高中数学平面向量的线性运算单元教学设计

平面向量的线性运算单元教学设计

一、教学内容及内容解析

1.内容

平面向量的加法运算、减法运算、数乘运算，以及它们的运算规则和几何意

义.

建议用4课时.第1课时：向量的加法；第2课时：向量的减法；第3课

时：向量的数乘运算；第4课时：共线向量与向量数乘运算的关系.

2.内容解析

本单元是在学生已经学习了平面向量概念的基础上，对平面向量这个新获得

的数学研究对象，从运算的角度进一步展开研究.我们知道实数因为有了运算,

威力无穷.类比实数的运算，借助向量的物理背景，可以定义向量的运算.

定义了平面向量加法、减法和向量数乘运算（即向量的线性运算），不仅扩

充了运算对象，使学生认识到运算的形式在不断发展，而且为向量的应用奠定了

基础，运用向量运算可以把平面图形的性质转化为向量的运算体系.如，向量的

加法用几何语言来讲就是"三角形法则"或"平行四边形法则"，向量数乘是一

类共线向量的几何特征的代数表示.共线向量定理为本章的另一个核心内容一

一平面向量基本定理奠定基础.

向量运算体系的建立也会让学生进一步体会数学内部，如代数、几何、三角

函数等知识之间的内在联系.从向量运算的角度来看，向量具有较好的代数结构:

向量及其加法运算、向量数乘运算构成向量空间.平面向量的运算对后续选择性

必修课程内容空间向量的学习具有启发性，可以类比地学习有关内容，也为学生

进入大学学习线性代数奠定基础.

本单元研究平面向量的运算时，借助物理中的有关模型或借助与数的运算的

类比，如借助位移的合成引出向量加法的三角形法则；借助与数的运算的类比,

定义向量的减法.本单元的内容蕴含了数形结合、类比、归纳、抽象等数学思想

方法，是培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等数学学科核心素

养的极好载体.

基于以上分析，可以确定本单元的教学重点是：向量的加、减运算，运算规

则及其几何意义；向量数乘运算，运算规则及其几何意义.

二、教学目标及目标解析

1.目标

(1)借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规

则，并理解其几何意义.

(2)借助实例，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义.理

解两个平面向量共线的含义.

(3)了解平面向量的线性运算的运算律和运算性质.

2.目标解析

达成目标(1)的标志是，学生能从物理中位移的合成、力的合成的具体实

例中，抽象出向量的加法法则，能类比数的减法定义向量的减法，能画图表示两

个向量加法、减法的结果.能依据向量加法的定义，并借助其几何意义探讨向量

加法的运算规则.

达成目标(2)的标志是，学生能通过具体的一类共线向量的加法，类比数

的乘法引出向量数乘的运算法则，借助有向线段表示向量数乘的几何意义.学生

能够理解：数乘向量的结果是与原向量共线的向量；反之，与一个非零向量共线

的向量可以写成是一个实数与这个非零向量的积，并且这个实数是唯一的.

达成目标(3)的标志是，学生能像了解实数的运算律一样，通过具体实例

了解向量线性运算的运算律，理解向量线性运算的一些运算性质，体会其几何意

义.

三、教学问题诊断分析

学生已经学习了数、式、集合、函数等运算，也初步体会到运算是代数研究

的重要内容，积累了一些认识某个运算体系和借助运算解决问题的经验.另外,

学生已具备了一定的观察问题、分析问题的学习习惯，以及能从简单的物理背景

及生活背景中抽象出数学概念的能力，这些都是学生学习本单元的基础.

向量与学生在物理中学习的矢量非常类似，物理中许多有关矢量的合成、分

解、力做的功等实例可以作为向量有关运算的模型，但这个从物理背景引出向量

运算的过程对学生来说仍然存在困难.特别是向量既有大小，也有方向，在向量

的线性运算中，对于方向如何参与运算，学生没有直接的经验.另外，向量的运

算性质的探究过程是类比实数的运算性质.类比数的运算，学生能够想到向量的

线性运算可能会有一些类似的运算性质，虽然名称相同，但运算的原理、方法、

运算规律都有较大的区别，学生很容易带着实数运算的思维定势来理解平面向量

运算，导致学生对向量的运算偏于形式化记忆，对于平面向量的线性运算概念、

算理的理解不深刻.再有，向量的加法的定义是用作图语言来刻画的，对直接通

过作图定义向量运算的这种处理方法，学生是第一次接触，在理解上会有一定的

困难.

