高中数学概率统计专题

专题二概率统计专题

【考点透析】概率统计的考点主要有：概率与统计包括随机事务，等可能性事务的概率，互斥事务有一个发生的概率,

古典概型，几何概型，条件概率，独立重复试验与二项分布，超几何分布，离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的期

望和方差，抽样方法，总体分布的估计，正态分布，线性回来等.

【例题解析】

题型1抽样方法

［例1］在1000个有机会中奖的号码（编号为000-999）中，在公证部门监督下依据随机抽取的方法确定后两位数为

的号码为中奖号码，该抽样运用的抽样方法是（）

A.简洁随机抽样B.系统抽样C.分层抽样D.以上均不对

分析：实际“间隔距离相等''的抽取，属于系统抽样.

解析：题中运用了系统抽样的方法采确定中奖号码，中奖号码依次为：088,188,288,388,488,588,688,788,

888,988.答案B.

点评：关于系统抽样要留意如下几个问题：（1）系统抽样是将总体分成均衡几个部分，然依据预先定出的规则从每一部

分抽取一个个体，得到所须要的样本的一种抽样方法.（2）系统抽样的步骤：①将总体中的个体随机编号；②将编号分

段；③在第一段中用简洁随机抽样确定起始的个体编号；④按事先探讨的规则抽取样本.（3）适用范围：个体数较多的

总体.

例2（2008年高考广东卷理3）某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表.已知在全校学生中随机抽取1名，抽

到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（）

一年级二年级

年级

女生373Xy

力生377370Z

分析：依据给出的概领先求出x的值，这样就可以知道三年级的学生人数，问题就解决了.

解析：C二年级女生占全校学生总数的19%,即x=2000x（）.19=38（）,这样一年级和二年级学生的总数是

64

373+377+380+370=1500,三年级学生有500人，用分层抽样抽取的三年级学生应是—x500=16.答案C.

2000

点评：本题考查概率统计最基础的学问，还涉与到一点分析问题的实力和运算实力，题目以抽样的等可能性为动身点考

查随机抽样和分层抽样的学问.

例3.（2009江苏泰州期末第2题）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了■）（）（）（）人，并依据所得数据画了样本

的频率分布直方图（如下图）.为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这1（X）0。人中再用分层抽

样方法抽出10（）人作进一步调查，则在［2500,3500）（元）月收入段应抽出人.

频率/组距

0.0005

0.0004

0.0003

0.0002

().0001

月收入(元)

--------►

1000150020002500300035004000

分析：事实上是每10（）人抽取一人，只要把区间内的人数找出来即可.

解析：依据图可以看出月收入在［2500,3500）的人数的频率是

（0.0005+0.0003）x500=0.4,故月收入在［2500,3500）人数是10000x0.4=4000,

故抽取25人.

点评：本题把统计图表和抽样方法结合起来，主要目的是考查识图和计算实力.

题型2统计图表问题

例4（安徽省皖南八校2009届高三其次次联考理科数学第2题）从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的

高校招生体检表中视力状况进行统计，其结果的频率分布直方图如右图：若某高校A专业对视力的要求在0.9以上，则

该班学生中能报A专业的人数为

T须率

L00

0.75

05

025—1视

0.30.50.709I.I1.315

A.10B.20C.8D.16

分析：依据图找出视力在0.9以上的人数的频率即可.

解析：B.视力住0.9以上的频率为（1+0.75+.025）x0.2=0.4,人数为0.4x50=20.

点评：在解决频率分别直方图问题时简洁出现的错误是认为直方图中小矩形的高就是各段的频率，事实上小矩形的高是

频率除以组距.

例5（2009年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科第13题）某篮球运动员在一个赛季的4（）场竞赛中的得分的茎叶

图如图所示，则这组数据的中位数是；众数是.

9

23346789

20333355788

302234489

40356

分析：依据茎叶图和中位数、众数的概念解决.

解析：由于中位数是把样本数据依据由小到大的依次排列起来，处在中间位置的一个（或是最中间两个数的平均数），故

从茎叶图可以看出中位数是23；而众数是样本数据中出现次数最多的数，故众数也是23.

