养思维的深刻性。

利用由特殊到一般的规律，就可以引导学生探寻双曲线0—1'=l（a>0,b>0）的渐近

a'b~

线，让学生同样利用类比的方法，将其变形为与=「-1,y2=^（x2-a2）,由于双

baa

曲线的对称性,我们可以只研究第一象限向远处的变化趋势，继续变形为y=-ylx2-a2,

a

上=21-1，可发现当X无限增大时，《逐渐减小、无限接近于o,2逐渐增大、无

xa\xxx

限接近于2,即说明对于双曲线在第一象限远处的点与坐标原点之间连线的斜率比2小，

aa

与斜率为一的直线无限接近，且此点永远在直线y=±-x下方。其它象限向远处无限伸展

aa

22

的变化趋势可以利用对称性得到，从而可知双曲线二-2=l（a>0,b>0）的图形在远处与

a'h

直线y=±b2x无限接近，直线y=±b±x叫做双曲线x"一vJ=l（a>0,b>0）的渐近线。我

aaab~

就是这样将渐近线的发现作为重点，充分暴露思维过程，培养学生的创造性思维，通过诱导、

分析，巧妙地应用极限思想导出了双曲线的渐近线方程。这样处理将数学思想渗透于其中，

学生也易接受。

（2）证明

如何证明直线y=±是双曲线二一二=1（a>0,b>0）的渐近线呢？

aa'b~

启发思考①：首先，逐步接近，转换成什么样的数学语言？（Xf8,dfO）

启发思考②：显然有四处逐步接近，是否每一处都进行证明？

启发思考③：锁定第一象限后，具体地怎样利用X表示d

(工具是什么：点到宜线的距离公式)

启发思考④：让学生设点，而d的表达式较复杂，能否将问题进行转化?

b尤？2

分析：要证明直线y=±±x是双曲线—1(a>0,b>0)的渐近线，即要证明随着

aa

X的增大，直线和曲线越来越靠拢。也即要证曲线上的点到直线的距离

IMQ|越来越短，因此把问题转化为计算门归I。但因IMQ|不好直接求得，因此又可以把

问题转化为求IMN|o

|MQ\<\MN\^-x--ylx2-a2

aa

=-(x-yjx2-a2)=-----：仍，

ax+>]x2-a2

启发思考⑤：这样证明后，还须交代什么？

(在其他象限，同理可证，或由对称性可知有相似情况)

引导学生层层深入的进行探究，从而更深刻的理解双曲线的渐近线的发现及证明过程。

(3)深化

再来研究实轴在y轴上的双曲线3=l(a>0,b>0)的渐近线方程就会变得容易很

a~b~

多，此时可利用类比的方法或者利用对称性得到焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程即为

y=+—x。

-h

这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向问题，从而可比较精确的画出双曲线。但

是如果仔细观察渐近线实质就是双曲线过实轴端点、虚轴端点，作平行与坐标轴的直线

x=±a,y=±b所成的矩形的两条对角线，数形结合，来加强对双曲线的渐近线的理解。

4.离心率的几何意义

椭圆的离心率反映椭圆的扁平程度，双曲线离心率有何几何意义呢？不难得到:

