sx高中数学概念总结

高中数学概念总结

一、函数

1、若集合A中有n（〃eN）个元素，则集合A的所有不同的子集个数为

2：,所有非空真子集的个数是2"-2。

二次函数y=a/+bx+c的图象的对称轴方程是x=--,顶点坐

'b4-cic—）

标是上,。用待定系数法求二次函数的解析式时，解

、2a4a]

析式的设法有三种形式，即f（x）=ax2+bx+c（一般式），

/（%）=。（工一七）・（工一人2）（零点式）和/（尤）=a（x-m）2+〃

（顶点式）。

m

2、基函数y=x^,当n为正奇数，m为正偶数，m<n时，其大致图象

是

3、函数y=一5%+6|的大致图象是

由图象知，函数的值域是［0,+8),单调递增区间是

［2,2.5］和［3,+8),单调递减区间是(—8,2］和［2.5,3］。

二、三角函数

1、以角a的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴建立直角坐标系，在角

a的终边上任取一个异于原点的点P(x,y),点P到原点的距离记为

„„.yxyxrr

r,则sina=—,cosa=—，tga=—,ctga=—,seca=—,esca=一。

rrxyxy

2、同角三角函数的关系中，平方关系是：siZa+cos2a=1,

\Jrtg2a=sec2a,1+ctg2a=esc2a；

倒数关系是：tga-ctga=1,sinacsca=1,cosaseca=1；

sinacosa

相除关系是:tga=ctga二-o

cosasina

3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限。如：

.3TT、/15乃、._.

sin(Z----a)=-CQS6Z,ctg(-----a)=tga,tg(37r-a)=-tgao

4、函数y=Asin(口x+夕)+6(其中A>0,°>0)的最大值是

A+B,最小值是周期是7=上，频率是/=乌，相位

CD27r

是COX+(p,初相是0；其图象的对称轴是直线

7T

8X+(P=k兀+3(k£Z),凡是该图象与直线y=8的交点都是该

图象的对称中心。

5、三角函数的单调区间：

7T7T

y=sinx的递增区间是2k兀一士,2k兀+上(keZ),递减区间是

22.

TT37r

2k兀+—,2k兀+——(keZ)；y=cosx的递增区间是

22

\2k7i-7i,2k7t\(keZ),递减区间是[2攵⑦2攵〃+乃](Z£Z),y=tgx的

递增区间是卜万一^,br+]](kwZ),y=cfgx的递减区间是

(攵万，k7i+兀)(keZ)。

6^sin(a±J3)=sinacosp±cosasin°

cos(a±/?)=cosacos力干sinasinJ3

tg(a±j3)=tga±tg0

l+tgatgp

7、二倍角公式是：sin2?=2sina,cosa

cos2cif=cos2a-sin2«=2cos2a-\=\-2sin2a

2，ga

tg2(z=

1一次2a

8、三倍角公式是：sin36r=3sina-4sin'acos3a=4cos，a-3coscr

八”—口a./1-coscra./1+cosa

9、半角公式是：sin—=±J-----------cos—=±A-----------

2V22V2

a,1-cosal-cos«sina

tg——=+I-----------=------------=------------

2v1+cosasina1+cosa

IC2a

10、升幕公式是:l+cosa=2cos—1-cosa=2sin2—。

22

.1-cos2a1+cos2a

11、降幕公式是:sin-2cr=-------------cos2a-

22

△a12a「a

2tg彳I一吆一不%

12、万能公式：sina二--------cosa=------------tga=-------

12a12ai2a

l+fg万1+fgE一吆~2

13、sin(a+尸)sin(a-^)=sin2a-sin2/3，

cos(a+/?)cos(a-0)=cos2a-sin2/=cos2,一sin2ao

14、4sinasin(60°—a)sin(60°+a)=sin3a；

4cosacos(60°-a)cos(60°+a)=cos3a；

吆3g(60°-a)氏(60°+a)=，g3a。

15、ctga-tga=2ctg2a。

,oV5-1

16、sinl8°=--------o

4

17、特殊角的三角函数值:

