高中数学必修二第六章第2节《平面向量的运算》解答题 20(含答案解析)

必修二第六章第2节《平面向量的运算》解答题(20)

一、解答题(本大题共30小题，共360.0分)

1.已知A、B、C的坐标分别为4(3,0),8(0,3),C(cosa+sina),a6&£)•(1)若|而|=|同|，

求教a的值；

(2)若近•近=—1,求2sin%+sin2a的值.

1+tana

2.在448c中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知a•sinA+a•sinC-cosB+b-sinC-cosA=

b•sinB+c-sinA.

(1)求角8的大小；

(2)若b=3乃，0=3四，点。满足同=：荏+1而，求△4BD的面积.

3.已知向量Z,E满足|五|=1,|3|=或，(a-b)1a.

(1)求向量方与石的夹角：

(2)求|22一方|的值；

4.如图，在平面斜坐标系xOy中，z.xOy=60°,平面上任一点P在该斜坐标系中的斜坐标是这

样定义的：若而=x前+y名(其中耳、孩分别为与x轴、y轴正方向同向的单位向量)，则P点

斜坐标为(％y).

(1)若P点斜坐标为(2,-2),求P到。的距离|POh

(2)若zMBC三个顶点的斜坐标分别为4(1,4),B(4,2),C(3,5),求三角形的内角NA.

5.如图，在AAOB中，。是边。8的中点，C是边。4上靠近点。的一个三等分点，AO与BC交

于点M.设04-a>OB=b-

(1)用五，石表示丽.

-1o

(2)过点M的直线与边0A,08分别交于点E,F.设笳=pZ，OF=qb,求己+^的值.

6.如图，在平行四边形ABCD中，AP1BD,垂足为P.

(1)若希•前=18，求AP的长；

(2)设|荏|=6，|前|=8,^BAC=pAP=xAB+yAC，求:的值.

7.已知&=(1,0),&=(0,1),一动点P从与(一1,2)开始，沿着与向量瓦1+互相同的方向做匀速

直线运动，速度的大小为同+&|m/s.另一动点Q从Qo(-2,—l)开始，沿着与向量3否+2杳相

同的方向做匀速直线运动，速度的大小为|3四+232ki/s.设P,Q在t=Os时分别在P。，Q。处,

问当所1.Qo时,所需的时间，为多少？

8.已知向量五,至满足|矶=1,161=72,0_方)1阿

(1)求向量五与B的夹角及向量石在向量五方向上的投影；

(2)求|2日一方|的值；

(3)若向量下=3益+5方，d=ma-3b>c//d>求，"的值.

Bi

9.如图，在平行四边形。A/)8中，设成=百,而=3,前=［正，丽=［而.

试用求五，石表示碗,丽及丽.之二?S/

OA

10.设A,B,C,。为平面内的四点，且4(1,3),8(2,—2),C(4,-l).

(1)若而=而，求。点坐标；

(2)设向量胃=荏，b=BC,若k五-石与方+33平行，求实数%的值.

11.已知△4BC内接于以。为圆心，1为半径的圆，且3可+J而+5力心Tf

(1)求数量积6r而，OAOC;

(2)求△ABC的面积。

12.在MBC中，AM=4-AB+4-AC.

A

(1)求448"与4ABC的面积之比;

(2)若N为AB中点，AM与CN交于点P,且而=%荏+y而(x,yeR)，求X+y的值.

13.已知同=&,|1|=1，五与石的夹角为45。.

⑴求|弓+2石|的值;

(2)若向量(2五-4方)与Q五-35的夹角是锐角，求实数4的取值范围.

14.如图，在△ABC中，AB=2,AC=3,/.BAC=60°,DB=2AD,CE=2EB.

(1)试用源和前表示尻;

(2)求魂•屁的值.

15.已知meR,向量五=(sinx,—mcosx),b=(cosx,cosx)>函数(fx)=2/7+m.

(1)若巾=1,求/(x)的单调递减区间;

(2)若m=百，将/"(x)的图象向左平移盘个单位长度后，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区

间［0,胃上的最值.

16.已知向量同=1,|b|=|2/?—a|.

(/)求五与方夹角的取值范围；

(〃)求同的取值范围.

17.在RtAAG「中，^BAC=90°,AB=2,AC=6,。为AC边上的中点，E为BC边上一点,且

BE=ABC(O<A<1).

(1)当4=g时，若荏=+求x,y的值；

(2)当AEJ.BD时，求4的值.

