高考数学二轮复习 双曲线学案（含解析）-人教版高三全册数学学案

双曲线问题

考向一：双曲线的定义与焦点三角形

1、在双曲线的定义中，要注意双曲线上的点（动点）具备的几何条件，即“到两定点（焦

点）的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距离”.若定义中的“绝

对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支.同时需注意定义的转化应用.

2、在焦点三角形中，注意定义、余弦定理的活用，常将||历I一|期||=2a平方，建立

与I掰I、I必I间的联系.

X2V2

1.[2016•全国II,11]已知aK是双曲线£：--4=1的左、右焦点，点〃在少上，MR

-ab

与x轴垂直，sin/奶月=],则£的离心率为（

)

A.A/2B.~C.^3D.2

答案A

解析：解法一：由奶_Lx轴，可得彳一c,勺

,,1}1

\MFx\=—.由sinN仞好;=「，

a3

1

93-

r\MFi\I］

--逑

又tanN圾助=।&矶=荻,2aC-

3

g*/C—ci+6C—a—~~dC—0

e-^e-l=O,e=y/2.

解法二：设|MFi|=m,贝DIMF2I=3m,伊迪|=2施m

2a=|MF2|-IMFJ=2m,2c=伊郎|=2V2m

所以e=2

2、［2014•大纲卷，9］已知双曲线。的离心率为2,焦点为R,点力在。上.若|丹4

=2|^|,则cos//KR=()

由

11当

--

A.4B.3C.4D.

答案A

解析：由题意得］||而R4|一=2&卬|=2，a,

解得I=2a,\FiA\=4a,

又由已知可得£=2,所以。=24即|£川=4小

a

—十|£川2一4a416a2—16a21

所J.C0S//E6—21^)\FlF2\~2X2aX4a~4

xy

3、［2013•湖南卷，14］设£,凡是双曲线C：/一方=l(a>0,力0)的两个焦点，户是C

上一点.若|/|+|笈|=6a,且△阳K的最小内角为30°,则C的离心率为.

答案事

解析：不妨设点户在双曲线C的右支上，由双曲线定义知|阳I—1濯1=2a,①

又因为I阳1+1图l=6a,②

由①②得|4|=4a,|阳|=2a,因为c〉a,

所以在△阳K中，N阳用为最小内角，

因此/阳用=30°,在4/7的中，由余弦定理可知，|%「=|/」+|FK「一

2\PR\•|W|•cos30°,BP4a^l6a+4c~8y［3ac.

所以c,—2(^ac+3a2=0,两边同除以a?得，e—2，^6+3=0.解得6=^^.

jr与国a或nW圆一a9R,、W画一a或y

范围

R回a

对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点

A][05]（0»—a）,

顶点A1（-a,0）9T4.2（a,0）

A2画（O,a）

性F｝而（0,—c）9

焦点（lc.0）.F（r.。）

F2国（O,C）

质h

渐近线y=士--n、=画土卡JC

a

离心率e=⑩'回（1,+8）,其中=a2~\~b2

ac

实虚轴实轴：IA1A21=圜红；虚轴：IB1B21=B3］26

a",C的关系c2=回笳+、（c>a>0,<->6>0）

YV

1、［2016•全国I,5］已知方程=一—在一=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距

离为4,则〃的取值范围是()

A.(-1,3)B.(-1,pC.(0,3)D.(0,/)

答案A

解析,••原方程表示双曲线，且焦距为4,

/n+??>0,

；・<37Z72—77>0,①

d+77+3^—77=4,

m+77<0,

或<3着一水0,②

、一3m~n—m~\-n=4,

由①得以2=1,4£(—1,3).②无解

2

2、［2014•北京卷，11］设双曲线C经过点(2,2),且与x?=l具有相同渐近线，则C的

方程为；渐近线方程为

答案y—j^=l；y=±2x

解析根据题意，可设双曲线人将2）代入双曲线。的方程得A=-3,

22

...C的方程为a一三=1.渐近线方程为尸±2x.

2222

与双曲线Fr一方v=1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为xF—V£=A（2^0）.

abab

考向三：与渐近线有关的双曲线问题

22

1、【2019全国I卷理16】已知双曲线G=—[=1（。〉0]〉0）的左、右焦点分别为

a~b"

A,%过月的直线与C的两条渐近线分别交于48两点.若耳A=耳

则。的离心率为.

【答案】2

分析：解答本题时，通过向量关系得到耳A=A3和。4,从而可

以得到ZAOB=NAO耳，再结合双曲线的渐近线可得NBOF]=ZAOF,，进而得到

NBOF,=ZAOF}=/BOA=60,从而由？=tan60°=73可求离心率.

a

解析：如图，由片Z=得耳A=AR又。片=。鸟，得以是三角形

£的中位线，即BF2//OA,BF2=2OA.