点评：一表（频率分布表）、三图（频率分布直方图、频率折线图、茎叶图）、三数（众数、中位数、众数）和标准差，

是高考考查统计的一个主要考点.

例5（2008高考广东文11）为了调查某厂工人生产某种产品的实力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产

品数量的分组区间为[45,55）,[55,65）,[65,75）,[75,85）,

[85,95）由此得到频率分布直方图如图，则这20名工人中一天生产该产品数量在[55,75）的人数是.

频率/组距

0.040

0.035

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

455565758595

图3

分析：找出频率即可.

解析：20x[（0.040+0.0025）xl0]=13.

点评：本题考查频率分布直方图，解题的关键是明确这个直方图上的纵坐标是频率/组距，得诞生产数量在[55,75）的人

数的频率.

题型3平均数、标准差（方差）的计算问题

例6（2008高考山东文9）从某项综合实力测试中抽取100人的成果，统计如表，则这100人成果的标准差为（）

分数54321

人数2010303010

25/io

A.GC.3D.-

55

分析：依据标准差的计算公式干脆计算即可.

"广〒…曰5x20+4x10+3x30+2x30+1x10,

解析：平均数是---------------------------------=3,

100

标准差是

/20x（5-3）2+10x（4-3『+30x（3-3『+30x（2-3y+10x（l—3）2

5-V100

/80+10+30+40_82M

—V100-V5-5

答案B.

点评：本题考查数据组的平均数和标准差的学问，考查数据处理实力和运算实力.解题的关键是正确理解统计表的意义,

会用平均数和标准差的公式，只要考生对此相识清晰，解答并不困难.

例7.（中山市高三级2008—2009学年度第一学期期末统一考试理科第9题）若数据看,当,占，，X,,的平均数x=5,

方差。2=2,则数据3玉+1,3々+1,3为+1,-,34+1的平均数为,方差为

分析：依据平均数与方差的性质解决.

解析：16,18

例8.（浙江宁波市2008学年度第一学期期末理科第3题）如图是2009年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委

为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为

A.84,4.84B.84,1.6C.85,1.6D.85,4

79

844647

93

解析：C

题型4用样本估计总体

例8（2008高考湖南文12）从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的状况如下表所示:

毛

7生活渝男女

杏自理

能178278

不能2321

则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多人.

23-21

解析：60由上表得15000x=——=2x30=60.

500

点评：考查样本估计总体的思想.

题型5.线性回来分析

例9.（2007高考广东）下表供应了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y

（吨标准煤）的几组比照数据

3

2.5

(1)请画出上表数据的散点图;

(2)请依据上表供应的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回来方程》=云+“；

(3)已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤；试依据(2)求出的线性回来方程，预料生产100吨甲产

品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？

分析：本题中散点图好作，本题的关键是求y关于x的线性回来方程)，=法+”，它既可以由给出的回来系数公式干脆计

算，也可以遵循着最小二乘法的基本思想一一即所求的直线应使残差平方和最小，用求二元函数最值的方法解决.

解析：

(1)散点图如右

(2)方法一：设线性回来方程为丫=加+°,则

」(a,b)=(3b+a-2.5)2+(4fc+a-3)2+(5b+a-4y+(6b+a-4.5)2

=4a2+2a(l8b-14)+(3b-2.5)2+(4b-3)2+(5a-4)2+(6b-4.5)2

a==3.5-4.5〃时，f(a,b)取得最小值(1.5b-+(0.5b-0.5)2+(0.5b-0.5)2+(1.5fe-l)2,

即0.5[(3fe-2)2+S-1尸]=5〃一7匕+g,:.b=O.7,a=0.35时/(a,Z?)取得最小值.

所以线性回来方程为y=0.7x+0.35.

方法二：由系数公式可知，4=4.5,-=3.5,b=665-4*45：3.5=66.5-63=。：

86-4x4.525

o

“=3.5-0.7x2=0.35,所以线性回来方程为y=0.7x+0.35.

2

(3)》=100时-，y=O.7x+O.35=70.35,所以预料生产1()()吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低19.65吨标准煤.