18.如图，已知AOCB中，A是CB的中点，。是将而分成2:1的一个内分点，DC和。A交于点E,

(1)用五和方表示向量正，DC；

(2)若丽=2小配求实数a的值.

19.在△力BC中，Z.BAC=120°,AB=2,AC=1,。为边BC上的一点，S.DC=2BD.

(1)记AB=1，AC=b＞请用区b为基底表示4D;

(2)求线段AQ的长度.

20.在△ABC中，ABAC=90°,点。在边BC上，满足4B=V3BD.

(1)若N8/W=30°,求C的大小；

(2)若CD=2BD,AD=4,求△ABC的面积.

21.如图，在平面直角坐标系中，锐角a和钝角夕的终边分别交圆心在原点的单位圆于4B两点.

⑴若点4的纵坐标是柒点8的纵坐标是热求sin(a+S)的值;

(2)若|荏|=|,求周+2函的值.

22.已知zL48c在平面直角坐标系xOy中，其顶点4SC坐标分别为4(一2,3),B(l,6),C(2cosa2sin0).

(1)若4847=也且。为第二象限角，求cos9-sin。的值;

(口)若0=|兀，且同=4.而(4eR)，求I函的最小值.

23.如图，在AABC中，已知C4=l,CB=2,乙4cB=60。.

(1)求|而

(2)已知点。是AB上一点，满足而=4四，点E是边C8上一点，满足炉=2比.

①当；1=1时，求荏.而;

②是否存在非零实数人使得荏J.而？若存在，求出；I的值；若不存在，请说明理由.

24.已知向量五=(2百sin仁+x),cos仁+久)),向量至=(cosQ-x),2cos偿-x)),且函数f(x)=

ab.

(1)求函数f(x)的单调递增区间及其对称中心；

(2)在Z4BC中，角A,B,C所对的边分别为“，b,c且角A满足/⑷=国+1,若a=3,BC

边上的中线长为3,求2L4BC的面积S；

(3)将函数/(%)的图像向左平移?个长度单位，向下平移百个长度单位，再横坐标不变，纵坐标

缩短为原来的:后得到函数g(x)的图像，令函数h(x)=g。)-"cos》在xG［。图的最小值为-|,

求正实数;I的值.

25.在AABC中，ZBAC=120°,AB=2,AC=1,。为边8c上的一点，且DC=2BD.

BD-------------------C

(1)记AB=a»AC=b>请用五，b为基底表示AD;

(2)求线段A。的长度.

26.已知平面向量五=(3,4),b=(9,x)>c=(4,y),且五〃E，ale.

(1)求石和八

(2)若沅=21一丸n=a+c,求向量记与向量记的夹角的大小.

27.请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.

①荏之+而.死=_6②炉+C2=52③团4BC的面积为3质

在团4BC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b-c=2,cosA=-

4

⑴求a；

(2)求cos(2C+J)的值.

28.如图，在四边形OBCC中，CD=2BO.OA=2AD>4。=90。，K|BO|=\AD\=1.

(1)用画，而表示方；

(2)点尸在线段A8上，且AB=3/1P,求cos/PCB的值.

29.已知动圆。过定点7(2,0),且与y轴截得的弦MN长为4,设动圆圆心。的轨迹为C.

(1)求轨迹C的方程；

(2)设P(l,2),过F(l,0)作不与x轴垂直的直线/交轨迹C于A,B两点,直线PA,P8分别与直

线％=-1相交于。，E两点，以线段QE为直径的圆为G,判断点F与圆G的位置关系，并说

明理由.

30.已知向量五=(1,2),b=(cosa,sina)>设沅=3+tb(t€R).

(1)若c；,求当|而|取最小值时实数，的值；

(2)若7f_L］，问：是否存在实数f，使得向量方-石与向量布的夹角为2?若存在，求出实数，的

值；若不存在，请说明理由.

【答案与解析】

1.答案：解：(1)X?=(cosa-3,sina),=(cosa,sina—3),

••・|~KC|=J(cosa-3)2+sin2a=V10—6cosa,

I|=y/cos2a+(sina—3)2=V10—6sina,

由|前|=|BCI，得sina=cosa.

Xvae(py),

57r

•••«=-

⑵由z?,近=-1,

得(cosa—3)cosa+sina^sina—3)=-1,

・•・sina+cosa=|，①

又2sin2a+sin2a

1+tana

2sina(sina+cosa)

sina

十cosa

=2sinacosa,

由①式两边平方，得1+2sinacosa=

・•・2rsi.nacosa=——5,

9

.2sinza+sin2a_5

1+tana9，

解析：本题考查了向量的数量积公式和三角函数的化简求值的综合运用，属中档题.

