辽宁省朝阳市建平县某中学2022年高三数学理模拟试卷含解析

辽宁省朝阳市建平县高级中学2022年高三数学理模拟

试卷含解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

2.设全集小{4文无可集合—{#-4x-5<0}B=(4234}则

q(zU3)=()

A.(-5,-2]B.[4,5)C.(-5,-2)D.(4,5)

参考答案：

A

2.设函数满足/(上十幻=/(切十加工当加时，/(冷二°,则

/(—)=

6()

\_>/3_I

A.2B.2C.OD.2

参考答案：

A

略

3.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A.2”+8B,8不+8

C.4开+8D.6万+8

参考答案:

A

4.已知各项均为正数的等比数列SJ满足®=。6+2。5,若存在两项%(，%使得

Ja*a*=4/,则1+㊁

%«的最小值为)

359

A.2B.3C.4D.9

参考答案:

A

略

5.如图，a^\P=l,Aea,5eAA,8至"的距离分别是a和S,工B与

a尸所成的角分别是6和。，力8在&户内的射影分别是我和〃，若a>8,则

()

A.&>(p>m>nB.®m<n

C&<cp>m<n[)6V伙m>n

参考答案:

【解析】由勾股定理/+/="+疗=.2,又a>b,：.m>^

sin9=sin0=-----.八.上八工

AB,AB,^a>b,所以sinUvsm夕，得

6.如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度：cm),则此几何体的表面

积是()

A.(20+40)京B.21c

C.(24+4/)加2D.24cMQ

主视图左视图

俯视

参考答案:

A

7.已知一个底面为正六边形，侧棱长都相等的六棱锥的正视图与俯视图如图所示,

若该几何体的底面边长为2,侧棱长为々，则该几何体的侧视图可能是

参考答案：

C

.已知集合刈},则

8A={x|xZ2x-3B={x|y=log2(x-1)},(?RA)PlB=()

A.(1,3)B.(-1,3)C.(3,5)D.(-1,5)

参考答案:

A

【考点】交、并、补集的混合运算.

【分析】求出集合的等价条件，结合集合的基本运算进行求解即可.

【解答]解：A={x|xZ2x-3N0}={x|xN3或xWl},

B={x|y=log2(x.l)}={x|x-l>O}={x|x>l},

则?RA={X|」<X<3},

则(?RA)CIB={X|1<X<3},

故选A

【点评】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键.

f,=—InUx2-3x4-2+J-E-3x+4)

9.函数⑻x''的定义域为()

A(-oo-4)u[2,+oa)B(-4,0)u(0.1)c[-4,0)u(0,1]Q[-4,0)U(0,1)

参考答案：

D

略

10.已知对任意制eK,直线x+y+税=0

都不是/。)=/-3稣(awR)的切线，

那么a的取值范围为()

11、1

a<-a<-a>-a>—

A.3B.3C.3D.3

参考答案：

A

2_1

VxeK,尸(x)=3(—-即VxeR,',“一弓，

11

x2=a--2y=a--

也即3无解，或者说抛物线y=x与直线/3没有交点,

如图所示。

所以“一5<°,解得故选择A。

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.如图，已知以与圆。相切于点火，半径。&，。尸，AB交P0点、C,若圆。的半

径为3,8=5,则B。的长度

参考答案:

5C=Vio

略

12.定义一种运算$=。88,在框图所表达的算法中揭示了这种运算"8"的含义。那

么，按照运算"®的含义，计算tan15"③tan300+tan30词tan15°=.

参考答案：

1

略

13.不透明盒子里装有大小质量完全相同的2个黑球，3个红球，从盒子中随机摸取两球，

颜色相同的概率为.

参考答案:

0.4

【考点】CB：古典概型及其概率计算公式.

【分析】先求出基本事件总数，再求出取到的球颜色相同包含的基本事件个数，由此能求

出取到的球颜色相同的概率.

【解答】解：一个盒子里装有2个黑球，3个红球，随机取出两个球，

基本事件总数的。5=10,

取到的球颜色相同包含的基本事件个数m=C介

二取到的球颜色相同的概率P=10=0.4.

故答案为0.4.