点评：本题考查回来分析的基本思想.求线性回来方程的方法一这事实上是重复了回来系数公式的推导过程，这里的另

个解决方法是对/(«,&)我们再按b集项，即

/(a,&)=86/?2+(36a-133)&+(a-2.5)2+(a-3)2+(a-4)2+(a-4.5)2,而这个时候，当(="：；；小时/(。力)

有最小值，结合上面解法中。=3.5—4.56时/(。,6)有最小值，组成方程组就可以解出。，6的值；方法二前提是正确

地运用回来系数的计算公式，一般考试中都会给出这个公式，但要留意各个量的计算；最终求出的19.65是指的平均值

或者是估计值，不是完全确定的值.对于本题我们可以计算题目所给的数据组的相关系数r=0.9899,相关指数

店=0.98.这说明x,y具有很强的线性相关性，说明说明变量对预报变量的贡献率是98%,即耗煤量的98%是来自

生产量，只有约2%来自其它因素，这与我们的直观感觉是非常符合的.本题简洁用错计算回来系数的公式，或是把回

来系数和回来常数弄颠倒了.

例10.(江苏扬州市2008-2009学年度第一学期期未调研测试第17题)为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶

段的学习供应指导性建议.现对他前7次考试的数学成果X、物理成果y进行分析.下面是该生7次考试的成果.

娄

(1)他的数学成果与物理成果哪个更稳定？请给出你的证明；

(2)已知该生的物理成果y与数学成果x是线性相关的，若该生的物理成果达到115分，请你估计他的数学成果大约是

多少？并请你依据物理成果与数学成果的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理建议.

分析：成果的稳定性用样本数据的方差推断，由物理成果估计数学成果由回来直线方程解决.

：(1)x

7

-6-9+8-4+4+1+6…

y=100+-------------------------------=101)

从而S全学〉S)理，所以物理成果更稳定.

(2)由于x与y之间具有线性相关关系，依据回来系数公式得到

，497

/?=—=0.5,0=100-0.5x100=50,

.•.线性回来方程为y=0.5x+50.当y=115时，x=l30.

建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成果的稳定性，将有助于物理成果的进一步提高.

点评：《考试大纲》在必修部分的统计中明确指出“①会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图相识变量间的

相关关系.②了解最小二乘法的思想，能依据给出的线性回来方程系数公式建立线性回来方程”.2007年广东就以解答

题的方式考查了这个问题，在复习备考时不行掉一轻心.

题型6古典概型与几何概型计算问题

例11(2008高考江苏2)一个骰子连续投2次，点数和为4的概率.

分析：枚举基本领件总数和随机事务所包含的基本领件的个数后，依据古典概型的计算公式计算.

31

解析：点数和为4,即(1,3),(2,2),(3,1),基本领件的总数是36,故这个概率是器=,.或是数形结合处理.

点评：古典概型的计算是一个基础性的考点，高考中除了以解答题的方式重点考查概率的综合性问题外，也以选择题、

填空题的方式考查古典概型的计算.

例12.(2009年福建省理科数学高考样卷第4题)如图，边长为2的正方形内有一内切圆.在图形上随机投掷一个点，

则该点落到圆内的概率是

分析：就是圆的面积和正方形面积的比值.

解析：依据几何概型的计算公式，这个概率值是巴TT，答案A.

点评：高考对几何概型的考查一般有两个方面，一是以选择题、填空题的方式有针对性地考查，二是作为综合解答题的

一部分和其他概率计算一起进行综合考查.

例13.(2008高考山东文18)现出名8奥运会志愿者，其中志愿者4，A，A?通晓日语，弊B2,员通晓俄语，G，C2

通晓韩语.从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组.

(1)求A1被选中的概率；

(2)求用和G不全被选中的概率.

分析：枚举的方法找出基本领件的总数，结合着随机事务、对立事务的概率，用古典概型的计算公式解决.

解析：（1）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本领件空间

c=｛（A，G），（4，与，G）,（4，B2fC2）9（Ai9B3,G），

9

（4，B3,C2）,（4,Bj£）,（4,Bp。2）,（4,B2fC］）>（A,>B?,C2）

（4,B#Cj）>（4，B3,c*2）»（A，BpG）,（4,Bp。2）,（4,B-t，C|）»

（4，B~C））,（A，G），（A，鸟，c>2））

由18个基本领件组成.由于每一个基本领件被抽取的机会均等，因此这些基本领件的发生是等可能的.