717171兀3万

a0TC

64i2T

£V3

sina0也10-1

22

V3V22

cos。10-10

~T22

V3不存不存

tg010

。V3在在

不存V3不存

ctgaV3100

在T在

18、正弦定理是(其中R表示三角形的外接圆半径)：

工」=­=2R

sinAsinBsinC

19、由余弦定理第一形式，b2=a2+c2-2accosB

22i2

由余弦定理第二形式，cosB「+c—

2ac

20、Z\ABC的面积用S表示，外接圆半径用R表示，内切圆半径用r表

示，半周长用p表示则：

①S=1a♦h“=…;②S=‘bcsinA=…；

22

③S=2*sinAsinBsinC；④

4R

⑤S=Jp(p-a)(p-b)(p-c)；®S=pr

21、三角学中的射影定理：在4ABC中，Z?=Q・COSC+C・COSA,…

22、在^ABC中，A<Bosin4<sin6,…

23、在4ABC中：

sin(A+B)=sinCcos(A+B)=-cosCtg(A+B)=-tgC

,A+BCA+B.CA+BC

sin-------=cos-cos---------=sin一火工一二c次万

2222

tgA+tgB+tgC=tgA•tgB-tgC

24、积化和差公式：

①sina•cos°=g[sin(a+£)+sin(a—〃)],

②cosa♦sin/?=g[sin(6z+/)-sin(a-/?)],

③cosa•cos0=3[cos(«+£)+cos(a一夕)],

④sina・sin〃=-g[cos(a+夕)-cos(a-0)1。

25、和差化积公式：

yx-V

(Dsinx+siny=2sin-----COS----

22

x+y・

(2)sinx-siny=2cos•sinx-----y--,

22

x+y'x-y

@cosx+cosy=2cos•cos-----

22

x+y.x-y

@cosx-cosy=-2sin-------sin------

22

三、反三角函数

1、y=arcsinx的定义域是［-1,1］,值域是［―工,二］,奇函数，增函数:

22

y=arccosx的定义域是［-1,1］,值域是［0,划，非奇非偶，减函数;

y="Ogx的定义域是R,值域是（一］,］）,奇函数，增函数;

y=arccfgx的定义域是R,值域是（0,乃），非奇非偶，减函数。

2、当x£[-1,1]时,sin(arcsinx)=x,cos(arccosx)=x；

sin(arccosx)=Jl一，，cos(arcsinx)=Jl-x*2

arcsin(-x)=-arcsinx,arccos(-x)-TI-arccosx

71

arcsinx+arccosx=—

2

对任意的有：

tg(arctgx)=ctg(arcctgx)=x

arctg(-x)=-arctgx,arcctg(-x)=TT-arcctgx

71

arctgx+arcctgx=—

当xwO时，有：tg(arcctgx)=—,ctg(arctgx)=­o

xx

3、最简三角方程的解集：

\a\>1时,sin1=Q的解集为。；

\a\<1时,sinx=a的解集为卜卜=〃％+(-1)"-arcsin。,nGZ

\a\>1时,cosx=a的解集为。；

同01时,cosx=a的解集为卜卜=2〃"士arccosa,

awR,方程fgx=a的解集为+arc/ga,nGZ｝；

aeR,方程cfgx=a的解集为卜,=n7r+arcctga9nezjo

四、不等式

1、若n为正奇数，由a<b可推出a"<b"吗？（能）

若n为正偶数呢？（仅当。、人均为非负数时才能）

2、同向不等式能相减，相除吗（不能）

能相加吗？（能）

能相乘吗？（能，但有条件）

3、两个正数的均值不等式是：TnJ拓

2

三个正数的均值不等式是：-+b+->V^

3

/74-/7-L-•«*-I-/7/------------------------

n个正数的均值不等式是：-------5如?…、

n

4、两个正数a、〃的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之

间的关系是

-----1-----

ab

6、双向不等式是：|a|—回归,土4引4+例

左边在ab<0(>0)时取得等号，右边在ah>0(<0)时取得等号。

五、数列

1、等差数列的通项公式是%=%+(〃-l)d,前n项和公式是：

Sn=-----=na]+-n(n-1)d。

2、等比数列的通项公式是%=卬/1,

叫(q=1)