(1)由|而|=|BC|.得sina=cosa.然后根据角的范围得到角的值；

(2)由彳？•近=-1,得(COSQ—3)cosa+sina(sina-3)=—1,W^sina+cosa=|,化简已知关系

式，得到结论.

2.答案：解：(1)因为Q•sinA+a-sinC・cosB+b・sinC•cosA=b•sinB+c•sin4

所以根据正弦定理，得M+ac-cosB+be-cosA=炉+ac,

根据余弦定理，得Q2+ac-M+c2f2+灰•"+c-a?=y+QC,

2ac2bc

即M-Fc2—Z?2=ac,

根据余弦定理，得COSB=M+c-bZ=丝=1

2ac2ac2

因为86(0,7T),所以B:;:

(2)由余弦定理,得b?=a2+c2—2ac•cosB,

所以54=Q2+18—3V^Q,即Q2-3&Q-36=0,

所以(a-6V2)(a+3&)=0.

因为a>0,所以a=6a,

因为前=AD-AB=|荏+^AC-AB

=1AC-^AB=^(AC-AB)=IBC,

所以BD=河=2V2,

所以△4BD的面积为。B.BD-sinB=ix3V2x2V2x—=373.

222

解析：此题主要考查了正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式，涉及到向量的基本运算，是一

个中档题.

(1)由。•sinA+a•sinC•cosB+b•sinC-cosA=b•sinB+c•sinA,根据正弦定理可得M+ac-

cosB+be-cosA=b2+ac,整理得小+c2—b2=ac,再结合余弦定理即可求解；

(2)由余弦定理得〃=Q2+一2知•cosB,再结合(1)即可求出Q=再由同=|荏+：而可

得前=：前,即8。=：8。=2鱼，再利用三角形的面积即可求解此题.

3.答案：解：(1)设向量不与方的夹角为氏

因为(五一］)J.方，所以位一尤)•万=0=方•五=方2=1，

所以3。=晶=今又。10,可，•••0=P

(2)|2a-K|=^4a2-4a-b+b=V4-4+2=V2

解析：本题考查了向量的夹角和向量的数量积以及向量的模，是一般题.

(1)先根据已知算出向量的数量积，再根据夹角公式得出答案.

(2)直接根据向量数量积的运算性质可以得出答案.

4.答案：解:⑴•一点斜坐标为(2,-2),

:.0P=2可一2可.

•••\0P\2=(2瓦一2电尸

=8-85•石=8-8xcos60°=4.

|研=2,即|0P|=2.

(2)依题意，三角形的内角44为荏，前的夹角，

又而=(3,-2),尼=(2,1),

所以荏=3瓦(-2葭，正=2前+石，

所以-相/_(3可-2酝)42」+或

和以COSA-丽询-|3万-2对二+可

,—>2c—>2—♦—»

_6_292一0•

小瓦2+4筱2-12冤也•宙2+苗2+4瓦总

=匕|=匕N.AJO,7rL

V7XV72

所以乙A-.

解析：本题考查斜率的儿何运用，考查斜率的数量积运算，属中档题.

(1)依题意，赤=2百一2或，二|而『=(2瓦•一2电)2,计算即可.

(2)依题意，三角形的内角乙4为四，灰的夹角，求得荏=35一2函，前=2百+五,

AB'AC_（3久—2^）,（2瓦+与）

根据cosZ=求解即可.

|同H而|一|3瓦-2司12可+可

5.答案：解：(1)v0A=a>OB=b,设OM=%^+yb，

..>..-»，一“一»>>>>一一”—>.—>

・•・AM=OM-OA=(x-1)OA-i-yOB=(x-1)a4-yb,

AD=OD-OA=-a+-2b.

"A,M,。三点共线，

AM,力共线，从而1(x-l)=-y.①

又丽=0M-OB=xOA+(y-1)OB=xa+(y-

~BC=0C-OB=-a-b,

3

即C,M,B三点共线，

.♦.丽，前共线，

1)=-x.②

(x=*

联立①②解得11

故而=［五+|反

(2)1•-0E=pa<OF=qb，

••-OM-OE=+|K-pa=(|—p)a+|h,

EF=OF-OE=qb-pa^

■■­'EM，前共线，

•••(1-P)<7=一|p即/g=pq.