用”表示"从恰被选中”这一事务，则

用=｛（4，与，G），（A，旦，G），（4，/G），

（4B?,G>（A，B3,G）,（A，Byc2））

事务W由6个基本领件组成，因而P（M）=9=L.

183

（2）用N表示“4,G不全被选中”这一事务，则其对立事务亓表示“四，G全被选中”这一事务，

由于讨=｛（4，耳，G），（4，ByG），（4，弊G）｝，事务亓有3个基本领件组成，

—31—15

所以P（N）由对立事务的概率公式得P（N）=1-P（N）=1--=-.

18666

点评：本题考查古典概率、对立事务等概率的基础学问，考查分类探讨、“正难则反”等数学思想方法，考查分析问题解

决问题的实力.

题型7排列组合（理科）

例14.（浙江宁波市2008学年度第一学期期末理科第9题）由0,1,2,3,4这五个数字组成的无重复数字的四位偶数，按

从小到大的依次排成一个数列｛4｝，则a”=

A.2014B.2034C.1432D.1430

分析：依据千位的数字找寻规律.

解析：千位是1的四位偶数有C；A；=18,故笫19和是千位数字为2的四位偶数中最小的一个，即2014,答案A.

例15.（2009年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科第17题）有3张都标着字母A,6张分别标着数字1,2,3,4,5,6

的卡片，若任取其中6张卡片组成牌号，则可以组成的不同牌号的总数等于.（用数字作答）

分析：由于字母A是一样的，没有区分，故可以依据含有字母A的多少分类解决，如含有2个字母A时，只要在6个位

置上选两个位置支配字母A即可，再在其余位置上支配数字.

解析：不含字母A的有屋=720；含一个字母A的有C：6=6x720=4320；含两个字母A时，星=5400；含三

个字母4时，CX=2400.故总数为720+4320+5400+2400=12840.

点评：解决排列、组合问题的一个基本原则就是先对问题分类、再对每一类中的问题合理地分步，依据排列组合的有关

计算公式和两个基本原理进行计算.

题型8二项式定理（理科）

例15.（浙江宁波市2008学年度第一学期期末理科第12题）已知（or+1）"+4（〃wN"）,点

列a（i,%）（i=0,l,2,,〃）部分图象如图所示，则实数。的值为.

分析：依据点列的图可以知道4,q,%的值，即可以通过列方程组解决.

解析：由图g=3,%=4,又依据二项绽开式%=C：%=na=3,

=禺42=^1/=^^=^1=4,解得a=L

点评：本题以点列的部分图象设计了一个与二项式有关的问题，解决问题的基本动身点是方程的思想.

例16（安徽省皖南八校2009届高三其次次联考理科数学第4题）

若（1-x）"=1+。/+。232++x"（neN+）,且4：生3=1：7,则应等于

A.56B.-56C.35D.-35

分析：依据绽开式的系数之比求出〃值.

解析：%=—=—C：，由4：%=1：7，得〃=8,故%=—C；=—56,答案B.

点评：解这类题目要留意绽开式的系数和绽开式中项的系数是区分，别把符号弄错了.

题型9离散型随机变量的分布、期望与方差（理科的重要考点）

例17.（浙江宁波市2008学年度第一学期期末理科第19题）在一个盒子中，放有标号分别为1,2,3的三张卡片，现

从这个盒子中，章放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x、y,记J=|x—]+仅—4

（1）求随机变量J的最大值，并求事务取得最大值'’的概率；

（2）求随机变量J的分布列和数学期望.

分析：依据对随机变量4的规定，结合的取值确定随机变量可以取那些值，然后依据其取这些值的意义，分别计算

其概率.

解析：（1）•••X、y可能的取值为1、2、3,.-.|x-2|<l,|y-^<2,

二孑43,且当x=l,y=3或x=3,y=l时，孑=3.因此，随机变量J的最大值为3.

2

•.•有放回抽两张卡片的全部状况有3x3=9种，，P4=3）=§.

（2）J的全部取值为0,1,2,3.

•.•4=0时，只有x=2,y=2这一种状况，

4=1时,，有x=l,y=l或x=2,y=l或x=2,y=3或x=3,y=3四种状况，

自=2时，有彳=1,丁=2或》=3,丫=2两种状况.