向量的每一种运算都具有二重性，既表现为过程操作，又表现为一种对象、

结构.这对学生整体理解每一种向量的运算也带来一定的困难.平面向量的加法

具有丰富的物理背景，平面向量的线性运算蕴含着特定的几何意义，学生们原有

的物理学习、几何学习的差异性也会直接影响他们对向量线性运算的学习.

基于上述分析，本单元的教学难点：（1）向量加法概念的形成过程，对向

量加法法则和减法定义的理解，特别是对向量减法定义的理解；（2）对共线向

量与向量数乘运算的关系的理解；（3）实际问题转化为向量问题.

教学中，应借助位移的合成、力的合成这些物理模型定义平面向量的加法;

与数的运算类比，讨论平面向量的减法和向量数乘运算；并使学生体会向量运算

具有丰富的物理背景和几何意义，这些是突破向量运算难点的支撑条件.

四、教学支持条件

为了加强学生对向量加法、减法、向量数乘运算的直观感受，可以利用信息

技术工具，变化a,b大小或方向，作出它们的和或差；利用信息技术工具改变

实数的值，作图表示，（内力），帮助学生理解共线向量的含义.

五、课时教学设计

平面向量线性运算的教学，应在帮助学生完整地认识运算研究的脉络、落实

数学运算素养的观点下进行教学.按"情境——明确运算对象——定义运算法

则——讨论运算性质一一运算简单应用”的过程展开.

第1课时：向量的加法

（-）课时教学内容

向量的加法.

（二）课时教学目标

借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加法运算及其运算规则，并

理解其几何意义.

（三）教学重点与难点

重点：向量的加法运算、运算规则及其几何意义.

难点：向量加法概念的形成过程，对向量加法法则的理解.

（四）教学过程设计

引言：我们知道，实数有了运算，威力无穷.向量是否能像数一样进行运算

呢？人们从向量的物理背景和数的运算中得到启发，引进了向量的运算.本节我

们就来研究平面向量的运算，探索其运算性质，体会向量运算的作用.下面先学

习向量的加法.

设计意图：用具有较大的开放性和统摄性的问题开场，有利于帮助学生站在

数学知识的整体高度认识问题、思考问题，并知道探究向量的运算从哪里开始,

要到哪里去.

1.创设问题情境，明确研究对象

问题1位移、力是向量，它们可以合成.我们看看能否从位移的合成、力

的合成中得到启发引进向量的运算.我们先来看一个与位移有关的问题.

如图1,某质点M从点A经过点B到点C,质点M的位移如何表示？

师生活动：学生回忆位移的合成的有关知识，通过观察、操作、思考，回答：

质点M的两次位移刀，5C的结果与它从点A直接到点C的位移衣结果相

同.让学生体会位移的合成，是把两个向量（矢量）"合"在一起了.教师可借

机启发：这容易让我们想到向量可以这样作加法运算.点明本节课首先研究向量

的加法运算.

设计意图：启发学生由位移的合成引入向量的加法.

2.借助背景，得出概念

问题2由位移的合成，你认为如何进行两个向量的加法运算？

师生活动：学生借助位移的合成引入向量与向量之间的一种运算——向量

的加法运算.教师要关注全体学生对这个问题的理解，鼓励学生独立思考后，进

行交流.最后，教师给出向量加法的定义及向量加法的三角形法则.对于向量加

法的三角形法则，教师要关注学生对它的意义的理解，强调向量的和的方向.

设计意图：由位移的合成引入向量加法的定义及其三角形法则.

3.多角度思考，优化认知

问题3对于矢量的合成，物理学中还有其他方法吗？请看下面的问题：

如图2,在光滑的平面上，一个物体同时受到两个外力为与B的作用，你能

作出这个物体所受的合力F吗？由此你能给出向量加法的另一个法则吗？

师生活动：学生独立思考，动手操作后，小组交流，最后师生由力的合成引

入向量加法的平行四边形法则.