故:i+-=5.

pq

解析：本题考查平面向量的基本定理，向量的加减法以及向量的数乘运算，向量共线的充要条件，

属于中档题.

(1)设丽=x^+yE，利用向量的减法法则得祠=(比一1)五+yE，同=一五+9江结合祠，南共

线得到关于x,y的方程：|(x-l)=-y,同理得久y-l)=-x联立求解即可得到结论.

(2)应用题中条件结合(1)中结论得的=0^-0£=(1-p)a+|b,EF=OF-OE=qb-pa.

结合由，前共线得©-p)q=-|p，整理即可得到欲证结论.

=|国-固|需=2|研2=18,

6.答案：解：(1)取•而=麻||/|cosNPAC

解得1万；1

⑵•.•瓦心工43+"而5五豆+2次，且B,P,0三点共线，

:"x+2y—1①，

又•.|工8七6,!而|=8,N"AC=；,

前=|码中网cusNBAC=6x4xc<»g=12,

由AP_LBD可知~AP-豆3=(工方+2y市5)(而一瓦)=0，

展开化简得到V3,②，

1Qx1

联立①②解得/_，!尸二，故3.

11y*>

解析：本题主要考查了向量的几何运用，向量的数量积，平面向量的基本定理及其应用，向量的加

法、减法、数乘运算，考查学生的计算能力和推理能力，属于中档题.

⑴根据题意可知取•而=|#H而18sLPAC=I型H而I四=2|取『，从而即可求得AP

即|

的长.

(2)由而且B,P,。三点共线可知x+2y=l,再根据APJ_BD和元力加=12可得

y：5,从而即可求得歹的值.

7.答案：解:ve1+e2=(l,l),3竟+2&=(3,2).

根据题意，画出P,。的运动示意图，如图所示.

依题意，用=t(部+祕)=标=t(3/+2电=(3t,2t).•••丽=(-1,-3),

••.丽=限一解=福+砌一电=(3t-l,2t-3)-(t,t)=(2t-l,t-3).

•.用_LRQ；，:.可位同=0,即1-2£+9-3£=0,解得t=2,

；.当所1PoQ；时,所需的时间为2s.

解析：本题考查平面向量的加法与减法运算法则以及坐标运算，向量共线与垂直的性质，还考查平

面向量的物理意义，属基础题.

依题意，利用向量共线求出用=t(前+孩)=硒=t(3瓦+2筱)=(3t,2t),根据向量加

法、减法运算法则，求出血的坐标，最后利用向量垂直的充要条件即可求出f.

8.答案：解：(1)因为(2-石)_LE所以(五一至)W=0=九日=片=1，

o7•'a\/2TT

所以向量方与的夹角…=忖鬲=y今瞑4，

向量方在向量行方向上的投影为普=1,

4a2—4a-b+b—44—4+2-V2;

(3)因为工〃d，所以口=)d，所以3方+5b=A(ma—3b)，

所以说驾I,解得吁.

解析：【试题剖析】

【试题解析】

本题主要考查向量投影，平行向量，向量垂直等基本概念，属于中档题.

(1)由伍-石)1方求出两向量的夹角，再由投影定义可得；

(2)利用公式整=@2可求得向量的模；

(3)利用向共线定理，即若方〃B，则存在实数九使得万=4石成立，由此利用向量相等可得参数值.

9.答案：解：R4=0A-OB=a-b\

11

：.OM=OB+'BM=OB+-BC=OB+-BA

36

=h4--(a—b)=-a+-h；

666

又0^=a+b>

.-.ON=OC+CN=-OD+-OD=-OD=-a+-b；

26333

.-.MN=0N-OM=-a+-b--a--b=-a--b.

336626

解析：本题考查向量加法、减法，以及数乘的几何意义和运算，向量加法的平行四边形法则，属于

基础题.

根据向量加法、减法，及数乘的几何意义及其运算，以及向量加法的平行四边形法则，即可表示出

OM,ON,MN.

10.答案：解：(1)设。(x,y),

由AB=CD得:(2,-2)—(1,3)=(x,y)—(4,—1)»

则(1,-5)=(x-4,y+l),

所以解得1；二6.

所以点D的坐标为(5,-6).

(2)因为方=荏=(2,—2)-(1,3)=(1,-5)，b=BC=(4,-1)-(2,-2)=(2,1)，

所以k为一B=fc(l,-5)-(2,1)=*一2,一5卜一1)，a+3b=(1,-5)+3(2,1)=(7,-2).