142

.•，e=0）=§,P（^=l）=-,P（^=2）=-.

则随机变量J的分布列为:

40123

422

P

9999

142214

因此，数学期望Eq=0x±+lx2+2x£+3xW=上.

99999

点评：有放回的“取卡片、取球”之类的问题，其基本领件的总数要由分步乘法计数原理解决，这是一类重要的概率模型.

例18.(江苏扬州市2008-2009学年度第一学期期未调研测试加试第4题)某次乒乓球竞赛的决赛在甲乙两名选手之间

2

实行，竞赛采纳五局三胜制，按以往竞赛阅历，甲胜乙的概率为一.

3

(I)求竞赛三局甲获胜的概率；

(2)求甲获胜的概率；

(3)设甲竞赛的次数为X,求X的数学期望.

分析：竞赛三局甲即指甲连胜三局，可以依据相互独立事务同时发生的概率乘法公式计算，也可以将问题归结为三次独

立重复试验，将问题归结为独立重复试验概型；甲最终获胜，可以分为甲三局获胜、四局获胜、五局获胜三个互斥事务

的概率之和；甲竞赛的次数也就是本次竞赛的次数，留意当三局就结束时，可能是甲取胜也可能是乙取胜等.

解析：记甲〃局获胜的概率为2，〃=3,4,5,

2Q

(1)竞赛三局甲获胜的概率是：鸟=C；(§)3=;

21Q

3

(2)竞赛四局甲获胜的概率是：^=C；(-)(-)=^-；

32

竞赛五局甲获胜的概率是：^=C；(|)(1)=^;

64

甲获胜的概率是：^+P4+P5=—.

(3)记乙〃局获胜的概率为，,‘，72=3,4,5.

吟修，AY(鸿=条与=。即守嗑

故甲竞赛次数的分布列为：

X345

P(X)A+分心+与

所以甲竞赛次数的数学期望是:

八c/18、“/82、u,168、107

E(X)=3x(——+——)+4x(—+——)+5x(1)=-.

27272727818127

点评：这是一个以独立重复试验概型为基本考查点的概率试题，但这里又不是单纯的独立重复试验概型，是一个局部的

独立重复试验概型和相互独立事务的结合.这类竞赛型的概率试题也是一个重要的概率模型.

题型11正态分布

例19.(2008高考湖南理4)设随机变量4听从正态分布N(2,9),若PC>c+l)=PC<c—1),则()

A.1B.2C.3D.4

分析：依据正态密度曲线的对称性解决.

解析:B依据正态密度曲线的对称性，即直线％=。+1与直线x=c-l关于直线x=2对称，故匕*二!■=2,即c=2.

2

点评：本质是通过正态密度曲线考查数形结合的思想意识.

例20(2008高考安徽理10)设两个正态分布N(外，端)(,>0)和N(〃2，端)(%>0)的密度函数图像如图所示.则

有

A.M<从2，。1<%B.

C.D.从>〃2，，>%

分析：依据正态密度曲线的性质解决.

解析：A依据正态分布N(〃,b2)函数的性质：正态分布曲线是一条关于x=〃对称，在x=〃处取得最大值的连续钟

形曲线；0■越大，曲线的最高点越底且弯曲较平缓；反过来，b越小，曲线的最高点越高且弯曲较陡峭，选A.

点评：考试大纲对正态分布的要求是“利用实际问题直方图，了解正态分布曲线的特点与曲线所表示的意义“，这个考点

多次出现在高考试卷中.

【专题训练与高考预料】

文科部分

一、选择题

1.从某鱼池中捕得120条鱼，做了记号之后，再放回池中，经过适当的时间后，再从池中捕得100条鱼，若其中有记号的鱼

为10条，试估计鱼池中共有鱼的条数为（）

A.1000B.1200C.130D.1300

2.己知x与y之间的一组数据：

X0123

y1357

则y与x的线性回来方程为y=a+Ar必过点（）

A.（2,2）B.（1.5,0）C.（1,2）D.（1.5,4）

3.从2007名学生中选取50名学生参与全国数学联赛，若采纳下面的方法选取：先用简洁随机抽样从2007人中剔除7人，

剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率（）

A.不全相等B.均不相等

501

C.都相等，且为2007D.都相等，且为40

4.依据某医疗探讨所的调查，某地区居民血型的分布为：。型50%,A型15%,8型30%,钻型5%.现有一血液为A型病

人须要输血，若在该地区任选一人，则能为病人输血的概率为（）

A.15%B.20%C.45%D.65%

5.4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取.若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最终一名同学抽到