前n项和公式是：S“=N(1T)/

一q

3、当等比数列｛%｝的公比q满足时，limS“=S='L。•般地，

“—a\—q

如果无穷数列｛4“｝的前n项和的极限limS„存在，就把这个极限称为这

"Too

个数列的各项利(或所有项的和)，用S表示，即S=limS,,。

4、若m、n、p、qSN,且m+〃=p+q,那么：当数列｛%｝是等差数

歹U时，有am+%=4+与；当数列｛a,,｝是等比数列时，有

%%=a>露。

5、等差数列｛%｝中，若工=10,S2n=30,则S3n=62；

6、等比数列｛%｝中，若Sn=10,S2n=30,则S3n=7Q；

六、复数

1、i"怎样计算？(先求n被4除所得的余数，/&+「=〃)

2、电=__!_+立八口=一1一3j是1的两个虚立方根，并且：

122222

3312211

=ICOX=CD2CO2=CDX---=Ct)2----=CO]

幼g

CDX=co2co2=69,啰]+02=—1

3、复数集内的三角形不等式是：hl—卜2|归忆±22|《阂+%|，其中

左边在复数ZI、Z2对应的向量共线且反向(同向)时取等号,右边在

复数办、Z?对应的向量共线且同向(反向)时取等号。

4、棣莫佛定理是:1(cos6+isin6)]"=r"(cos〃6+isin/i6)("€Z)

5、若非零复数z=«cosa+isina),则z的n次方根有注个，即：

“广/2%万+。..2攵万+。、〃八「

z=vr(cos--------Fzsin-------)(%=0,1,2,・・・，〃-1)

knn

它们在复平面内对应的点在分布上有什么特殊关系？

都位于圆心在原点，半径为丘的圆上，并且把这个圆n等分。

6、若卜J=2,z2=3(cos—+zsiny)-Z],复数zi、z2对应的点分别是

A、B,则AAOB(0为坐标原点)的面积是」x2x6xsin工=36。

23

7、z-z=\z\'o

8、复平面内复数z对应的点的几个基本轨迹：

①argz=。（。为实常数）6轨迹为一条射线。

②arg（z-z0）=e（z°是复常数，，是实常数）妗轨迹为一条射线。

③上一Zo|=是正的常数）一•轨迹是――个圆。

@|z-zj=|z-z2|（^i'Z2是复常数）3轨迹是一条直线。

⑤|z-Z1|+|z-z2|=2a（zPZ2是复常数，4是正的常数）3轨

迹有三种可能情形：a）当2。〉匕一耳时，轨迹为椭圆；b）当

2a-|z,-z2\W,轨迹为一条线段；c）当2a<|zi-Z2I时，轨迹不存在。

@||z-z||-|z-z2||=2a（a是正的常数）一•轨迹有二:种可能情形：

a）当2a<,一百时，轨迹为双曲线；b）当2a=匕一时，轨迹为两

条射线；c）当2。>忆—Z2I时，轨迹不存在。

七、排列组合、二项式定理

1、加法原理、乘法原理各适用于什么情形？有什么特点？

加法分类，类类独立；乘法分步，步步相关。

»7।

2、排列数公式是：P"1=n（n-1）•••（n-m+1）=-------；

（n-m）！

排列数与组合数的关系是：P;

组合数公式是：+——©——.

1x2x•••x加加！•（九一m）l

组合数性质：c：：=c尸c：+GF=c：+i

fc；=2"rC：=〃C：1

r=0

c；+c*+c；+2+-+d

3、二项式定理：

(a+b)"=C：a"+C\an-'b+C；aS+…+C［an-rbr+-■■+C；；b"

二项展开式的通项公式：T-i=C：a"「Z<(r=0,1,2…，n)