设计意图：继续挖掘学生头脑中的旧有认知——物理中力的合成的实例，

不仅帮助学生加深理解向量加法的定义，而且可以借助力的合成的平行四边形法

则，引入向量加法的平行四边形法则.

4.辨析两种加法法则的一致性

问题4向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗？为什么？

师生活动：学生画图探索，学生代表展示并发表见解，师生共同归纳结论：

向量加法的三角形法则和平行四边形法则本质上是一致的，解决具体的向量加法

问题时，可以有选择地使用.

设计意图：通过该问题的探讨，进一步帮助学生理解向量加法的定义和两个

加法法则，明确两个法则在本质上是一致的.

5.明确向量加法的作图方法，理解其几何意义

例1如图3,已知向量a,b,求作向量a+b.

图3“

师生活动：学生先尝试，通过独立思考和动手操作，经过同学交流，教师让

不同的学生代表展示向量加法的两个法则的作法.必要时，师生一起通过几何画

板等信息技术工具，改变向量a,b的大小和方向，求作向量a+b,教师强调向

量的和的方向，帮助学生明确向量加法的几何意义.

追问1在向量加法的作图中，你认为用三角形法则作图应注意什么？用平

行四边形法则作图呢？

师生活动：学生思考回答，教师概括：在向量加法作图时，向量起点可以在

平面上任意选取，用向量的三角形法则作图时，两个向量首尾相连；而用平行四

边形法则作图时应强调向量的起点放在一起；当两个向量共线时，采用三角形法

则作两个向量的和.

设计意图：与数的加法相比，向量的加法复杂了许多，为此，设置本例题明

确如何作出两个向量的和，进一步帮助学生理解向量加法定义、几何意义，强化

学生的作图意识，帮助学生掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.

6.联系对比，巩固新知.

问题5如图4,(1)已知向量a,b共线，它们的加法与数的加法有什么

关系？你能作出向量a+b吗？

(2)结合例1探索|a+b|,同，|b|之间的关系.

a>a>

—~」_____

।--4---------►

a+ba+b

图M

师生活动：

(1)学生自主探究，可以类比数的加法，也可以看成是三角形法则的特例，

当两个向量共线时也符合"首尾相接，首尾连"的三角形法则.必要时可以借助

多媒体手段演示作图过程，使学生有更直观的认识.

（2）学生思考、动手操作，由例1，借助三角形的性质（任意两边的和大

于第三边）容易得到，当a,b不共线时，有|a+b|<|a|+|b|成立.进一步发现，

当a,b方向相反时,|a+b|<|a|+|b|;当且仅当a,b方向相同时,|a+b|=|a|+|b|从

而有|a+b|4|a|+|b|,当且仅当a,b方向相同时等号成立.

设计意图：（1）借助特例，研究向量加法与实数加法的联系与区别，帮助

学生认识共线向量的加法也适合向量加法的三角形法则，这样，更容易与数的加

法进行类比，加强数形结合意识的培养.（2）让学生借助数形结合发现向量的

和的长度与原向量长度和的关系：|a+b|s|a|+|b|,当且仅当a,b方向相同时等

号成立.

问题6请你用文字语言、符号语言、图形语言分别描述如何求两个向量的

和.

师生活动：学生思考、交流.教师组织多个学生用三种数学语言表述如何求

向量的加法，教师关注学生对向量加法的理解，帮助学生完整准确地理解向量的

加法法则.

设计意图：促进学生多角度理解向量加法定义，教会学生理解一个数学概念

的一般方法.

7.从定义出发，研究向量加法的运算律

问题7从代数运算的角度理解，向量的加法是一种新的运算，定义了一种

新的运算，自然要研究其运算律的问题.类比数的加法的运算律，你认为向量的

加法是否也有运算律？先猜测有哪些运算律，再说明理由.

师生活动:学生自主探究，猜想并互相交流.