由kZ-9与1+33平行，得：(k-2)x(-2)一(—5k—l)x7=0,

所以k=/

解析：本题考查平面向量的坐标运算，考查向量的加法、减法、数乘运算，考查平面向量共线的条

件，属于中档题.

(1)由条件可得=(%-4,y+1),求得x,y,即可得解；

(2)分别求出卜日一日与&+33,根据平面向量共线的充要条件得到(k-2)x(-2)-(-5/c-1)X7=

0,进而得解.

11.答案：解：(1);3方+4而+5无=6，.・.3市+4南=-5沉，

即(3瓦?+4OB)2=(-5OC)2,

因此9成2+24E•丽+16丽之=25OC2-

又TdABC内接于以。为圆心，1为半径的圆，

|OA|=|OB|=|OC|=1>即。4,=08=OC=1,

因此刃•砺=0.

由3万5+4赤+5芯=6得3a+5芯=-4而，

同理可得：OC-OA=-l.

由3市+4而+5元=6得4而+5沆-3市，

同理可得：OB-OC=—g.

因此数量积刀•南、布•能分别为0、-|.

(2)1­•S^ABC=S40AB+S^OBC+SAO4c

=^\OA\-\OB\-smZ-AOB4-i|0S|•|0C|sin/BOC+^\OC\-\OA\-sin〃OC,

而\=\OB\=\OC\=1，

S^ABC—3(sinA4OB+sinzBOC+sinz_AOC).

由(1)知：M-OB=\OA\-\OB\-cos^AOB=cos^AOB=0，

因此sin乙4OB=1.

由(1)知：OC-OA=\OC\\OA\-cos^AOC=cosUOC=-|,

因此sin/AOC=

由(1)知：OB-OC=\OB\-\OC\-cos乙BOC=cos乙BOC=

因此sin/BOC=|.

综上所述,S—BC=+*+§=|-

解析：本题考查了同角三角函数的基本关系，相反向量的概念，向量的数量积和三角形的面积公式，

属于中档题.

(1)由3而+4加+5岳=6，利用相反向量的概念得3成+4而=-5元，再利用向量的数量积

把等式两边平方，结合题目条件即可求得65•胡，同理求出丽和元•加.

(2)利用(1)的结论，结合向量的数量积得cosNAOB、COSNAOC和COSNBOC,再利用同角三角函数的

基本关系得sin/AOB、sin/AOC和sin/BOC,再将三角形面积分成三个小三角形面积和，利用三角形

的面积公式求出各个三角形的面积，从而得结论.

12.答案：解：(1)在AABC中，AM=1AB+^AC,

^4AM-3AB-AC=0,

得3(祠一南)=正一AM，

得3前=祝，

即点M为线段8C上的靠近8的四等分点，

=

S—BM：S〉ABCBM:BC=1:4f

•••△48”与^ABC的面积之比为;；

4

(2)-：AM=^AB+^AC,AP=xAB+yAC(_x,ye/?)-AP//AM)

•••设而=X宿=叁荏+4就=刎前+人近，

4424

•.•三点N、P、C共线，

..丹+：=1,解得;1=<

247

4

■-x+y=-.

解析：本题考查了向量的线性运算，平面向量的基本定理，属于中档题.

(1)由宿=|荏+；正，可得3丽=雨，即点M为线段BC上的靠近B的四等分点，即可得解;

(2)由而〃前，则可设方=4宿=?南+：前=日而+(近，则可解出4=%据此可得答案.

13.答案：解：(1)[五+2]|=

|a|2+4|a||b|cos450+4|b|2

=72+4+4=VTo>

\a+2b\=V10:

(2)v(2五一4为与(4方一3为的夹角是锐角，

(2a-Ab).(Aa-3h)>0.且(2日一；1方)与(％五一3石)不能同向共线，

A2-7A+6<0,且2日一4石力k(2五一33)，k>0,

1<A<或#<A<6.

故实数2的取值范围是(1,乃)U(V6,6).

解析：本题考查了向量的数量积，向量的夹角以及向量的模，难度一般.

(1)根据向量的模的平方等于向量的平方求解即可；

⑵向量(2五一/lK)与(2五一3方)的夹角是锐角，则(2万一石).(4五一3尤)>0且(2热_而与前一

3办不能同向共线，列出不等式组则答案可得.

14.答案：解：⑴•••丽=2同，CE=2EB.