中奖奖券的概率是（）

6.有如下四个嬉戏盘，假如撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖.小明希望中奖，他应选择的嬉戏盘是（）

二、填空题

7.归直线方程为y=0.5x—0.81,则x=25时，y的估计值为.

8.若由一个2*2列联表中的数据计算得K?=4.013,则有把握认为两个变量有关系.

9.一工厂生产了某种产品180件，它们来自甲、乙、丙3条生产线，为检查这批产品的质量，确定采纳分层抽样的方法进行

抽样，已知甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了件产品.

10.如图：M是半径为R的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点N,连接“V,则弦MN的长度超过0R的概

率是

11.一个质地匀称的正方体玩具的六个面上分别写着数字1,2,3,4,5,6,现将这个正方体玩具向桌面上先后投掷两次，记和桌

面接触的面上的数字分别为。力，曲线c：kl+®=i.

ab

(1)曲线C和圆/+丁=1有公共点的概率；

(2)曲线C所围成区域的面积不小于5()的概率.

12.某地10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表：

年收入X(万元)24466677810

年饮食支出y(万元)0.91.41.62.02.11.91.82.12.22.3

(1)依据表中数据，确定家庭的年收入和年饮食支出的相关关系；

(2)假如某家庭年收入为9万元，预料其年饮食支出.

理科部分

一、选择题

1.在区间［-2,2］内任取两数a,b,使函数〃力=£+次+/有两相异零点的概率是

()

2.在一次试验中，测得(x,y)的四组值分别为(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),则y与x的线性回来方程可能是

()

A.y=x+lB.y=x+2C.y=2x+lD.y=x-l

5.向假设的三座相互毗邻的军火库投掷一颗炸弹，只要炸中其中任何一座，另外两座也要发生爆炸.已知炸中第一座军火库

的概率为0.2,炸中其次座军火库的概率为0.3,炸中第三座军火库的概率为().1,则军火库发生爆炸的概率是

()

A.O.(X)6B.0.4C.0.5D.0.6

6.从标有123,7的7个小球中取出一球，登记它上面的数字，放回后再取出一球，登记它上面的数字，然后把两数相加

得和，则取得的两球上的数字之和大于11或者能被4整除的概率是()

1615213

A.—B.—C.—D.—

4949749

7.在长为6()加，宽为406的矩形场地上有一个椭圆形草坪，在一次大风后,发觉该场地内共落有300片树叶，其中落在椭

圆外的树叶数为96片，以此数据为依据可以估计出草坪的面积约为()

22

A.768mB.1632〃，c.1732〃D.868m

8.6名同学报考A,B,C三所院校，假如每一所院校至少有1人报考，则不同的报考方法共有()

A.216种B.54()种C.729种D.324()种

二、填空题

9.某校有高一学生400人，高二学生302人，高三学生25（）人，现在按年级分层抽样，从全部学生中抽取一个容量为19（）人

的样本，应当高学生中，剔除人，高一、高二、高三抽取的人数依次是.

10.（二+4+五产的绽开式中整理后的常数项为.

2x

11.若》=夜，则（1+X）5°绽开式中最大的项是一项.

三、解答题

13.甲、乙两运动员进行射击训练，己知他们击中的环数都稳定在7,8,9,10环，且每次射击成果互不影响.射击环数的频率

分布条形图如下：

若将频率视为概率，回答下列问题.

（1）求甲运动员在3次射击中至少有1次击中9环以上（含9环）的概率;

（2）若甲、乙两运动员各自射击1次，J表示这2次射击中击中9环以上（含9环）的次数，求J的分布列与

15.袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球.求:

（1）有放回抽样时，取到黑球的个数X的分布列；

（2）不放回抽样时，取到黑球的个数y的分布列.