对于向量加法的结合律的证明，学生可能存在一定困难，需要教师引导学生

通过作图证明，并理解作图方法的多样性.借助多媒体手段，演示作图的两个路

径(实际上是质点运动选择的路径不同，异曲同工而已).

师生借助如图5(1),(2)分别证明向量加法的交换律和结合律.

(1)⑵,

图5"

设计意图：明确研究向量加法运算律的途径，并通过寻找结论成立的依据,

使学生获得研究运算律的经验，提升逻辑推理素养.

8.向量加法的简单应用

例2如图6,长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输，一艘

船从长江南岸A地出发，航行的速度的大小为15km/h,方向为垂直于对岸的

方向，同时江水的速度为向东6km/h.

(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；

(2)求船实际航行的速度的大小(保留小数点后一位)与方向(用与江水

速度间的夹角表示，精确到1。).

图6P

师生活动：学生作出几何图形，将问题转化为向量加法问题，并依据向量加

法定义及平面几何知识求解，给出解答过程和结果.这是首个将实际问题转化为

向量问题的题目，对有困难的学生，教师可以引导学生阅读题意，思考问题中有

哪些数据，能否画出图形，与所学的哪些向量知识有联系等等，并适当规范学生

的书写.

设计意图：体现向量加法在实际生活中的应用，要求学生能够把它转化为向

量的加法运算，体会其中应解决的问题是确定向量的大小及方向，发展学生解决

实际问题的能力.

9.课堂练习

教科书第10页的练习.

设计意图：通过练习及时巩固、反馈.

10.作业

习题6.2的第1,2,3题，第4题的前三小题.

（五）目标检测设计

1.下列结论一定正确的是（）.

（A）在"BC中，^B-BC+^C=O.

（B）向量a的大小为2,向量b的大小为3,则向量a+b的大小为5.

（C）ABBC-t-CA=Q

（D）|a+b|=|a|+|b|.

设计意图：考查学生对平面向量加法法则、几何意义及与数的加法的不同的

掌握情况.

2.某人在静水中游泳，速度为34km/h,水流的速度为9km/h.他沿着

垂直于对岸的方向前进，那么他实际前进的方向与河岸的夹角为度.

设计意图：考查学生将实际问题抽象为向量加法的情况.

3.一汽船从正西方向航行5km,又向正南方向航行12km,求汽船两次

位移的合位移的大小和方向（精确到1°）.

设计意图：考查学生将实际问题抽象为向量问题，并运用向量加法解决简单

地实际问题的情况.

第2课时：向量的减法

（一）课时教学内容

向量的减法.

（二）课时教学目标

借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量的减法运算及运算规则，并

理解其几何意义.

（三）教学重点与难点

重点：向量的减法运算、运算规则及其几何意义.

难点：向量减法概念的形成过程，对向量减法法则的理解.

（四）教学过程设计

引言：我们知道，数的运算中，减法是加法的逆运算，其运算法则是"减去

一个数等于加上这个数的相反数".我们能否类似地定义向量的减法呢？

1.创设问题，引入向量减法

问题1（1）类比实数X的相反数是-x,对于向量a,你能定义"相反向量”

-a吗？它有哪些性质？

（2）你认为向量的减法该怎样定义？

师生活动教师引导学生类比相反数定义相反向量，并得出相反向量的性质；

进而引导学生联想、类比数的减法的定义，积极思考、尝试构建向量的减法：

a-b=a+（-b）.

设计意图：（1）类比实数x的相反数是-x,定义相反向量，为帮助学生探

讨向量的减法法则做准备.（2）引导学生类比数的减的减法定义向量的减法.

2.动手实践，理解向量减法的几何意义

问题2已知向量a和b,a-b的几何意义是什么？

师生活动：学生自己画图、探索，小组交流，教师组织学生代表展示，讲解.

如图1,设，OB-b，历=_。,连接庆8,由向量减法的定义知，a-

b=a+(-b)=OA^OD=0C.在四边形OCAB中，OBCA,所以OCAB是

平行四边形.所以益=1="力.

最后师生共同概括向量减法的作图步骤：

如图2,已知向量a,b在平面内任取一点。作)=。，OB=b，则丽=a-J

即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.