14.若函数f(x)=xln(x+Va+x‘)为偶函数，则a=.

参考答案:

【考点】函数奇偶性的性质.

【专题】函数的性质及应用.

【分析】由题意可得，f(-X)=f(X),代入根据对数的运算性质即可求解.

【解答】解：=f(x)=xln(x+Va+x2)为偶函数，

Af(-x)=f(x),

/.(-x)In(-x+va+J)=xln(x+Va+J),

-In(-x+Va+x2)=ln(x+va+x2),

Ain(-x+Va+x2)+ln(x+va+x2)=0,

.".In(Va+x2+x)(Va+x2-x)=0,

/.lna=0,

故答案为：1.

【点评】本题主要考查了偶函数的定义及对数的运算性质的简单应用，属于基础试题.

15.已知集合A={x|k+1这xW2k},B={x|lWxW3},则能使AC合A成立的实数k的取值范

围是—.

参考答案：

【考点】集合的包含关系判断及应用.

【分析】根据AOB=A(建立条件关系即可求实数k的取值范围

【解答】解:集合A={x|k+lWxW2k},B={x|lWxW3},

VAAB=A,

AA?B

当A=?时，满足题意，此时k+l>2k,解得k<l.

当AW?时，要使A?B成立，则tk43,解得：

综上可得：实数k的取值范围(°,1),

(YO,-1]

故答案为：2」

16.已知等差数列{4}的前n项和为号，若的=4,用=3,则公差d=.

参考答案：

3

略

l+2i

17.(I-)2=.

参考答案：

考点：复数代数形式的乘除运算.

专题：数系的扩充和复数.

分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.

__1+21_l+2i(l+2i)i_-2+i「_i

解答：解：(1-i)2=~2i-(-2i)-i-22

i

故答案为：-1+2.

点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.已知函数f(x)=a+(bx-1)ex,(a,bGR)

(1)如曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为丫=*,求a,b的值；

(2)若a〈l,b=2,关于x的不等式f(x)<ax的整数解有且只有一个，求a的取值范

围.

参考答案：

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程.

ff(0)=0

【分析】(1)由曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y=x,得If'(0)=1,求

出a,b的值即可；

(2)构造函数，通过对构造的函数求导并分类讨论，即可得出a的范围.

【解答】解：(1)函数f(x)的定义域是R,f(x)=be'+(bx-1)ex=(bx+b-1)e\

•.•曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为丫=*,

(f(0)=0(a-l=0(a=l

(0)=1,.-.k-1=1,解得：lb=2；

(2)当b=2时，f(x)=a+(2x-l)ex,(a<l),

关于x的不等式f(x)<ax的整数解有且只有一个，

等价于关于x的不等式a+(2x-l)e、ax<0的整数解有且只有1个，

构造函数F(x)=a+(2x-l)ex-ax,xCR,

故F'(x)=ex(2x+l)-a,

l°xK)时，•••ex*,2x+l>l,故ex(2x+l)>1,

又a<l,故P(x)>0,故F(x)在(0,+oo)递增，

•••F(0)=-l+a<0,F(1)=e>0,

工在［0,+oo)存在唯一整数xo，使得F(xo)<0,即f(xo)<axo;

2。当x<0时，为满足题意，函数F(x)在(一8,0)上不存在整数使得F(x)<0,

即F(x)在(8,一1］上不存在整数使得F(x)<0,

.,.ex(2x+l)<0,

①当ga<l时，函数F(x)<0,.-.F(x)在(-8,一1］递减,

3

2e<a<l：

3,

②当aVO时，F(-1)=-e+2a<0,不合题意，

3

综上，a的范围是［2e,1).

19.已知点PQ+cosesina),参数ae［0,两，点Q在曲线c：

9

p=------------------

0sin©+?)上

(I)求点尸的轨迹方程和曲线c的直角坐标方程；

(2)求点户与点0之间距离的最小值。

参考答案：

x=l+cosa

<

(1)由U=sma,得点p的轨迹方程(XT)、J=1。20),

9

又由Q=彳，得比=20+39,Qsin9+Qcos6=9。

曲线C的直角坐标方程为x+V=§。

（2）半圆。-1）2+/=1（丁20）的圆心（1,0）到直线x+y=9的距离为

4及，

所以IPQI-40-1。

20.三棱柱&C-型的底面加c是等边三角形，AC的中点为O,第J■底面

3C,M与底面幺WC所成的角为M,点。在棱幺上，且犯=爹''"=2

（1）求证：oz）J■平面班G。；

（2）求二面角3一身C—4的平面角的余弦值.

