高中数学概念总结

高中数学概念总结

函数

1、若集合A中有n（〃eN）个元素，则集合A的所有不同的子集个数为

r,所有非空真子集的个数是经匚。

二次函数y+加^+，的图象的对称轴方程是工=-2,顶点坐

2a

标是4ac-b2Y用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的

（2丁4a）

设法有三种形式，即f（x）=ax2+bx+c（一般式），

/（X）=。（工一/）・（尤一次2）（零点式）和/（X）=一加）2+n

（顶点式）。

m

2、累函数y=x",当n为正奇数，m为正偶数，men时，其大致图象

是

3、函数、=卜2—5x+6|的大致图象是

由图象知，函数的值域是［0,+oo）,单调递增区间是

［2,2.5］和［3,+oo),单调递减区间是(-00,2］和［2.5,3］。

三角函数

1、以角a的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴建立直角坐标系，在角

a的终边上任取一个异于原点的点P(x,y),点P到原点的距离记为

„„.yxyxrr

r,则sina=—,cosa=-，tga=—,ctga=—,seca=—,esca=一。

rrxy±y

2、同角三角函数的关系中，平方关系是：sin%+cos2a=1,

l+tg2a=sec2a,X+ctg'a=csc2a；

倒数关系是：tga-ctga=1,sina・csca=1,cosaseca=1；

日smacosa

相除关系是：tga=-----,ctga=-----

cosasina

3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限。如：

.3TT、1_

sinZ(--a)=-C0S6Z,crg(———a)=tga,tg(3/r-a)=-tgao

4、函数y=Asin(m+e)+8(其中4>0,6y>0)的最大值是

A+B,最小值是B-A,周期是T=二，频率是/=乌，相位

32万

是勿¥+9，初相是夕；其图象的对称轴是直线

7T

(ox+(p^k7T+-(kEZ),凡是该图象与直线y=B的交点都是该

图象的对称中心。

5、三角函数的单调区间：

y=sinx的递增区间是\2k^--ikn+-1eZ),递减区间是

.2,2_

2^+-,2^+—1(keZ)；y=cosx的递增区间是

22

[2Z万一乃,2%%](&£Z),递减区间是+)](&wZ),y=tgx的

递增区间是（T,Y（攵£Z）,y=ctgx的递减区间是

（攵;r,女乃+乃）（攵EZ）。

6、sin(a±尸)=sinacosJ3±cosasinp

cos(6z±/?)=cosacos/3+sinasin(3

tga±tg/3

tg(a±j3)

\+tgatg/)

7、二倍角公式是：sin2a=2sina・cosa

COS26Z=COS2a-sin2a=2cos2of-l=l-2sin2a

c2fga

tg2a=,$2

1-fg-a

al-cosa1+cosa

9、半角公式是：sin±=±cos—=±

2222

a1-cosa_1-cosa_sina

tg—=±

1+cosasina1+cosa

与a

10、升基公式是：1+cosa=2cos’一1-cosa=2sin2-。

22

1+cos2a

11、降幕公式是：siMa=Jcos2。cos2a=------------o

22

ca.a，a

、2tg-1-吆252tg3

12、万能公式：sin<z=----------cosa=------tg«=-------—

12a2a,2a

l+fg-21+fg

21-tg2

13、sin(a+/?)sin(a-/?)=sin2a-sin2(3，

cos(a+6)8s(a-/?)=cos2a-sin2=cos2/?-sin2cro

14、4sinasin(60°—a)sin(60°+a)=sin3i；

4cosacos(60°-a)cos(60°+a)=cos3a；

fgafg(60°-a)fg(60°+a)=fg3a。

15^ctga-tga=2ctg2a。

16、sin18°=-^-一-c

4

17、正弦定理是（其中R表示三角形的外接圆半径）:

sinAsinBsinC

19、由余弦定理第一形式，b2=a2+c2-2accosB

由余弦定理第二形式，COSBJ+c—

lac

20、AABC的面积用S表示，外接圆半径用R表示，内切圆半径用r表

示，半周长用p表示则：

①S=—a-hn=…；②S='besinA=…；

22

@S-2R~sinAsinBsinC；@S=

4R

⑤S='p(p-a)(p-b)(p-c)；®S=pr

21、三角学中的射影定理：在AABC中，b=acosC+c-cosA,-

22、在aABC中，A<8=sinA<sinB,—

23、在4ABC中：

sin(A+B)=sinCcos(A+B)=-cosCtg(A+B)=-tgC

.A+BCA+B.CA+BC

sin-------=cos一cos-------=sin—tg=etg—

2222

吆4+tgB+tgC=tgA-tgBtgC

24、积化和差公式:

①sina♦cos£=—[sin(a+£)+sin(a—,

②cosa-sin°=g[sin(a+£)—sin(a-£)],

③cosacos夕=；[cos(a+夕)+cos(a-/7)],

④sina•sin/?=-g[cos(a+£)-cos(a-/?)]»

