2023苏教版新教材高中数学必修第二册同步练习-93向量基本定理及坐标表示

第9章平面向量

9.3向量基本定理及坐标表示

9.3.2向量坐标表示与运算

基础过关练

题组一向量的坐标表示

1.下列说法中正确的个数是()

①相等向量的坐标相同；

②平面上一个向量对应平面上唯一的坐标；

③一个坐标对应唯一的一个向量；

④平面上一个点与以原点为起点，该点为终点的向量---对应.

A.lB.2C.3D.4

2.已知荏=(-2,4),则下面说法正确的是()

A.点A的坐标是(-2,4)

B.点3的坐标是(-2,4)

C.当点B是原点时，点A的坐标是(-2,4)

D.当点A是原点时，点B的坐标是G2,4)

题组二向量加减运算的坐标表示

3.如果用ij分别表示％轴和y轴正方向上的单位向量，且4(2,3),8(4,2),则而=

()

A.2z+3jB.4Z+2/C.2i-jD.-2i+j

4.(2021江苏泰州中学月考)若向量而=(2,3),前=(-4,-7),则近=()

A.(-2,-4)B.(2,4)C.(6,10)D.(-6,-10)

5.(2021江苏常州横林高级中学月考)已知点A(2,l),S(23),0为坐标原点，且

OA=BC,则点C的坐标为.

6.如图，在平面直角坐标系xOy

中,。4=4,43=3,乙4。¥=45。,/043=105。,市=a,而=匕,四边形0A3C为平行四边形.

⑴求向量。力的坐标；，

(2)求向量瓦?的坐标；A

(3)求点B的坐标.KosXj

0\x

题组三向量数乘的坐标表示

7.(2021江苏石榴高级中学月考)已知向量”=(-1,2)力=(1,0),那么向量3b-a的坐标

是()

A.(-4,2)B.(-4,-2)

C.(4,2)D.(4,-2)

8.已知向量Q=(1,2)力=(2,3),c=(3,4),则用a,b表示c为()

A.c=a+bB.c=a+2h

C.c=-a+2bT).c=a-2b

9.(2021江苏丁沟中学月考)在平面直角坐标系中，已知外(-1,1),尸2(1,3),点尸满足

叼=3呢，则点P的坐标为.

题组四向量数量积的坐标表示

10.(2022江苏常州第三中学月考)设向量。=(2,-1),向量h=(-3,1),向量c=(l,-2),则

向量(。+2。)七=()

A.-2B.lC.-6D.-7

n.已知⑷=1力二(0,2)必乃=1,则向量。与人的夹角为()

B5C.2D,2

12.(2022北京房山中学阶段测试)若4=(%,2)力=(-3,5),且a与b的夹角是钝角，则实

数x的取值范围是()

A.(—8号)B.(—8期

C©,+8)D.*+8)

13.(2022江苏南通海门证大中学期中)平面向量。与。的夹角为初=(2,0),以=1,则

1。+2切=()

A.2V3B.2V2C.4D.V10

14.已知平面向量。=(2,"2)力=(1,-鱼),且|2。-例=|2。+",贝匹。+勿=.

15.(2022四川绵阳科学城一中阶段测试)在平面直角坐标系xOy中,已知点4(1「

2),B(2,3),C(-2,-l).

⑴求以为邻边的平行四边形的两条对角线的长；

⑵设实数，满足(而-妩)•反=0,求t的值.

题组五向量垂直的坐标表示

16.(2021山东莱西一中期中)已知向量。=(1,2)力=(1,1),若c=a+妨，且b_Lc,则实数

仁()

A.|B,-|C,|D,-|

17.(2021江苏连云港海头高级中学月考)已知向量Q=(-1,2),0=(X,4),且则以=

()

A.2V5B.4V3C.4V5D.8

18.已知4石,。是坐标平面上的三点,且4(1,2),8(4』),。(0,-1),则443。的形状

为.

19.(2022江苏张家港塘桥高级中学期中)在^ABC中，国|=2,点A(l,l).