八、解析几何

1、沙尔公式：|A同=犬8-4

2、数轴上两点间距离公式：m四=氏一4|

3、直角坐标平面内的两点间距离公式：

|《尸21=4区一》2尸+(X—乃)2

----PP

4、若点P分有向线段［P,成定比人，则入=」

'2PP2

5、若点片(阳，)\),P2(x2,y2),「(1,〉)，点「分有向线段尸［8成定比

x.WU：入=上土=口；

》2-x乃一y

1+2

若4再，必)，B(x29y2)9。(/，为)，则AABC的重心G的坐标是

X1+x2+x3M+乃+为'

337

6、求直线斜率的定义式为k=tga,两点式为k=)一月。

7、直线方程的几种形式：

点斜式：y-y0=k(x-x0),斜截式：y=kx+b

两寸点上式一：-丁--一--月--=-x---x--\-,截.品始巨t式：—xI—y=1i

a

乃一％马一匹b

一，般式：Ax+By+C=0

经过两条直线乙：AjX+Bjj4-C)=0和，2：A2x+B2y+C2=0的

=

交点的直线系方程是：A,%+y+Cj+A(A2X+B2y+C2)0

8、直线能y=k6+g/2：y=k2x+b2f则从直线Y到直线4的角

o满足：tgO=———

l+M

直线li与4的夹角。满足：tg©=------

|l+"z|

直线.AjX+Bjy+Cj=0,/2：ax+^y+C2=0,则从直线/1

到直线/,的甭e满足：tge=4当一4四

•A{A2+B[B2

4/?-4/?

直线/,与i2的夹角。满足：tge=q一」

12人向+用为

9、点2(公，打)到直线/：Ax+3)，+C=0的距离：

A/+By0+C\

商+一

10、两条平行直线/|：Ax+8y+G=0，4：Ax+5y+C2=0距离是

|C,-C2|

A-+B

11、圆的标准方程是：（x—a）2+（y—b）2=〃

圆的一一般方程是：x2+y2+Dx+Ey+F+E2-4F>0)

,圆心坐标是D-上E三

（22

思考•：方程，+y2+Dx+Ey+F=0在+E?-4F=0和

+E2-4/<0时各表示怎样的图形？

12、若A（X］，M）,8（尤2，>2），则以线段AB为直径的圆的方程是

(x-x1)(x-x2)+(y-yl)(y-y2)=0

经过两个圆

2222

x+y+D^x+Eiy+Ft=0.x+y+D2x+E2y+F2=0

的交点的圆系方程是：

2222

x+y+D^x+Ely+Fi+2(x+y+D2x+E2y+F2)=0

经过直线/：Ax+8y+C=0与圆/+/+Ox+Ey+f=0的

2

交点的圆系方程是：x+)/+Dx+Ey+F+A(Ax+By+C)=0

13、圆/+/=尸的以尸(%,打)为切点的切线方程是

xox+yoy=r

一般地，曲线Ax2+Cy2—Ox+£>+尸=0的以点P（x0,%）为切点

的切线方程是：Ax°x+C），oy—。•土?+£•2/+尸=0。例如，抛

物线/=人的以点尸（1,2）为切点的切线方程是：2y=4乂土『，即：

y=x+1。

注意：这个结论只能用来做选择题或者填空题，若是做解答题，只能按

照求切线方程的常规过程去做。

14、研究圆与直线的位置关系最常用的方法有两种，即：

①判别式法：△>（）,=0,<0,等价于直线与圆相交、相切、相离：

②考查圆心到直线的距离与半径的大小关系：距离大于半径、等于

半径、小于半径，等价于直线与圆相离、相切、相交。

15、抛物线标准方程的四种形式是：V=2px,y2=-2px,

2

x~=2py,x=-2pyo

16、抛物线/=2px的焦点坐标是：go,准线方程是：x=S

若点尸（飞,打）是抛物线丁2=2px上一点，则该点到抛物线的焦点

的距离（称为焦半径）是：过该抛物线的焦点且垂直于抛

物线对称轴的弦（称为通径）的长是：2p。

2222

17、椭圆标准方程的两种形式是：^+^=1和二+j=l

a2b2a2b2

（a>b>0）o

22

18、椭圆—+々=1（a>6>0）的焦点坐标是（±c,0）,准线方程是

a~b~

x=±,离心率是0=上，通径的长是幺。其中c2=a2—/。

caa

22

19、若点「(%,光)是椭圆彳+==1上一点，FP工是

ab.