-：e=-,c>a,:.e>l,这是刚刚学生在类比椭圆的几何性质时就可以得到的简单结论。

a

通过对离心率的研究，同样也可以使学生进一步加深对渐近线的理解。

由等式。2—。2=82,可得：.=鼻_1=&2_],不难发现：e越小

aavci

（越接近于1）,2就越接近于o,双曲线开口越小；e越大，2就越大，双曲线开口越大。

aa

所以，双曲线的离心率反映的是双曲线的开口大小。通过对这些性质的探究，就可以更好的

理解双曲线图形与这些基本量之间的关系，更加准确的作出双曲线的图形。

5.例题分析

为突出本节内容，使学生尽快掌握刚才所学的知识。我选配了这样的例题：

例1.求双曲线9/-16y2=144的实半轴长和虚半轴长、顶点和焦点坐标、渐近线方程、

离心率。选题目的在于拿到一个双曲线的方程之后若不是标准式，要先将所给的双曲线方程

化为标准方程，后根据标准方程分别求出有关量。本题求渐近线的方程的方法：（1）直接

根据渐近线方程写出；（2）利用双曲线的图形中的矩形框架的对角线得到。加强对于双曲

线的渐近线的应用和理解。

变1：求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、顶点和焦点坐标、渐近线方程、

离心率。选题目的：和上题相同先将所给的双曲线方程化为标准方程，后根据标准方程分别

求出有关量；但求渐近线时可直接求出，也可以利用对称性来求解。

关键在于对比：双曲线的形状不变，但在坐标系中的位置改变，它的那些性质改变，

那些性质不变？试归纳双曲线的几何性质。（小结列表）

415

变2：已知双曲线的渐近线方程是y=±-x,且经过点I1,3）,求双曲线的标准方程。

选题目的：在已知双曲线的渐近线的前提下，如何利用已知信息求解双曲线的方程。方法1：

分焦点在x轴，焦点在y轴分别求解；方法2：确定点所在的区域，定方程的形式，然后求

a、bo深化知识，加强应用，使知识系统化。

例题的选备，可将此题作一题多变（变条件，变结论），训练学生一题多解，开拓其解

题思路，使他们在做题中总结规律、发展思维、提高知识的应用能力和发现问题、解决问题

能力。

6.课堂练习

课本P113练习1.2,让学生自己练习，熟悉并运用双曲线的几何性质解题，加强应用

性。

7.课堂小结

(1)通过本节学习，要求学生熟悉并掌握双曲线的几何性质，尤其是双曲线的渐近线

方程及其“渐近”性质的证明，并能简单应用双曲线的几何性质；

(2)双曲线的几何性质总结(学生填表归纳)。

8.课后作业

课本P113习题1.2.3,巩固并掌握课上所学的知识。

思考：双曲线与其渐近线的方程之间有何内在的变化规律？

《双曲线的简单几何性质》学情分析

知识结构：

双曲线是圆坠曲线中第二学习的曲线，再此之前学生已经学习了椭圆曲线，

对学习曲线方程已经有了一定基础和方法，运用类比的学习方法得到双曲线的简

单几何性质并不困难，但在求方程的过程中还有许多需要注意的地方，这又提升

了学生分析问题的能力及严密认真的态度。

心理特征：

高二学生思维活跃，具备了一定的类比转化及分析问题的能力，在心里上也

具备了承受和辨证地接受别人的意见和建议，但对于复杂问题的处理还不够灵活,

因此在课堂上要注意发挥学生的主体作用，体现教师的点拨引领效果。

效果分析

一、教学目标具体、可测、针对性强，达成度高，不同层次的学生均有收获。

二、师生互动、生生互动，师生交流对话充分，教学相长，形成民主和谐、相互尊重、合作

探究的教学氛围，学生能主动参与研究过程。

三、教学过程中关注了每个学生的个性发展，尊重了每个学生发展的特殊需要，使学生思维

开放。

四、在教学过程中，学生的认识和体验不断加深，创造性的火花不断进发，学生的思维资源

被开发出来，得到充分利用。

五、注重了学生学习方式的转变。既注重了研究性学习，又注重了接受性学习，教师不把结

论告诉学生，而是学生自己在教师指导下自主地发现问题、探究问题获得结论，从而解

决问题。

《双曲线的简单几何性质》教材分析

1.教材中的地位及作用

本节课是学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后，在此基础上，反过来利用双曲线的标

准方程研究其几何性质。它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点，是

深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体会

解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质。

2.教学目标的确定及依据

平面解析几何研究的主要问题之一就是：通过方程，研究平面曲线的性质。教学参考书中明

确要求：学生要掌握圆锥曲线的性质，初步掌握根据曲线的方程，研究曲线的几何性质的方

法和步骤。根据这些教学原则和要求，以及学生的学习现状，我制定了本节课的教学目标。

（1）知识目标：①使学生能运用双曲线的标准方程讨论双曲线的范围、对称性、顶点、离

心率、渐近线等几何性质；②掌握双曲线标准方程中的几何意义，理解双曲线的渐近线的概

念及证明；

③能运用双曲线的几何性质解决双曲线的一些基本问题.