屁=而+屁=|而+河=萍+浑-萍=：凝+荏)；

(2)-：AB=2,AC=3,Z.BAC=60°,

•••AB-AC=2x3x5=3,

2

・•.AE=ADDE=-AB+^Q4C+AB)=-AC+々AB,

33'J33

121__»1__221

：.AE~DE=(-AC+-7^)--(AC+^)=-AC>2+-AC-AB

333993

，

=-1x96+-2x4.+.-1x3r=—26.

9939

解析：本题考查平面向量的线性运算以及数量积的运算，属于中档题.

(1)根据丽=2近，CE=2EB,通过向量的加、法、数乘运算，即可得到答案；

(2)先得到荏=AD+~DE=1AB+1(AC+AB)=IAC+1通，再通过平面向量的数量积运算即可

得到所求.

15.答案：解：/(%)=2(sinxcosx—mcos2%)4-m=sin2x-m(2cos2%-1)=sin2x-mcos2x,

(1)vm=1,・•・/(%)=sin2x—cos2x=V2sin(2x—§,

由:+2/CTTW2%—：<；+2/CTT,kEZ,得;+k?iWx4；+kn,kEZ.

24288

•••函数/'(X)的单调减区间为保+k兀署+kn](keZ).

(2)当??1=遮时，可知/(x)=sin2x-Bcos2x=2sin(2x—

将/(x)的图象向左平移着个单位长度后得到的图象对应的函数为g(x)=fQ+与=2sin(2x-=).

当女[。用时，2W，卦

当2%_、=一?即％=0时,g(x)取最小值一1；

当2一k(即x话时，g(x)取最大值2.

解析：本题考查三角恒等变换及函数y=4sin(3x+s)的图象与性质，属于中档题.

(1)利用三角恒等变换化简可得函数解析式，利用三角函数的性质即可得函数f(x)的单调减区间；

(2)当血=旧时，可得/Q)=2sin(2x-)，求出平移后的函数g(x)的解析式，利用三角函数的性质

即可得函数g(x)在区间[0用上的最值.

16.答案：解：(1)不妨假设|方|=|29-初=t，五与石夹角为。,

左端平方可得日不=空出，

4

贝心5。=熟=宇

=*+》＞多

当且仅当t=当即|方|=?取等号，

所以。€[0,勺.

O

(〃)利用三角函数的有界性或向量不等式，设立与方夹角为。，

\b\=|23一五|平方得,

3b-4|K|cos04-1=0»

即3天一4|9|+140，

1—>

解析：本题主要考查了向量的夹角，向量的模，向量的数量积，基本不等式，属于中档题.

(/)不妨假设同=|21—司=t,左端平方可得五•E="4+1，即8so=扁a=笠匚=；(3t+令，利

用基本不等式可得结果.

(〃)利用三角函数的有界性或向量不等式,先把同=\2b-司两边平方,得3^-4|b|cos6+1=0得

3T—4同+140,解得结果即可.

17.答案：解：(1)建立平面直角坐标系，如图所示；

V

则4(0,0),8(0,2),C(6,0),0(3,0)

当4=：时，BE=^BC,E是BC的中点，

所以E(3,l),BD=(3,-2).AC=(6,0).AE=(3,1);

又4E=xBD+yAC<

所以(3,1)=x(3,-2)+y(6,0)=(3x+6y,-2x)

哨:r=3,

解得x=-1,y=l；

(2)设点E(x,y),则荏=(x,y)；

当4EJ.BD时，AE-'BD=0,

即3x—2y=0①；

又丽=(x,y-2)

BC=(6,-2).且而与前共线，

所以一2x-6(y—2)=0(2);

由①②组成方程组，解得x=与y=*

所以而=(',一$,

所以说=看近，

即；I的值为会

解析：本题考查了平面向量的应用问题，也考查了用向量法解答三角形的有关问题，是综合性题目.

(1)建立平面直角坐标系，表示出向量前、前和荏，利用平面向量的坐标表示和向量相等列出方程

组，即可求出x和y的

值；

(2)设出点E(x,y),利用4E18。时荏.丽=0，和丽与灰共线，列出方程组，解方程组求出点E

的坐标，即可求出;I的

值.

18.答案：解：(1)由题意知，A是BC的中点，且说=|而，

由平行四边形法则，得赤+0C=20A>

.-.oc=20A-0B=2a-b>

,,__>2_5->

DC=OC-OD=(2a-b>)--b=2a--b;

(2)由题意知，EC//~DC,故设m=x反，

而OE—AOA

■■.EC=OC-OE=(2a-b)-Aa=(<2-A')a-b，DC=2a-^b,

(2-A)a-h=x(2a-|K),

(2—A=2x,(x=

因为力与石不共线，由平面向量基本定理，得1_1=_三万解得

故

解析：本题主要考查向量的基本定理的应用，根据向量平行四边形法则和向量共线的条件是解决本

题的关键.