其左、右焦点，则点P的焦半径的长是|尸周二。+用和

aex

\PF2\~~o。

2222

20、双曲线标准方程的两种形式是：「一勺=1和二—0=1

a2b2a2b2

(a>0,Z?>0)o

222

21、双曲线七=1的焦点坐标是(土c,0),准线方程是x=±M,

ab------------c

c2b2丫？

离心率是e=*,通径的长是——，渐近线方程是二-二二0。

aaab一

其中c?=a2+/°

22

22、与双曲线与-2r=1共渐近线的双曲线系方程是

a2b2

2222

5-2=/1(/170)。与双曲线「一二=1共焦点的双曲线系方

a2b2a2b2

23若直线y=履+b与圆锥曲线交于两点A(xi，yj,B(x2，y?)»则弦

长为\AB\=J(l+Y)(X|-々I；

若直线x=与圆锥曲线交于两点A(X],yi),B(X2,y2),则弦

长为|AB|=J(1+/)(.为y。

24、圆锥曲线的焦参数p的几何意义是焦点到准线的距离,对于椭圆和

双曲线都有：〃=竺。

c

25、平移坐标轴，使新坐标系的原点。'在原坐标系下的坐标是(h,k),

若点P在原坐标系下的坐标是(x,y),在新坐标系下的坐标是

(%',y'),则£二工一力，yr=y-ko

九、极坐标、参数方程

1、经过点8(%,%)的直线参数方程的一般形式是：

x=x+at口公3

°(),“是参数)。

bt

y=y0+

2、若直线/经过点鸟(Xo，yo)，倾斜角为。，则直线参数方程的标准形

x-x+tcosa.、“，

°n,。是D参数)。其中点P对应的参数t的几何

y=y+/sina

{0

意义是：有向线段解的数量。

若点Pi、P2、P是直线/上的点，它们在上述参数方程中对应的参数

分别是小J和3则：|巴巴=，一修|；当点P分有向线段

职成定比4时，r=L里匕；当点P是线段p,p2的中点时，

1+2

3、圆心在点C(a,b),半径为r的圆的参数方程是：

x=q+rcosa

（a是参数）o

y=&+rsina

3、若以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点

P的极坐标为（p,6）,直角坐标为（x,y）,则x=pcosO,

y-psind,p-yjx2+y2,tg0=—«

'x

4、经过极点，倾斜角为a的直线的极坐标方程是：6=a或。=乃+。，

经过点（a,0）,且垂直于极轴的直线的极坐标方程是：0cos6=a,

经过点（a,1）且平行于极轴的直线的极坐标方程是：0sin6=a,

经过点（Po，/）且倾斜角为a的直线的极坐标方程是：

「sin（。-a）=/J。sin（%-a）。

5、圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程是夕=广；

圆心在点（a,0）,半径为a的圆的极坐标方程是p=2acos：

圆心在点（a,y）,半径为a的圆的极坐标方程是/?=2asin6；

圆心在点（夕0，%）,半径为厂的圆的极坐标方程是

"+夕；2%0cos（。—%）=/。

6、若点M（0,用）、N（p2,%），贝1J

\MN\=yjp；+-22］夕2cos（0一2）。

十、立体几何

1、求二面角的射影公式是cos。=二，其中各个符号的含义是：S是二

S

面角的一个面内图形F的面积，S'是图形F在二面角的另一个面内的

射影，。是二面角的大小。

2、若直线/在平面。内的射影是直线直线m是平面Q内经过/的斜

足的一条直线，/与/'所成的角为仇，/'与m所成的角为为,/与m

所成的角为0，则这三个角之间的关系是cos©=cos6]-cos%。

3、体积公式：

柱体：V-S-h,圆柱体：丫=7/./；。

斜棱柱体积：-=S'•/(其中，S'是直截面面积，/是侧棱长)；

锥体：V=-Sh,圆锥体：V=-7vr2h.

33

台体：-=；./z(S+JS.S'+S'),

圆台体：V=1^z(/?2+/