（2）能力目标：①在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，培养学生的观察能力，想

象能力，数形结合能力，分析、归纳能力和逻辑推理能力，以及类比的学习方法；②使学生

进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的概念的理

解。

（3）德育目标：培养学生对待知识的科学态度和探索精神，而且能够运用运动的，变化的

观点分析理解事物。

3.重点、难点的确定及依据

对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，而学生对渐近线的发现与证明方法接受、理

解和掌握有一定的困难。因此，在教学过程中我把渐近线的发现作为重点，充分暴露思维过

程，培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，巧妙地应用极限思想导出了双曲线的渐近线

方程。这样处理将数学思想渗透于其中，学生也易接受。因此，我把渐近线的证明作为本节

课的难点，根据本节的教学内容和教学大纲以及高考的要求，结合学生现有的实际水平和认

知能力，我把渐近线和离心率这两个性质作为本节课的重点。

4.教学方法

这节课内容是通过双曲线方程推导、研究双曲线的性质，本节内容类似于''椭圆的简单的几

何性质”，教学中可以与其类比讲解，让学生自己进行探究，得到类似的结论。在教学中，

学生自己能得到的结论应该让学生自己得到，凡是难度不大，经过学习学生自己能解决的问

题，应该让学生自己解决，这样有利于调动学生学习的积极性，激发他们的学习积极性，同

时也有利于学习建立信心，使他们的主动性得到充分发挥，从中提高学生的思维能力和解决

问题的能力。

渐近线是双曲线特有的性质，我们常利用它作出双曲线的草图，而学生对渐近线的发现与证

明方法接受、理解和掌握有一定的困难。因此，在教学过程中着重培养学生的创造性思维,

通过诱导、分析，从己有知识出发，层层设（释）疑，激活已知，启迪思维，调动学生自身

探索的内驱力，进一步清晰概念（或图形）特征，培养思维的深刻性。

例题的选备，可将此题作一题多变（变条件，变结论），训练学生一题多解，开拓其解题思

路，使他们在做题中总结规律、发展思维、提高知识的应用能力和发现问题、解决问题能力。

《双曲线简单几何性质》评测练习

|基础达标。30分钟50分|

一、选择题（每小题3分，共18分）

1.双曲线方程为x2-2y2=l,则它的右焦点坐标为（）

A俘0）B停0）C.停,0）D.(V3,0)

【解析】选C.因为双曲线方程为x-2y2=1,

所以a=1,b=—,

7

得c-Va2+b212+(9)

所以它的右焦点坐标为

2.双曲线的两焦点坐标是F,（3,0）,F2（-3,0）,2b=4,则双曲线的

标准方程是

A.直-匕=1B.上立1

5454

C.t—UlD.--^-1

32916

【解析】选A.因为c=3,b=2,所以a?=5.

且焦点在x轴上，故所求方程为土-亡;1.

54

3.(2014四平高二检测)双曲线X?-y2=l右支上一点P(a,b)到直线/：

y=x的距离d=&，则a+b=()

A.-B.--C/或4D.2或-2

7777

【解析】选A.因为点P在直线/:y=x的下方，所以b<a,所以d二里，

V2

得a-b=2.

又因为a2-b2=1,所以a+b二，所以选A.

7

4.(2014•萍乡高二检测)已知双曲线方程为1-1=1,点A,B在双曲

线右支上，线段AB经过双曲线的右焦点Fz,|AB|=m,迪为另一个焦

点，则AABFi的周长为

()

A.2a+2mB.4a+2m

C.a+mD.2a+4m

【解析】选B.设AABB的周长为C,则C=|AFj+|BFj+|AB|

=(|AF1|-|AF2|)+(|BF1|-|BF2|)+|AF2|+|BF2|+|AB|

=(|AF1|-|AF2|)+(|BF1|-|BF2|)+2|AB|

=2a+2a+2m=4a+2m.

22

5.(2013•唐山高二检测)双曲线二-二=1的一个焦点是(0,2),则实

m3m

数m的值是

A.1B.-l

C.--D.—

ss

【解析】选B.由于双曲线焦点在y轴，

所以a2二-3m,b2=-m,

因为c=2,所以-m+(-3m)=4,即m=-1.

22

【变式训练】(2013•唐山高二检测)双曲线一"-J=l的焦距是

m2+124-m2

()

A.4B.272

C.8D.与m有关

【解析】选C.因为m2+12>0,所以双曲线焦点在x轴上，且4-m2>0,

所以c2=m2+12+(4-m2)=16,

所以2c=8,即双曲线的焦距为8.

22

6.双曲线2-0=1上的点P到点(5,0)的距离为8.5,则点P到点(-5,

169

0)的距离为()

A.16.5或0.5B.16.5

C.0.5D.5

【解析】选B.由题意知双曲线的两个焦点分别为日(-5,0),F2(5,

0),由双曲线定义知||PFj-|PF2||二8,

所以|PF/=16.5或|PF/=0.5.

当|PFj=0.5时，P点在左支上，在△PFR中，又因为|PFz|=8.5,

|FF2|=10,则三边组不成三角形，不合题意，所以|PF」=16.5.