25、和差化积公式：

x

①gsi•nx+si.ny=c2si•n-x--+--y--cos---~--y--

22

②sinx-siny-2cos“»•sin-~,

22

„-x+y

③cosx+cosy=2cos-----cos-x----y--，

22

公,x+y.x-y

④cosx-cosy--2sin-------sin-------。

22

三、反三角函数

1、y=arcsinx的定义域是[-1,1],值域是[一2•，工],奇函数，增函数;

-22

y=arccosx的定义域是[-1,1],值域是[0,%],非奇非偶，减函数;

?=。用限》的定义域是口，值域是（―m，T），奇函数，增函数;

y=Qwcfgx的定义域是R,值域是（0,乃），非奇非偶，减函数。

2、当x£[-1,1]时,sin(arcsinx)=x,cos(arccosx)=x；

sin(arccosx)=Jl--,cos(arcsinx)=Jl-x」

arcsin(-x)=-arcsinx,arccos(-x)-TC-arccosx

71

arcsinx+arccosx

2

对任意的XER,有：

tg(arctgx)=x,ctg(arcctgx)=x

arctg｛-x)--arctgx9arcctg(-x)=TT-arcctgx

冗

arctgx+arcctgx=—

当xwO时，有：tg(arcctgx)=—,dg(arctgx)=­o

xx

3、最简三角方程的解集：

\a\>1时,sinx=〃的解集为0；

\a\<1时,sinx=a的解集为卜卜=〃乃+(-1)"-arcsinm〃Ez｝

\a\>1时,cosx=a的解集为。；

\a\<1时,cosx=a的解集为｛x|x=2〃万士arccosa,nEZ\

aeR,方程吆尤=。的解集为卜,=n7r+arctga,nGZ｝；

a£R,方程cfgx=Q的解集为卜,=〃乃+arcctga,〃ez｝。

四、不等式

1、若n为正奇数，由可推出a"<。"吗？(能)

若n为正偶数呢？(仅当。、6均为非负数时才能)

2、同向不等式能相减，相除吗(不能)

能相加吗？(能)

能相乘吗？(能，但有条件)

3、两个正数的均值不等式是：—

2

三个正数的均值不等式是：a+h+C>^

3

n个正数的均值不等式是：」一4-------

n

4、两个正数a、b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之

间的关系是

6、双向不等式是：卜/|一间4,±耳<同+网

左边在ab<0(>0)时取得等号，右边在ab>0(<0)时取得等号。

五、数列

1、等差数列的通项公式是%=为+(〃—l)d,前n项和公式是:

°n(a.+a„)1,

Sn=-----------=na1+—-l)d。

2、等比数列的通项公式是%

nat(<?=1)

H

前n项和公式是：S„=Jal(l-^)/八

—:------(#1)

[、-q

3、当等比数列｛%｝的公比q满足冏<1时,limS=S=——o一般地,

n1-q

如果无穷数列｛%｝的前n项和的极限limS“存在，就把这个极限称为这

ZJ—>00

个数列的各项和(或所有项的和)，用S表示，即S=limS〃

“Too

4、若m、n、p、qGN,且加+"=p+q,那么：当数列｛%｝是等差数

列时，有am+%="「+4；当数歹U[,｝是等比数歹U时，有

5、等差数列｛即｝中，若Sn=10,S2n=30,则S3产K；

6、等比数列｛%｝中，若S“=10,S2n=30,贝ljS?n=70；

六、复数

1、i"怎样计算？（先求n被4除所得的余数，*+「=〃）

]Js1-x/3

2、a）----1---八69,=--------i是1的两个虚立方根，并且：

l'22222

3312211

例=g=1例=g%=电—二%—=%

电g

CDX=%（o1—CDX他+g=—1

3、复数集内的三角形不等式是：同一匕|〈忆±72|4匕|+卜2|，其中

左边在复数Zl、Z2对应的向量共线且反向（同向）时取等号,右.边在

复数4、Z2对应的向量共线且同向（反向）时取等号。

4、若|zj=2,Z2=3（cosg+isin?）-Z],复数zi、Z2对应的点分别是

A、B,则△AOB（0为坐标原点）的面积是，x2x6xsin生=36。

23

5、Z-Z=|z|2»