(1)若C(2,0),且以A5c为顶点能构成直角三角形，求点B的坐标；

⑵在％轴上是否存在点8,C,满足荏•前=0?若存在，求出点民。的坐标;若不存在，

请说明理由.

能力提升练

题组一向量线性运算的坐标表示

1.(2021江西师大附中期末)已知4(-2,2),3(3,-3),。(-3,-1),且加=2讥而三丽,则丽=

()

A.(-4,2)B.(4,-2)

C.(-l,7)D.(l,-7)

2.(2020江苏苏北四市期末)已知点42,3),3(5,4),。(7,10),若丽=荏+义前。£1<),当点

P在第一、三象限的角平分线上时久的值为()

A.lB.2C.-3D.-2

3.将一圆周的六个等分点分成两组相间的三点，它们所构成的两个正三角形去掉

内部六条线段后可以形成一个正六角星,如图所示的正六角星以原点。为中心，

若将以O为起点，正六角星的12个顶点为终点的有向线段所表示

的向量都写为b的形式，则的最大值为()

A.2B.3C.4D.5

4.(2020江苏苏州期末)如图，在直角梯形ABCQ

中A8〃00,/。48=90。4。=43=4,。=1,动点/>在3。上,且满足

而=祖而+”而(如〃均为正数)，则的最小值为()

A.1B?C.-|D苧

题组二向量数量积的坐标表示及其应用

5.(2022重庆巴蜀中学期中)在^ABC中,AB=5,AC=4,NBAC=60。,。为BC的中点,

点E满足荏=4丽,CE与AO交于点尸，则cosNQPE=()

A.-B.图C.旦D.上

512248225

6.(2022吉林东北师大附中期中)在菱形ASCQ中,AB=AC=2,点P在菱形A3CQ

所在平面内，当(丙+而)•元取得最小值时,|丽仁()

A.V3B.更C.且D.V7

32

7.(2020河北衡水武邑中学期中)已知向量。=(1,1)力=(1,附,其中根为实数，当两向

量的夹角在(0*)内变动时切的取值范围是()

A.(0,l)B.淳㈤

C.(f,l)U(l,V3)D.(1,V3)

8.“勾三股四弦五”是勾股定理的一个特例.根据记载,西周时期的数学家商高曾经

和周公讨论过“勾三股四弦五''的问题，比毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年.

如图,在矩形ABCD中,△ABC满足“勾三股四弦五"，且AB=3,E为AD上一

点,3E_LAC.若丽=2尻+〃混则的值为()

A「B」3D.l

9.(多选X2021山东桓台一中期末)已知四边形48co是边长为/一2的

正方形，尸为正方形ABCO内一点，则(方+而)•(而+丽)()

A.有最小值-4B.有最大值-4C.无最小值D.无最大值

10.(多选)(2021江苏海安高级中学月考)已知向量。与向量。满足如下条件，其中

。与"的夹角是方的为()

A.|a|=1,\h\=6,a-(h-a)=2

B.|tz|=|Z>|=l,«2+a-Z?=|

C.a=(V3,-l),Z?=(2V3,2)

D.a=(2,2V3),Z?=(-3,0)

11.如图,△ABC为等腰三角形,NA4c=120。,A8=AC=4,以A为圆心,1为半径的圆

分别交48,AC于点瓦厂,点P是劣弧EF上一点，则而屁的取值范围是.

12.(2021天津高三联考)在平面四边形ABCD

中,48,4。,/48。=60。,/800=150。,布=4丽,3。=竽4石=2遮,若点用为边。(不

含端点)上的动点，则布•前的最小值为.

13.(2022福建厦门外国语学校期中)已知臼0是平面上的两个不共线的单位向量,

且ei与02的夹角为］,a=ei+e2力=-2臼+及.

⑴若ka-b与a+b垂直，求k的值；

(2)令C=M+。,其中％£R,当c在。上的投影向量为呼。时,求实数％的值及向量c

与b夹角的余弦值.