【误区警示】解此类问题时，应灵活运用双曲线定义，分析P的位置,

否则易出错.

二、填空题（每小题4分，共12分）

22

7.若双曲线三-U1过点（-3式,2）,则该双曲线的焦距为.

a24.

【解析】点（-3鱼，2）在双曲线1-右二1上，

a24

代入解得a?=9,

所以半焦距C=V9T4=V13,

从而焦距为2VT3.

答案：2回

22

8.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线Ui上一点M的横坐标

4.17

是3,则点M到此双曲线的右焦点的距离为.

22

【解析】因为士-U1,

4.12

所以当x=3时，y=±V15.

又因为F2（4,0）,

所以IAF2R,|MA|=V15,

所以|MF2|=、1+15=4.

答案：4

22

9.若方程:-芸=1表示双曲线，则k的取值范围是.

【解析】方程表示双曲线需满足(5-k)(k+2)>0,解得-2<k<5,即k的

取值范围是(-2,5).

答案:(-2,5)

三、解答题(每小题10分，共20分)

10.设双曲线与椭圆直+亡=1有共同的焦点，且与椭圆相交，在第一象

7736

限的交点A的纵坐标为4,求此双曲线的方程.

【解题指南】椭圆兰+匕=1,故有焦点F(0,-3),F2(0,3),由此设

2736

出双曲线的方程，再由双曲线与椭圆的一个交点的纵坐标为4,求出

此点的横坐标，将此点的坐标代入方程，求出参数即得双曲线方程.

【解析】设双曲线方程为e-二=1(a>0,b>0),

a2b2

由已知椭圆的两个焦点Fi(0,-3),F2(0,3),

又双曲线与椭圆交点A的纵坐标为4,所以A(J正，4),

42(VH)21

-----------=1a2=4,

a2b2

2

a2+b2=9,b=5,

故双曲线方程为《-£=1.

45

11.如图所示，在AABC中，已知|AB|=4或，且三内角A,B,C满足

2sinA+sinC=2sinB,建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程.

C

AB

【解析】如图所示,

以AB边所在的直线为x轴，

AB的垂直平分线为v轴，

建立直角坐标系,则A(-2位,0),B(2V2,0).

因为2sinA+sinC=2sinB,

所以2|CB|+|AB|=2|CA|,

从而有|CA1|CB|3|AB|

=2V2<|AB|.

由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去和x轴的交点).

JLa=V2,c=2或，所以b?=c2_a2=6.

22

所以顶点C的轨迹方程为上-匕=1(x>&).

26

I能力提升。30分钟50分I

一、选择题(每小题4分，共16分)

2

1.已知F”Fz是双曲线匚y2=l的左、右焦点，P,Q为右支上的两点，

直线PQ过Fz且倾斜角为a,则|PFJ+|QFIHPQ|的值为()

A.8B.272

C.4或D.随a的大小而变化

【解析】选C.由双曲线定义知：

|PF1|+|QF1|-|PQ|=|PF1|+|QF1|-(|PF2|+|QF2|)=(|PF1|-|PF2|)+(|QF1|

-|QF2|)=4a=4x<2.

2.“k>9”是”方程表示双曲线”的（）

9-kk-4

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件

【解析】选B.当k>9时，9-k<0,k-4>0,方程表示双曲线.当k<4时，

9-k>0,k-4<0,方程也表示双曲线.所以“k>9”是“方程±+炉=1

9-kk-4

表示双曲线”的充分不必要条件.

3.（2013•亳州高二检测）在平面直角坐标系xOy中，已知4ABC的顶

点A（-6,0）和C（6,0）,顶点B在双曲线£-金1的左支上，则MB

2511sinA—sinC

等于（）

A..-5„B.-6C„.1—1nD.—11

65256

【解题指南】根据正弦定理先将三角函数的比转化为长度比，再利用

双曲线的定义求解.

【解析】选B.根据正弦定理可知，

sinB_|AC|

sinA-sinCIBC|-|ABr

2„2

因为点B在双曲线v匚的左支上，

2511

所以|BC|-|AB|>0,

所以|BC卜|AB|=2a=10,

因为|AC|=2c=12,

所以sinB一|AC|一二一士

sinA-sinC|BC|-|AB|105*

22

4.双曲线上-工=1的左焦点为F”点P在双曲线右支上.如果线段PF.

174

的中点M在y轴上，那么点P的纵坐标是（）

A.士2B.土立C.土匹D.±-

2774.