图2。

在此过程中教师需要强调向量减法的结果的方向，明确向量减法的几何意义

追问1：(1)在图2中，如果从a的终点到b的终点作向量，那么所得向

量是什么？

(2)如果改变图2中向量a的方向，使allb,怎样作出a-b呢？

师生活动：(1)学生根据向量减法的几何意义，自己画图；(2)学生自

己画图、探索，小组交流，教师组织学生代表展示、讲解.

设计意图：让学生明确向量减法的几何意义.

3.巩固向量的减法

例3如图3(1),已知向量a,b,c,d,求作向量a-b,c-d.

师生活动：学生操作，教师引导学生明确如何作出两个向量的差.

设计意图：理解向量减法的几何意义，掌握作两个向量的差的基本方法.

例4如图4,在

2BCD中，AB=a,15，你能用明方表示向量就，丽吗？

师生活动：学生探求向量出，丽与a,b的关系，进而用a,b表示向量

飞，丽，教师关注学生能否借助向量的加、减运算用已知向量表示其他向量.

设计意图：让学生借助向量的加、减运算用已知向量表示其他向量.

4.加法、减法综合运用

问题3请回答如下问题：

若AC=a—b,DB=a-A

①当a、b满足什么条件时，a+b与ab垂直？

②当a、b满足什么条件时，|a+b|=|ab|?

③当a、b满足什么条件时，a+b平分a与b所夹的角？

④a+b与a-b可能是相等向量吗?

师生活动：学生先独立思考，并尝试回答.然后教师补充：用向量构建平行

四边形，其中向量/，历’恰为平行四边形的对角线.由平行四边形法则，得

AC^b,DB=AB-AD=a-b.由此问题就可转换为：

①当边AB、AD满足什么条件时，对角线互相垂直？（|a|=|b|）

②当边AB、AD满足什么条件时，对角线相等？（a、b互相垂直）

③当边AB、AD满足什么条件时，对角线平分内角？（a、b相等）

④a+b与a-b可能是相等向量吗?（不可能，因为对角线方向不同）

追问2:判断下列问题是否正确：

①若非零向量a与b的方向相同或相反，则a+b的方向必与a、b之一的

方向相同.

②AABC中，必有於-前一值=0.

③若刀-蓝-^=0,则A、B、C三点是一个三角形的三顶点.

(4)|a+b|>|ab|.

分析与解答：①a与b方向相同，则a+b的方向与a和b方向都相同；若

a与b方向相反，则有可能a与b互为相反向量，此时a+b=O的方向不确定,

说与a、b之一方向相同不妥.②由向量加法法，则近一於=就，就与与是互

为相反向量，所以有上述结论.③因为当A、B、C三点共线时，也有

=O，而此时构不成三角形.④当a与b不共线时，|a+b|与|a-b|

分别表示以a和b为邻边的平行四边形的两条对角线的长，其大小不定.当a、

b为非零向量共线时,同向则有|a+b|>|a-b|,异向则有|a+b|<|a-b|;当a、b

中有零向量时,|a+b|=|a-b|.综上所述，只有(2)正确.

追问3:若国=8，月=5,则时的取值范围是()

A.[3,8]B.(3,8)C.[3,13]D.(3,13)

分析与解答：反^就-迈.⑴当万、/同时寸，冈=8-5=3；(2)当

万、衣反向时，阿卜8-5=13；⑶当方、就丕共线时，3<|sc|<13,故选

C.

设计意图：让学生熟练掌握向量的加、减运算.

4.课堂练习

教科书第12页例4后练习.

设计意图：学生独立尝试，巩固向量减法的运算法则，体会向量减法与向量

加法运算之间的关系.

5.布置作业

习题6.2第4题的后四小题，第5,7题.

(五)目标检测设计

1.下列结论一定正确的是().

A.a-b=a+(-b)B.-(-a)=-aC.|a-b|=|a|-|b|D.|a+b|>|a-b|

设计意图：考查学生对相反向量，向量减法掌握的情况.

2.如图四边形ABCD为平行四边形，BA-a,BC=b.