14.(2021江苏南京六合高级中学月考)在平面直角坐标系xOy中，已知

A(1,5),B(7,1),C(1,2).

⑴若四边形A3C。为平行四边形，求前与而夹角的余弦值；

(2)若M,N分别是线段AC,BC的中点，点P在线段MN上运动，求可•丽的最大值.

'答案与分层梯度式解析

第9章平面向量

9.3向量基本定理及坐标表示

9.3.2向量坐标表示与运算

基础过关练

1.C由向量坐标的定义得一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误，易知①②④正确，故选C.

2.D由向量的坐标表示方法可知，当点A是原点时，点B的坐标是G2,4).

3.C记。为坐标原点，则万?=2i+3/,而=4i+〃，

所以标=丽-万?=2号

4.ABC=F7+4C=(2,3)+(-4,-7)=(-2,-4).

故选A.

5.答案(0,4)

解析易得耐=(2,1),

设C(x,y),贝I波=(x+2,y-3),

・切亚••胪量解得｛浮:

故C(0,4).

6.解析(1)如图，过点4作AMJ_x轴于点M,

qM

则OM=OAcos45°=4xy=2V2,

AM=O4sin45-x*2叵

，A(2鱼,2鱼)，故〃=(2夜,2鱼).

易得/AOC=180o-105°=75°,/AOy=45°,/CO)=30°.

则C(.|,苧)，故品=(一|考)，

.*.6=荏=泥=(-|,苧).

(2)由⑴可得B4=-AB=g-

⑶送画+而

=(2战2&)+(-1,手)

《2/-|,2夜+崂，

二点B的坐标为(2注-|,2V2+苧).

解题模板

向量坐标运算的方法

(1)若已知向量的坐标，则直接应用向量的坐标运算进行求解.

(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标,然后进行向量的坐标运算.

(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.

7.D3"3(1,0)-(-1,2)=(4,-2).故选D.

8.C设GR),

则(3,4)=4(1,2)+〃(2,3)=(2+2〃,22+3〃)，

解得匕-:％c=-“+2A

(,2A+3/1=4,(〃=Z,

9.答案(2,4)

解析设点P的坐标为(x,y),

因为Pl(-1,1),尸2(1,3),

所以罚=(尤+1,y-1),恒=(1-x,3-y),

因为罚=-3谡，

所以俨+1=—以解得俨=2,

T(y-l=-3(3-y)~ly=4,

所以点P的坐标为(2,4).

10.C..%=(2,-1)力=(-3,1),."+26=(-4,1),又c=(l,-2),，(a+26>c=-4-2=-6.故选C.

11.B设。与匕的夹角为。，

因为b=(0,2),所以网=2,

又因为|a|=l,a乃=1,

所以cos0=7^;=±=：.

|a||b|1X22

因为0W比兀，所以仇?，

故向量。与人的夹角为今

故选B.

12.C由题可得0b=-3x+10<0,月.a与匕不共线，

.•.X冷.故选C.

13.A易得问=2,又a与b的夹角为釉|=1,

所以a-/>=|a||fe|cosj=l,

所以\a+2h\=yj(a+2/))2=Va2+4a-h+4b2=V224-4x1+4x12=2V3.

故选A.

14.答案3

解析因为|2。出=|2。+切,

所以12a也2=|2"42,

所以ab=0.

又a=(2,加)力=(1,-鱼),所以2-鱼加=0,解得

所以a+以(3,0),

所以|a+b|="32+()2=3.

15.解析⑴由已知得荏=(1,5),前=(-3,1),则而=荏+前=(-2,6),

因此,|而|二/(一2)2+62=2国.

易得尻=(-4,-4),所以阮|=〃-4)2+(-铲=4近.

故平行吧形ABDC的两条对角线长分别为2m,4注.

(2)易知而=(1,5),沆=(-2,-1),

因为(而-r元)•沃=0,所以[(1,5)-(2,-1)](2,-1)=0,即-5f-7=0,解得片!

16.D因为向量a=(l,2),b=(l,l),

所以c=a+kb=(I+k,2+l<).