参考答案：

、后

（1）详见解析；（2）13

【解析】

试题分析：（1）要证明8JL平面的iG。，就要证明。。与平面内的两条相交直线垂直，所以根据线面角

和边长，以及余弦定理求。。长，根据勾股定理证明再根据侧棱平行证明一组垂直，根据条件

易证明BC_L平面必。,即证明BC10D,这样就证明了0D与平面内的两条相交直线垂直；（2）以。为

原点，分别以。4。及。4所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，分布求两个平面的;去向董，根据公

式8s＜m,n＞求解.

试题解析：（D连接4。，

•••4。，底面48。，40,3Cu底面QC,

..BClAp.AfllAO,且日与底面/£2?C所成的角为幺4。，即乙＜，。=/.

在等边&岱C中，易求得4。=君.

在必。。中，由余弦定理，得

0D=.iOA2+AD2-20A•ADcos—=—,

V32

.-.OD2+AD2=3=OA2,即。DJL".

又一幺4〃叫二OOJL朔一

"AB=AC3OB=OC^.AOLBC,

又•；BCcAfl=O,

二曲7_1_平面网。，

又一6仁平面幺40，

：.ODLBC,

乂BCcBS^=S

二。）_|_平面照GC.（6分）

(2)如下图所示，以。为原点，分别以。4。及。4所在的直线为％y，z轴建立空间直角坐标系,

则<75.O0)c(OTO).4(ao3),3QLO)

故福=屈=2叫,衣=(Q-L-3)

由3)可知万=1直.

4

二可得点D的坐标为(竽,

二平面班。。的一个法向量是砺=(苧0；1

设平面4星C的法向量”=（N，，z）,由

4sl=0J—^x+jr=0,

4c=0得I"3K=0,

令则y=3,z=_1

贝产=(83,-1),

|cDS瓯讣除二噜

易知所求的二面角为钝二面角，

二二面角3一4。一4的平面角的余弦角值是

而

13(12分)

考点：1.线面垂直的判定定理；2.空间向量的应用.

21.已知函数f(x)=/+2ax+2,xC［—5,5］.

(1)当。=一1时，求函数.穴尤)的最大值和最小值；

(2)函数y=/(x)在区间［-5,5］上是单调函数，求实数a的取值范围.

参考答案：

(1)当”=一1时，式功=/一陵+2=5—1)2+1.

—5,5］,.../1(x)m„=f(l)=l；

A^)«x=A—5)=37.

(2)f{x)—(x+a)'+2—a2,

，函数的对称轴为直线x=-a.

•.•函数F(x)在［-5,5］上是单调的，

—aW—5或一a25,

即a25或aW—5.

二实数a的取值范围是{a|应5或a<—5}.

略

22---

22.(13分)已知椭圆akb$l(a>b>0)的离心率为2,以椭圆上任一点与左，右焦

点R,F,为顶点的三角形的周长为4(V2+1).

(I)求椭圆的标准方程；

(II)若直线L过原点0,直线L与直线L相交于点Q,1试1=1,且k_LL,直线L与椭

圆交于A,B两点，问是否存在这样的直线k,使同?前=-1成立.若存在，求出直线L

的方程；若不存在，请说明理由.

参考答案：

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程.

【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程.

d返

【分析】(I)由题意，得2a+2c=4(&+1),.=2,求出a,b,c,即可求椭圆的标

准方程;

(2)分类讨论，根据13?确-1,o3=1进行转化，将直线h的方程为mx+ny=l代入椭

圆方程，利用XiXz+y»2=0,即可得出结论.

d选

【解答】解：(I)由题意，得2a+2c=4(b+1),12,…

/.a=2V2c=2,b=2.

22

x,y1

—+—二1

.••椭