(1)a+b=;(2)a-b=.

设计意图：考查学生对向量加、减法运算掌握的情况.

3.化简：

(1)A3-JC-BC；(2)AB-CB-DC-DE-EA

设计意图：考查学生对向量的加、减混合运算的掌握情况.

第3课时：向量的数乘运算

(一)课时教学内容

向量数乘运算及其性质.

(二)课时教学目标

借助实例分析，掌握向量的数乘运算及其性质.

(三)教学重点与难点

重点：向量的数乘运算、运算规则.

难点：对向量数乘运算的理解.

(四)教学过程设计

引言：我们知道数是可以做乘法的，平面向量既有大小，又有方向，平面向

量可以做乘法吗？它和实数可以做乘法吗？

1.创设问题，引入新知

问题1已知非零向量a，作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a),它们的长度和方

向是怎样的？

师生活动：教师组织学生画图尝试计算，并从形与数两个角度表达自己的计

算结果.教师还可以组织学生举一些类似的例子，并探究结论.如可以借助几何

画板等信息技术手段作出4a等向量，与向量a进行比较，发现它们之间的关

系.让学生初步体会对的不同值，向量〃与a之间的关系，体会这种向量运算所

蕴含的数与形的含义.最后教师引导学生类比数的乘法，给出向量数乘运算的概

念.

设计意图：类比数的加法运算，用向量加法运算法则，计算3个向量a(或

-a)的和，用简约的方式表示计算的结果，进而提出向量数乘运算的概念，发展

学生的运算素养.

2.巩固向量数乘运算的概念

问题2如果把非零向量a的长度伸长到原来的3.5倍方向不变得到向量b,

向量b该如何表示？向量a,b之间的关系怎样？

师生活动：教师组织学生自己画图，分析、表达结果：b=3.5a,b的方向

与a的方向相同，b的长度是a的长度的3.5倍.

设计意图：通过用向量a表示结果，探讨结果的长度与方向，巩固向量数乘

运算的概念.

3.探究向量数乘运算的运算律

问题3我们知道实数的乘法有很好的运算律，那么向量数乘运算有哪些运

算律呢？请你写出来并加以验证.

师生活动：学生类比数的运算律提出向量数乘运算的运算律，再借助向量数

乘运算的定义，自主验证向量数乘运算的三个运算律.对于有困难的学生可以组

间交流，教师指导.

另外，在教师引导下，将向量的加法、减法和数乘向量统称为向量的线性运

算，即定义线性运算.要给学生说明，有了向量的线性运算，平面中的点、线段

（直线）就可以得到向量表示，这就为向量法解决几何问题奠定了基础.关于向

量的线性运算的运算性质，也要让学生加以了解.

设计意图：学生类比数的运算律自行猜想出向量数乘运算的运算律，并借助

向量数乘运算的定义及其几何意义加以验证.帮助学生积累从运算的定义出发,

发现数学运算的一些性质的学习经验.

4.巩固新知

例1计算：

(l)(-3)x4a;

(2)3(a+b)-2(a-b)-a;

(3)(2a+3b-c)-(3a-2b+c).

师生活动：教师引导学生步步有据地展开运算，给出运算过程和结果.教师

必要时可以提醒学生，虽然向量的数乘运算及运算律与数的运算及运算律非常类

似，但也要注意区别，运算的结果是向量而不是数量.

设计意图:帮助学生巩固向量数乘的概念及运用向量数乘的运算律进行计算,

理解其中的算理，发展学生的数学运算素养.

例2如图1,DABCD的两条对角线相交于点"，且运=a，石=。，用a,b表示说，

诟，京和诟

图

师生活动：(1)让学生自主尝试本问题的解决，体会化归的思想方法；(2)

教师适时渗透"给定平面内任意两个不共线的向量a,b,能否用它们表示该平

面内的其他向量"的问题，培养问题意识为平面向量基本定理的教学埋下伏笔.

设计意图：巩固向量加法、减法及向量数乘运算的定义，会用两个向量表示

其他向量，渗透用向量研究几何问题的意识，为后继学习平面向量基本定理奠定

基础.