6、复平面内复数z对应的点的几个基本轨迹：

①上一Z（）|=r（r是正的常数）一•轨迹是―个圆。

@|z-z,|=|z-z2|（zpZ2是复常数）3轨迹是一条直线。

=：

③|z-z1|+|z-z2|2a（z1＞Z2是复常数，a是正的常数）一■轨

迹有三种可能情形：a）当2。〉^一马|时，轨迹为椭圆；b）当

2a=卜172|时，轨迹为一条线段；c）当2a＜匕一口|时，轨迹不存在。

@||z-z||-|z-4=2a（a是正的常数）7轨迹有三种可能情形：

a）当2a＜忆-Zzl时，轨迹为双曲线：b）当2a=忆-Zzl时，轨迹为两

条射线；c)当2a＞忆一打|时，轨迹不存在。

七、排列组合、二项式定理

1、加法原理、乘法原理各适用于什么情形？有什么特点？

加法分类，类类独立；乘法分步，步步相关。

nI

2、排列数公式是：P：=n(n-1)•••(n-+1)=-----—；

(n-m)!

排列数与组合数的关系是：P：

组合数公式是：二D二(仁〃?+D=——-——；

lx2x---xm机!•(九一m)l

组合数性质：C：=C：f+c;『=

fc：=2"rC；=〃C；1：

r=0

C;+C；M+C-..+C；=C；：：

3、二项式定理：

(a+b)"=C^a"+C\an-xb+C^an-2b2+…++…+C»

二项展开式的通项公式：丁川(r=0,1,2…，n)

八、解析几何

1、沙尔公式：|AB|=4一X.

2、数轴上两点间距离公式：

3、直角坐标平面内的两点间距离公式：

山尸21=J(X|—-2)2+(%一乃/

----pP

4、若点P分有向线段片产,成定比入，则入=」一

PP2

5、若点耳(匹,乃),P2(x2,y2),P(x,y),点P分有向线段々舄成定比

入，则：入=二五=22当xH*y=，*

x2-xy2~y1+21+2

若A。],%),B(x2,y2),C(x3,y3),贝UZ\ABC的重心G的坐标是

3+口2+刍y+)'2+)’3

3'3

6、求直线斜率的定义式为1<=吆。，两点式为1<=三二>

x2-X]

7、直线方程的几种形式：

点斜式：y-y0-k(x-x0),斜截式：y-kx+h

*,…y-y,x-x,…xy,

两点式：-~~人=-----截距式：一+)=1

为一以ab

一般式：Ax+8y+C=0

经过两条直线小A/+B1y+G=0和4：ax+4y+Q=。的

交点的直线系方程是：A^+B^+C,+2(A2x+B2y+C2)=0

8、直线&y=kix+bi,/2：y=k2x+b2,则从直线L到直线乙的角

k-k

e满足：tg0=^—^

1+k、k.

直线4与4的夹角0满足:

直线4：A|X+gy+G=0，，2：Ax+Jy+C2=0,则从直线4

到直线，2的角。满足：fg"A/A2g

AiA2+ByB2

ARAR

直线h与i2的夹角o满足：tgo=q一」

jAt12^2+i&

9、点P(%,yo)到直线/：Ax+By+C=O的距离：

d_回+By。+q

'/A2+BR

10、两条平行直线/]：Ax+By+C)=0,Z2：Ax+By+C2=。距离是

^IA2+B2

11、圆的标准方程是：(x-a)2+(y-b)2=/

圆的一般方程是：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F＞0)

甘1+.业，4日ylD~+E~—4F„,,i,x-sfDE)