又/?J_c，所以"。=1+左+2+仁0,解得^=-|.

故选D.

17.C因为a=(-l,2),b=(x,4),a_Lb,

所以-x+2x4=0,解得户8,

所以|例="82+42=4A/K.

故选C.

18.答案等腰直角三角形

解析由已知，得荏=(4-1,1-2)=(3,-1),前=(0-1,-1-2)=(-1,-3),

二AB-AC=3x(-1)+(-1)x(-3)=0,

：.ABA.AC,：.ZA=9Q°,

X|Xfi|=|^C|=V10,

.•.△ABC是等腰皂多三角形.

19.解析⑴易得前=(1,-1),设点8(x,y),则布=(x-1y1),诙=(x-2,y).

V|BC|=2,|CB|=7(X-2)2+y2=2,?.(x-2)2+/=4.

•：\AC\=V2<\BC\=2,：.ZB/90°.

当NA=90°时，乐•前=0,二六产。,即x=y.

又(^-2)2+)^=4,.*.x=0或x=2.

：.点B的坐标为(0,0)或(2,2).

当ZC=90°lM,CeJ?=0,：.x-2-y=0.

X--,(x-2)2+/=4,--.y=±V2.

二点B的坐标为(2+或,夜)或(2-VX-夜).

综上所述，点B的坐标为(0,0)或(2,2)或(2+鱼,鱼)或(2-鱼,-鱼).

(2度在.假设存金满足条件的点8,C,依题意可设点BS,0),C(c,0),

则而=(b-l,-l),尼=(c-l,-l).

\BC\=2j^BAC=0,：.\BC\=\b-c\=2^AB-AC=(b-1)(c-1)+1=0,

b=0或b=2.

•••存在满足条件的点B,C,点、B的坐标为(0,0),点C的坐标为(2,0)或点B的坐标为(2,0),点C的坐标为

(0,0).

能力提升练

1.D由题意得刀=(-2,2)-(-3,-1)=(1,3),而=(3,-3)-(-3,-1)=(6,-2).

贝I]函=2刀=(2,6),而=之CS=(3,-1),

所以而=函-而=(3-2,-1-6)=(1,-7).故选D.

2.D设点尸的坐标为(x,y),

则亚=")-空)=(x-2,y-3).

AP=AB+XAC=[(5A)-(2,3)]+X[(l,10)-(2,3)]=(3+52,1+7A),

.俨-2=3+5九，即俨=54-5A,

,%—3=1+7尢即(y=4+7尢

•.•点P在第一、三象限的角平分线上,，x=y,即5+52=4+74,解得居今

3.D建立如图所示的直角坐标系.

设x=(1,0),则产(-1,y),OX=(|,y),OB=((),V3),

由6?=or+by得

则叶氏4洞理三鸵河对应的a+b的值分别为5,1,

再由对称性知而.荏，况对应的a+b的值分别为-4,-5,-1,

易知a+b的最大值只能在这六个值中取得，故a+b的最大值为5.故选D.

4.D如图，以A为原点,AB所在直线为x轴,AO所在直线为y轴建立平面直角坐标系,

则A(0,0),6(^0),D(0,4)£(1,4),

则标=(4,0),同=(0,4),阮=(-3,4).

设前=2尻=(-3儿4QQER),

则砒而+而=(4-3%阕).

因为>1P=〃滔B+〃A£)=(4〃?,4〃)，

所以di;施消去入得叫日

_7+473

因为/%>0,〃>0,所以-^+2=(?71+-TC](―+—^)=1+,—+--+->-+2

mn\4J\rn.nJ4mn4449

当且仅当公生时，等号成立.

故三+三的最小值为手.

mn4

5.B如图，以A为原点建立平面直角坐标系，

则A(O,O),B(5,O),C(2,2H),E(4,O).

因为O为BC的中点，所以国),

则屈=(2,-28),而=gV5),

谄而_7-6底

所以cosNOPE=

I国由「gxjf=122

故选B.