5.课堂练习

教科书第15页的练习.

设计意图：考查学生向量数乘运算及其几何意义的理解情况.

6.布置作业

习题6.2的第8题.

（五）目标检测

1.设a,b为向量，计算下列各式：

-1又6句（2）3（。-。）+（。」力

（1）23.

设计意图：考查学生对向量数乘运算及其性质的掌握情况.

2.把下列各小题中的向量b表示为实数与向量a的积：

a=-e,b=-et（2）a=2e,b=--e

（1）552

设计意图：考查学生对向量数乘运算及其性质的掌握情况.

第4课时：共线向量与向量数乘运算的关系

（-）课时教学内容

共线向量与向量数乘运算的关系.

（二）课时教学目标

掌握共线向量与向量数乘运算的关系.

(三)教学重点与难点

重点：共线向量与向量数乘运算的关系.

难点：对共线向量与向量数乘运算的关系的理解.

(四)教学过程设计

1.创设情境，探讨共线向量定理

问题1向量数乘运算具有明显的几何意义，根据向量数乘运算，你能发现

向量〃与a(a/0,，是实数)之间的位置关系吗？对于向量a,b及实数比,

(1)如果b=Za(arO)，向量a与b是否共线？

(2)如果向量b与非零向量a共线，b=z:a成立吗？

师生活动：学生独立思考的基础上，小组交流.从正反两个方面讨论共线向

量的数乘运算表达.引导学生概括共线向量定理，并关注学生对定理中有关充要

条件以及对*的唯一性的理解.这里可以借助信息技术手段加以演示,让学生直

观感知共线向量定理.最后师生共同概括出共线向量定理：

向量a(awO)与b共线的充要条件是：存在唯—个实数入，使b=Aa.

追问1：如图1,若P为AB的中点，则而与父、无的关系如何？

图

丽=1@+西

学生独立思考的基础上得到：2

设计意图:让学生通过探讨共线向量与向量数乘运算的关系得出共线向量定

理.

2.例题引领，综合运用知识

例1如图2,已知任意两个非零向量a,b,试作

OA-a-b,OB=aUb,诙=/3。.猜想A,B,C三点之间的位置关系，并证明你

的猜想.

图2。

师生活动：学生自主尝试，作图、观察，得到猜想：A,B,C三点共线.教

师可以运用多媒体手段辅助，让学生充分直观感知猜想的合理性.然后，教师引

导学生转换命题，体会判断三点之间的位置关系，主要是看这三点是否共线.由

于两点确定一条直线，如果能够判断第三点在这条直线上，那么就可以判断这三

点共线.本题中，应用向量知识判断A,B,C三点是否共线，可以通过判断向

量，衣，刀是否共线，即考虑是否存在入，使衣=2方成立.最后，师生共同

给出证明.

追问2:已知不共线向量a,b，作向量*9,你能发现向蚩a+/.2b（其中z：€R）

终点轨迹有什么规律吗？（小"+A呢？）

追问3:已知不共线向量a,b你能解释）（力，力WR）的几何意义吗？

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是

向量.

对于任意向量a,b,以及任意实数3⑷，影，恒有其出的9）=加1出"2。.

设计意图通过操作、观察，让学生掌握利用向量共线判断三点共线的方法，

提高学生综合运用向量知识解决问题的能力，发展直观想象和逻辑推理数学素养.

b-ta,-a--b

例2已知a,b是两个不共线的向量，向量22共线，求实数t

的值.

师生活动：教师引导学生阅读题意，明晰题目的条件和要求的结论.学生先

自主探究，然后交流解题思路，在学生充分讨论的基础上，教师适时介入，并概

要地说明解决问题的关键：判断两个向量共线，首先要考虑其中一个向量不为零

3

向量，可以采取反证法说明向量a-5b不为零向量（否则a,b共线），就可

以运用共线向量定理建立两个向量之间的关系，进而把这个关系转化成方程或方

程组，使问题获得解决.教学中应引导学生体会：（1）数学解题的过程本来就

是依据数学的概念、法则、定理、公式等进行命题转化的