(1)根据平行四边形的法则结合向量的基本定理即可用用力，7表示向量箕，~DC.

(2)题意知，EC//DC，故设前=%比，而赤=2成，建立方程关系，根据五与石不共线和平面向

量的基本定理，求实数4的值.

19.答案：解：(1)是边8C上一点，DC=2BD,：.面=逆,

XvAB-a>~AC=b>BC=b-a>

AD-AB+BD=AB4--BC

=a+1(K-a)=|a+|K；

(2)由(1)知，而=I五+笆,

则线段AD的长度为即+狎=器五+的2

=|a|2+|b|2+2x|x||a|•|K|cosl20°=

解析：本题考查向量的数量积、向量的加减法以及数乘运算，属于中档题.

(1)根据题意得8。=18C,由向量的减法法则得BC=b—五，从而可得/0=4B+=|五+18；

(2)利用而=|弓+沿线段AD的长度为依+狎即可得结果.

BD48

.答案：解：⑴在AABD中,

20s\nz.BADsim-BDA1

所以碗4"4=若=争

因为6(0,兀)，所以4804=芸或4BZM=以

当时，4B=3,所以“=三

363

当NBO4=g时，48=^(舍),

所以“=全

(2)因为4B=gB。，CD=2BD,所以AB=/8C，AC=^BC,

----->>>>1>>1>--—,>2>1>

AD=ABBD=AB^--BC=AB+-(AC-AB)=-AB+-AC,

33'733

所以心=例”+例02,

・・.16=ixiBC24-ix-j5C2,

9393

所以BC=6VLAB=2显,AC=4V3>

S&ABC=\ABAC=lx2V6x4V3=12V2.

解析：本题考查了正弦定理，向量的加法、减法、数乘运算，向量的数量积，以及解三角形的问题,

属于中档题.

(1)根据正弦定理求出sin/BZM=当，再结合题意讨论即可求出；

(2)根据向量的线性运算得到而=|四+：正，结合模的计算两边平方，可求出8C,AB=2屏,

AC=4V3,再由三角形的面积公式可得.

21.答案：解：(1)由三角函数的定义得，sina=泉sin。=器.

由角a、/?的终边分别在第一和第二象限，得cosa=|,cos£=-V，

所以sin(a+/?)=sinacos/?+cosasin/?=~；

65

(2)|AB|=\OB-OA\,

22

^\OB-OA\2=0B+0A-20A-OB=2-20A-OB

根据|荏|=三，即可得2-2瓦？•丽=2,解得或•而=一士

248

\OA+2OB\2=0A+4OB+4。4•OB=5-

故向+2两=—.

解析：本题考查三角函数的定义和两角和的正弦公式以及向量数量积运算以及向量求模，属于中档

题.

(1)由A,B两点的纵坐标分别为得疝in*sin3,由图和三角函数定义即可求esc?；

(2)|荏|=\OB-OA\,根据|荏|=狎可求解刀•布=-5.然后可求解|瓦？+23回的值.

22.答案：解：(I)由己知^BAC:

得：瓦QKb

由司=(-3,—3),谶=(一2—20»仇3—国闻)

得：-C3=6+6co«0-9+6sin0=0»故sine+cos°=i

i3

故1+2siiWcosO==>2sin0co«0-,

14

(cos0—=1-2sin0cos0=-

又。为第二象限角，

故cow。—sinO=

2

(n)由8=今,知C点坐标是C(0,—2),

由而=4•荏=(3尢32),

CD=CA+AD=(SA-2,3A+5)

得：闻|=J(32—21+(3X+5尸=V18A12+18A+29=J18(2+1)2+y

故当；1=一：时，|而|取最小值：声.

17

解析：(I)利用三角恒等变形得sin。+0080=-,(co«0一siM)2=1_2sh>0cos0=-,进而求解即

可；

(11)由。=某知C点坐标是C(0,-2),所以方=襦+而=(3"2,32+5)，然后求解.

23.答案：解：(1)A4BC中，CA=1,CB=2,44cB=60。，

由余弦定理得，

止=CA2+CB2-2CA-CB-cosNACB

=124-22-2xlx2xcos60°

=3.