16.某地10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表：

年收入X（万元）24466677810

年饮食支出y（万元）0.91.41.62.02.11.91.82.12.22.3

（1）依据表中数据，确定家庭的年收入和年饮食支出的相关关系;

（2）假如某家庭年收入为9万元，预料其年饮食支出.

【参考答案】

文科部分

1.解析：B依据用样本估计总体的思想，池中有记号的鱼的频率是」■，故鱼池中鱼的条数是1200条.

10

4.解析：D过样本中心点.选D.

7.解析：C任何个体被抽到的概率都相等，且是旦.

2007

8.解析：D只有。型和A型，依据互斥事务的概率加法得结论为65%.

9.解析：B相当于在3张奖券中1张有奖，3人抽取，最终一人抽到中奖奖券的概率是

3

10.解析：A选择嬉戏盘的原则是中奖的概率大，A中中奖的概率是3士，B中中奖的概率是1上，C中中奖的概率是4—土7T』,

834

B中中奖的概率是比较大小即知.

71

11.解析:11.690.5x25-0.81=11.69

12.解析:95%

13.解析：60.三条生产线的产品也组成等差数列.

14.解析：2连接圆心。与〃点，作弦使/MON=90",这样的点有两个，分别记为N，%,仅当N在不属于M

180°_1

的半圆弧上取值时满意”N＞血及，此时NNQN?=180",故所求的概率为360°2.

15.解析：基本领件的总数是36.

(1)a,b应满意―,-<1>吟+»,逐个检验,

2

（1,1）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（2,1）,（2,1）,（3,1）,（4,1）,（5,1）,（6,1）,随机事务：曲线C和圆/+产=1有公共点

的概率包含着11个基本领件，故所求的概率是u；

36

（2）曲线C所围成的区域的面积是2aA,即求出J225的概率，基本领件只能是（5,5）,（5,6）,（6,5）,（6,6）,故所

求的概率是4二=！1.

369

16.解析：（1）由题意知，年收入x为说明变量，年饮食支出y为预报变量，作散点图（如图所示）.

从图中可以看出，样本点呈条状分布，年收入和年饮食支出有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回来方程刻画它

们之间的关系.

__io1010

"x=6,y=1.83,=406,=35.13,»*=117.7,

1=11=11=1

0.172,«=y-/?x=1.83-0.172x6=0.798.

从而得到回来直线方程为y=0.172x+0.798.

(2)y=0.172x9+0.798=2.346万元.

理科部分

1.解析：D依据题意a*应满意/>/,即网>同，以仅为)为点，在阳。平面上，结合图形可知这个概率为;.

2.解析：A线性回来直线肯定过样本中心点(2.5,3.5),故选A.

3.解析：D设AB,C分别表示炸中第一、其次、第三座军火库这三个事务.则P(A)=0.2,P(B)=0.3,P(C)=0.1.设£>

表示”军火库爆炸"，则。=ABC.又B,C彼此互斥，

：.P(D)=P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)=0.2+0.3+0.1=0.6.

4.解析：A基本领件总数为7x7=49个，而满意条件的基本领件个数为16个：

(1,3),(22),(31),(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),(53),(62),(7,1),(5,7),(66),(7,5),(67),(7,6),(7,7).

故所求事务的概率为3.

49

7891011121314

678910111213

56789101112

4567891011

345678910

23456789

12345678

，。♦彳234567Ax

5.解析：B依据随机模拟的思想，可以认为树叶落在该场地上是随机的，这样椭圆草坪的面积和整个矩形场地的面积之比

就近似地等于落在椭圆草坪上的树叶数目和落在整个矩形场地上的树叶数目之比.

2

60x40x30°-96=J632(,„).

300

6.解析：B先将6名同学分成(1,1,4);。,2,3);(2,2,2)三组，再安排到三所院校.其中(1,1,4),(2,2,2)涉与到匀称分组,

留意考虑分组的特别性./时+C2+如但用田，选B.

7.解析：二2,80、60、50总体人数为400+302+250=952(人)，・.9,5"2=5……余2,40—0=80,302-2=60,

19055

二2520二50,・••从高二年级中剔除2人，所以从高一，高二，高三年级中分别抽取80人、60人、50人.

5

r-1010-rr

解析：乎