由片5月月=0,得片3，£民..；.。3=。耳，ZAOB=ZAOFl,

又力与必都是渐近线，得/3。玛=NA。耳，

又ZBOF2+ZAOB+ZAO^=兀，；.NBOF?=NAO《=ZBOA=60,

又渐近线出的斜率为2=tan60°=6，.•.该双曲线的离心率为

a

下）2=2.

aa

解法2：如图，由耳4=43,得耳4=川3.又0片=0鸟，

得总是三角形耳心3的中位线，即3月〃。4,58=2OA

由耳8书月=0,得片3，F2B,:.OAl^A,：.OB=OR,

取B(x[x),x2+^x2=c2,x=a,所以B(a,b)

因为F]A=b,所以0A=a,BFj=2b,BF2=2a

S4BFF2-12ax2b=：2cxb,所以e=2

22

2、【2019年高考全国III卷理数】双曲线a---匕=1的右焦点为

42

F,点户在C的一条渐近线上，。为坐标原点，若|PO|=|P同，则△刃的面积为

A.逑B.走C.2叵D.372

42

【答案】A

【解析】由a=2,Z?=,c=J/+「2=,|P(?|=\PF\,/.xp=，

又〃在。的一条渐近线上，不妨设为在》=2%上，则％

aPa222

SAPFO=^\OF\'\yp\=^x^x^=~^~

3、[2018•全国I,11]已知双曲线G--y=l,。为坐标原点，尸为。的右焦点，过尸

O

的直线与，的两条渐近线的交点分别为〃，“若△6W为直角三角形，贝H削=()

A.|B.3C.2-73D.4

答案B

解析：由题意分析知，/FON=30；

所以/地―60°,又因为△0W是直角三角形，不妨取N7W=90°,则NW30°,

干是FN=OF=2,FM^OF=\,所以|削=3.

__X2V2

4、［2018•全国III,11］设A,K是双曲线a万=l（a>0,杨0的左、右焦点,0是坐标

原点.过邑作C的一条渐近线的垂线,垂足为^若|4|={^如，则。的离心率为（）

A.小B.2C.A/3D.72

答案C

解析一：由题可知|必|=6,矶=c,二|户O|=a.

»“q\PF\b

在Rt中，cosN/Y^O=icc211=一，

IOF2\C

•・,在△分;用中，

,斤+41—乖a,b2_2

>•2cb7•2cc—=c—3a

解析二：由题可知|必|=b,|明|=c,|PO\=a.

过石作渐近线的垂线，垂足为Q.

因为P、Q关于原点对称，|你|=6,|。。|=&|%=2a

在Rt△产奶中，|QF$+|PQ|2=|PFJ2

b2+4a2=6a2,则b2=2a2,c2=3a2

e=y13.

x2V2

5、［2017•全国I,15］已知双曲线C：--T2=l（a>0,力0）的右顶点为4以/为圆心，b

一ab

为半径作圆4圆/与双曲线C的一条渐近线交于弘N两点.若NMW=60°,则C的离心

率为.

答案平

解析：如图，由题意知点/（a,0）,双曲线的一条渐近线/的方程

为y—~x,即bx—ay=0,

a

ab

...点/到，的距离

又/JW=60°，MA=NA=b,△扬及为等边三角形,

\[3\[3anabA/322

d=\-MA—~-b,即I?弓=丹~6,••才=38,

22N才+92

c\a-\~lj2A/3

「・e=-=A/---~=^~-

a\l3,3

考向四：双曲线的离心率问题

1、［2015•全国H,11］已知48为双曲线£的左、右顶点,点〃在£上，△/砌为等腰三

角形，且顶角为120。，则£的离心率为（）

_Lx轴于，则N仞阳=60°，BH=a,MH=/a,所以〃（2a,小a）.将点〃的坐标代入双曲

22

XV

线方程R=L得a=6,所以e=4.

ab

2、【2019年高考全国II卷理数】设厂为双曲线C：5_3=1（。〉0］〉0）

ab

的右焦点，。为坐标原点，以。尸为直径的圆与圆炉+产=/交于RQ

两点.若|尸0=|。同，则c的离心率为

A.72B.V3C.2D.75

【答案】A

解析：设尸。与X轴交于点A，由对称性可知PQ_Lx轴,

又•「|尸。|引。为=c,PA|=］二PA为以OF为直径的圆的半径,

：.\OA\=^,：.P

2222

又尸点在圆好+/=。2上，..二+J=/,即J=q22=二=2.

442a2

:.e=6，故选A-

考向五：与其他知识交汇的双曲线问题

_XV

1、［2017•全国II,9］若双曲线aW=l（a>0,6>0）的一条渐近线被圆（X—2）2+/=4

所截得的弦长为2,则。的离心率为（）

A.2B.小C.巾D.平

答案A

解析：设双曲线的一条渐近线方程为

a

圆的圆心为（2,0）,半径为2,

由弦长为2得出圆心到渐近线的距离为限一=/.

根据点到直线的距离公式得」当」=娟，

7a+b

解得方=3次

所以。的离心率e=?=

2、［2。13•天津卷'5］己知双曲线十方=1（a>。，垃。）的两条渐近线与抛物线/=2分（加0）

的准线分别交于46两点，。为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△/如的面积为《，则

P=()

3

A.1B.-C.2D.3

答案c

解析：由已知得双曲线离心率e=£=2,