AB=V3，BP|AB|=V3;

(2)①;l=3寸，AD=^AB,BE=^BC,

.••D、E分别是AB,CB的中点，

AE——AC+CE———CAH—CB，

2

例

1函

+

=-

2

1―>21—>—>1―>2

=--CA--CB-CA+-CB

244

1o11

=--xl2--x2xlxCOS600+-x22

244

_i

二7；

②假设存在非零实数九使得荏，而，

由方=4荏，得前=2(而一5)，

：.CD=CA+AD=CA+A(CB-CA)

=ACF+(1-A)M;

又丽=4就，

■■■AE=AB+'BE=(CB-CA)+A(-CF)

22

.-.AE-CD=A(1-A)CB-ACB-CA+(1-A~)2CB-CA-(1-A)CA，

=44(1-A)-A+(1-A)2-(1-A)

=-3A2+2A=0,

解得;l=|或；I=0(不合题意，舍去)；

即存在非零实数4=|,使得荏1而.

解析：本题考查了平面向量的线性表示与数量积的应用问题，也考查了余弦定理的应用问题，是综

合性题目.

(1)利用余弦定理求出AB的长即得|AB\;

(2)①4=泄，D、E分别是42,CB的中点，求出荏、前的数量积即可；

②假设存在非零实数人使得荏1前，利用而、襦分别表示出前和荏，求出荏•而=0时的4值

即可.

24.答案：解：(1)因为/(久)=五7代入向量五=(2Wsine+x),cose+x)),

向量石-(cos©-x),2cos-%)),

结合诱导公式及正余弦的二倍角公式化简可得

/(x)=2-/3sin2(^+x)+2sin(g+%)cos(g+%)

444

所以f(%)=A/3[1—cos+2%)]+sin(]+2%)

=V3sin2x+cos2%+V3

n

=2sin(2%+5)+遮

函数/(x)的单调递增区间满足-J+2krr42x+，4：+2k;r,

解得一1+kb《x&I+k?r

36

所以函数/(X)的单调递增区间为-：+kk.：+k#(keZ)

Jo

令2x+?=k兀，解得％=一：^+9，

o122

则对称中心(一记H——./i)(keZ)；

(2)/(/l)=V3+1.得sin(24+》=%

则24+3弓,

oo

n

-'-A=3

X|BC|=\AC-AB\=3①，

BC上的中线长为3,则|而+荏|=6②

由①②知：AB-AC=^

即|丽|•|亚|cos9=*，

所以|布|,|亚|=也

=,筋I•|充!sin三=；

⑶由题意将函数f(x)的图像向左平移，、长度单位可得2sin[2(X+》+"+8=2sin(2x+^)+

A/3=2cos2x+遮，

向下平移8个长度单位，可得2cos2%,

再横坐标不变，纵坐标缩短为原来的：后得到函数g"),则g(x)=cos2x,

则九(%)=g(%)—42cosx=2cos2%—471cosx—1,

所以h(x)=2(cosx-A)2-1-2A2,cosxe[0,1],

①当ova<1时，当cos%=a时，九（X）有最小值-i-2%=—I，解得a=

②当1时，当cosx=l时，/i(x)有最小值1-44=—|,解得;1=口舍去)，

乙O

综上可得;I=1.

解析：本题主要考查平面向量的数量积，诱导公式，二倍角公式，函数丫=4$也(3%+欠)的图像与

性质.

(1)利用平面向量的数量积，诱导公式，二倍角公式，可得函数y=4sin3x+w)的图像与性质；

(2)利用平面向量的数量积，即可得三角形的面积；

(3)利用函数丫=4$而(3尤+9)的平移规律，利用分类讨论，二次函数的性质，余弦函数的图像与性

质，即可得.

25.答案：解：(1);。是边上一点，DC=2BD,•••丽=萍,

又AB=落AC=b>BC=b-a>

••AD-AB+BD——AB-}■—BC

=a+^(b-a)=|a+|K；

(2)由(1)知，AD=la+^b,

则线段AD的长度为总+|K|=J(|五+割2

=Jg同2+3同2+2X|X]同.同COS120。=苧.

解析：本题考查向量的数量积、向量的加减法以及数乘运算，属于中档题.

(1)根据题意得BO=[BC,由向量的减法法则得豆？=/?—五，从而可得4。=+1b；

(2)利用而=|五+广，线段A。的长度为总+狎即可得结果.

26.答案：解：(l)va//b,A3x-36=0.A