6.C如图，设AC,8。交于点O,以0为原点所在直线分别为x轴,)，轴建立平面直角坐标系,

易得4-1,0),仇0,遍),。(1,0),。(0,-b).

设P(x,y),则可=(-1-x,-y),PB=(-x,V3-y),PC=(1-x,-y),

则(同+而)・近=(-1-2x)(1-x)+(国-2y)(-y)

=2/*1+2/一同=21-i)2+2(y-当且仅当户%=乎时，(而+两同取得最小值,

7.C设向量a,b的起点均为0(0为坐标原点)，终点分别为A,8.由题意可知，35=(1,1),即4(1,1).如图所

示，当点B位于8或&时,。与b的夹角为S，即NA08尸NA0&=S，此时NBOKF

12124

导也用。户苦河，故川1，务&(1,b)，又a与b的夹角不为零，故座1.所以m的取值范围是

(^,1)U(1,V3).

8.B由题意建立如图所示的平面直角坐标系,

则3(0,0),A(0,3),C(4,0),

所以第=(0,3),而=(4,-3).

设EQ3),则而=(a,3),

因为BELAC,

所以前•丽=4a-9=0,解得a=~.

4

由雨=2屁+/充，得(0,3)=心3)+〃(4,-3),

所以14+4〃=。，解得[4=京]

(3/1-3〃=3,(〃=一五，

所以2+"=，.

故选B.

则A(0,0),B(2,0),C(2,2),£>(0,2).

设P(x,y),则可=(-x,-y),丽=(2-x,-y),定=(2-x,2-y),而=(-x,2-y),

所以(港+丽)•(而+而)=(2-2x,-2y>(2-2x,4-2y)=(2-2x)2+(2y-2)2-4,

所以当x=l,.y=l时，(可+而)•(同+而)取得最小值-4,无最大值.

故选AD.

10.ABC设向量”与匕的夹角为a,

A中，由a(b-a)=2,|a|=l,得a-b-a2=2,a-b-3,a-i»=|«|-|fe|cosa=3,

cosa='..aG故A正确；

B中，由/+0。=|,同=1,得a-b=^,

.,.a.ga|.|6|cosag

/.cosa=1,*.*aG[O,jr],B正确;

C中，由4=(国,-1)力=(2"\/5,2),得|4|=2,|〃|=4,。。=4,...42=|4|・|加(：05a=4,cosa=g,'.•(/6[0,兀],.\0[=2，故C正

确；

D中，由。=(2,26)力=(-3,0)，得同=4M=3,a乃=-6,；.aO=|aH臼cosa=-6,

cosa=-|,aG[0,7t],a=拳故D错误.

故选ABC.

11.答案[-11,-9]

解析以A为原点，过点A且平行于BC的直线为x轴,3C的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系,

如图所示：

由/BAC=120。,4B=AC=4,

可得B(-2V3,-2),C(2V3,-2).

|丽=1,二可设P(cosa,sina),^<a<^,

oo

故-10sina<-1,.*.PB=(-2A/3-COSa,-2-sina),PC=(2V3-cosa,-2-sina),/.PBPC=cos2a-12+(2+sina)2=-

7+4sinae[-11,-9],

12.答案产

4

解析如图所示,建立平面直角坐标系，连接CE.

由AE=2V5,得42b,0),由荏=4丽，得E8=手,

又•.•BC=W，NABC=60°,

，N8EC=90°,且EC=2,NBCE=30°,

-,.C(2V3,2).

过点C作CFJ_AO于F,

ZBCD=150°,.*.ZDCF=30°.

易知FC=AE=2y[3,：.DF=2,：.0(0,4).

：M在线段C£)(不含端点)上,二可设箱=(I)•而+沆=(2bf,42)(0<r<1),

EM=AM^AE=(2V3(t-1),42),

AM-EM=12(Z2-/)+(4-2Z)2=16?-28r+16

=16(-3+・

Z.当一时，宿•闲取得最小值出

84

13.解析(1)不妨令约=(1,0),々=(0