其中，半径是v---------------,圆心坐标是----,----

2(22；

思考：方程+y2+Ox+Ey+尸=0在尸=0和

。2+后2—4尸＜0时各表示怎样的图形？

12、若A(x”yJ,B(x2,y2),则以线段AB为直径的圆的方程是

(X-.)(.一.2)+(＞一y)(1一乃)=0

经过两个圆

x?+y-+£)]x+E]y+K=O,x~+)"+D[X+E2y+F-0

的交点的圆系方程是：

x~+y~+Z)1x+E]y+F]+九(厂+y~+D,x+E2y+)=0

经过直线/：Ax+8y+C=0与圆/+y+OX+E＞，+尸=0的

交点的圆系方程是：x2+y2+Dx+Ey+F+A（Ax+By+C）=0

13、圆Y+V=/2的以产（%,打）为切点的切线方程是

XoX+y0y=厂

一般地，曲线A?+Cy2-Ox+Ey+/=0的以点尸（与，打）为切点

的切线方程是：Axox+Cyoy-D-^^-+E-^^+F=0.例如，抛

物线/=人的以点尸（1,2）为切点的切线方程是：2y=4x罟，即：

y=x+1。

注意：这个结论只能用来做选择题或者填空题，若是做解答题，只能按

照求切线方程的常规过程去做。

14、研究圆与直线的位置关系最常用的方法有两种，即：

①判别式法：△＞（），=0,＜0，等价于直线与圆相交、相切、相离；

②考查圆心到宜线的距离与半径的大小关系：距离大于半径、等于

半径、小于半径，等价于直线与圆相离、相切、相交。

15、抛物线标准方程的四种形式是：y2=2px,y2=-2px,

x2=2py,x2^-2py»

16、抛物线/=2px的焦点坐标是：（go，准线方程是：x=—g.

若点P（Xo，y°）是抛物线V=2px上一点，则该点到抛物线的焦点

的距离（称为焦半径）是：与+",过该抛物线的焦点且垂直于抛

2

物线对称轴的弦（称为通径）的长是：2p。

17、椭圆标准方程的两种形式是：片+片=]和亡+U=]3>6>0）。

a?b2~a2b2~

22

20、双曲线标准方程的两种形式是:-v1和72

/一后

（a>0,/?>0）o

22

22、与双曲线0-==1共渐近线的双曲线系方程是

a2b2

2222

三一七=九（/1/0）。与双曲线三一4=1共焦点的双曲线系方

a2b2a2b2

23、若直线y=直+b与圆锥曲线交于两点A（X],yO，B（x2,y2）,则弦

22

长为|AB|=7（1+^）U,-X2）；

若直线x=my+f与圆锥曲线交于两点A（X],yO，B（X2，yo）,则弦

长为|A8|=J（l+加2）（.力）2。

25（理）、平移坐标轴，使新坐标系的原点。'在原坐标系下的坐标是（h,

k）,若点P在原坐标系下的坐标是（x,y）,在新坐标系下的坐标是

（x',y'）,则x'=x-/i,y'=y—ko

九、极坐标、参数方程

1、经过点P0（x0,y0）的直线参数方程的一般形式是：

[』。+：”是参数）。

y=%+bt

2、若直线/经过点与（x0,为），倾斜角为a，则直线参数方程的标准形

x=x+tcosa0八

n°,。是参数）。其中点P对应的参数t的几何

（y=y0+/sina

意义是：有向线段解的数量。

若点P、P2、P是直线/上的点，它们在上述参数方程中对应的参数

分别是小%和3则：%鸟=11一口；当点P分有向线段

福成定比/I时，"0+九Z；当点p是线段pR的中点时，

1+2

_1+G

I-O

2

3、圆心在点C（a,b）,半径为r的圆的参数方程是：

x-a+rcosa„八®

（a是参数）。

y=/7+rsina

3、若以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点

P的极坐标为（0,6）,直角坐标为（x,y）,贝ijx=pcosd,

y-psind,p-yjx2+y2，tg0--»

x

4、经过极点，倾斜角为a的直线的极坐标方程是：6=a或6=乃+0,

经过点（。,0）,且垂直于极轴的直线的极坐标方程是：pcos6=a,

经过点3,工）且平行于极轴的直线的极坐标方程是：0sin6=a,

2---------

经过点（Po,%）且倾斜角为a的直线的极坐标方程是：

psin（。一a）=0osin（%-cr）。

5、圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程是夕=r；

圆心在点5,0）,半径为a的圆的极坐标方程是夕=2acos6：

■rr

圆心在点（a,5）,半径为a的圆的极坐标方程是0=2asin。；

圆心在点（Po，鱼），半径为尸的圆的极坐标方程是

P'+Po~2所°cos（。一优））=广。

6、若点M（0,4）、N（0，%），贝U

\MN\=dp；+0；—?P\Picos（q-%）。

十、立体几何

S'

1、求二面角的射影公式是cos。=3,其中各个符号的含义是：S是二

S

面角的一个面内图形F的面积，S'是图形F在二面角的另一个面内的

射影，。是二面角的大小。

2、若直线/在平面a内的射影是直线直线m是平面a内经过/的斜

足的一条直线，/与/'所成的角为仇，/'与m所成的角为为,/与m

所成的角为0，则这一:个角之间