【解析】选A.易得0M（0为坐标原点）为三角形PFFZ（F2为右焦点）的

中位线，故点P的横坐标为4,代入得P的纵坐标为土

二、填空题（每小题5分，共10分）

5.E,F2是双曲线£-e=1的两个焦点，P在双曲线上且满足

916

iPFj­|PF2|=32,则△FFF2的面积为.

【解题指南】先由余弦定理和双曲线定义确定NFFF2的大小，然后利

用三角形面积公式求解.

222

[解析】设NFFFz二a,在△FFF2中，由余弦定理得（2C）=|PF1|+|PF2|

-21PF,||PF2|«cosa.

所以cosa二（|PF，HPF炉+2吗|PF-36+64T00—0.

aiPFJIPF,164

所以a=90°,所以SAFPFmPE||PF2|=16.

ar1rr27

答案：16

6.一动圆M过定点A（-4,0）,且与定圆B：（x-4¥+y2=16相切，则动

圆圆心的轨迹方程为.

【解析】设动圆M的半径为r,依题意有|MA|二r.因为动圆与定圆相

切，所以|MB|二r±4,即|MB卜|MA|二±4,从而动圆圆心M到两定点A,

B的距离之差的绝对值等于常数，又4<|AB],因此动点M的轨迹为双

2

曲线，且c=4,2a=4,所以a=2,a2=4,b2=c2-a2=12,故轨迹方程是士

4.

--1.

12

」V2V2

答案：--^1

412

三、解答题（每小题12分，共24分）

7.求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：

(1)经过两点(2々，3),(-7,-672).

⑵双曲线过点(3,972),离心率e=旦.

a

【解题指南】(1)由于不清楚双曲线的焦点在哪条坐标轴上，可设其

22

方程为七一七1(mn>0),然后把点的坐标分别代入该方程形成方程组,

mn

最后解方程组即可.

⑵分别设出焦点在x轴，y轴上的双曲线的方程，然后根据其过点

(3,972),离心率e=匚包，且有c2=a?+b2,列方程组，求解即可.

a2

22

【解析】(1)设双曲线方程为--^-=1(mn>0),

mn

则jS72解得m=25,n=75,

\mn

所以该双曲线的方程为寸-e=1.

2575

22

⑵若双曲线焦点在X轴上，设其方程为3-9二1,

a2b2

0=色

a39

则(2_丝=i

a2b2'

vc2=a24-b2,

解得b?=-161(舍去)，

22

若双曲线焦点在y轴上，设其方程为

fc_vTo

a-3，

则〈募_2=1

a2b2'

<c2=a24-b2,

解得a?=81,b2=9,

所以双曲线的方程为亡-鼠1,

819

故双曲线的方程为e一左1.

819

22

8.设命题p：方程」J+二=l表示的曲线是双曲线；命题q：3xGR,

1—2mm+4

3x2+2mx+m+6<0.若命题p/\q为假命题，pVq为真命题，求实数m的

取值范围.

【解题指南】先求出命题p与命题q为真命题时m的取值范围，再根

据p,q的真假确定最终结果.

【解析】对于命题P,因为方程上■+上二1表示的曲线是双曲线，所

1—2mm+4

以(1-2m)(m+4)<0,解得m<-4或m>-,则命题p：m<-4或m>-.

对于命题q,因为mxGR,3x2+2mx+(m+6)<0,即不等式

3x2+2mx+(m+6)〈。在实数集R上有解，

所以△=(2m)-4X3X(m+6)>0,

解得m<-3或m>6.

则命题q：m<-3或m>6.

因为命题p/\q为假命题，pVq为真命题，所以命题p与命题q有且

只有一个为真命题.

若命题p为真命题且命题q为假命题，

即［m<-4或m>?得々mW6；

、-3<m<6,

若命题p为假命题且命题q为真命题，

1

—4WmM

即2得-4Wm〈-3.

m<—3或m>6,

综上，实数m的取值范围为［-4,-3)uQ,6.

《双曲线的简单几何性质》教学反思

我的课题是《双曲线的简单几何性质》，上课的对象是高二年级理科班的学生。

本节课我按时完成了规定的教学内容，完成了教学任务，达到了预期的教学效果。上完这节

课后我认真地进行了反思，具体内容如下：

一、教学过程回顾

1、导入新课：以椭圆的的几何性质的复习导入，双曲线的的几何性质的内容，由两名

学生分别发言给出的。预热用待定系数法求“双曲线”标准方程。然后在老师引导下，总结

出待定系数法求方程的一般步