2022-2023学年北京市昌平区九年级上学期期末数学试卷及答案解析

2022-2023学年北京市昌平区九年级上学期期末数学试卷

一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）下列各题均有四个选项，其中只有一个

是符合题意的.

1.如图是某个几何体的三视图，该几何体是（）

2.已知NA是锐角，tan/l=l,那么/A的度数是（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

3.随着国民经济快速发展，我国涌现出一批规模大、效益高的企业，如大疆、国家核电、

华为、凤凰光学等，以上四个企业的标志是中心对称图形的是（）

4.如图，AB为的直径，弦COLA8于点E,连接AC,OC,OD,若NA=20°,则N

C.80°D.100°

5.在平面直角坐标系中，点4,8坐标分别为（1,0）,（3,2）,连接A8,将线段AB平移

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后得到线段4B1,点A的对应点A,坐标为(2,1),则点B'坐标为()

A.(4,2)B.(4,3)C.(6,2)D.(6,3)

6.二次函数y=f+bx+c的图象如图所示，若点A(0,yi)和8(-3,”)在此函数图象

上，则yi与”的大小关系是()

A.y\>yzB.y\<yzC.yi=y2D.无法确定

7.如图所示的网格是正方形网格，图中△A8C绕着一个点旋转，得到△AEC,点C的对

应点C所在的区域在1区~4区中，则点。所在单位正方形的区域是()

A.1区B.2区C.3区D.4区

8.如图，抛物线y=-/+2x+"?交x轴于点A(a,0)和B(b,0),交y轴于点C,抛物

线的顶点为。，下列四个结论：

①点C的坐标为(0,,〃)；

②当,〃=0时，△ABO是等腰直角三角形；

③若a=-\,则b=4；

④抛物线上有两点P(xi,yi)和。(xi,”)，若且XI+X2>2,则yi>”.

其中结论正确的序号是()

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A.①②B.①②③C.①②④D.②③④

二、填空题(共8道小题，每小题2分，共16分)

9.己知抛物线y=?+c,过点(0,2),则c=.

10.如图，已知正方形0ABe的三个顶点坐标分别为A(2,0),B(2,2),C(0,2),

若反比例函数y=[(4>0)的图象与正方形。ABC的边有交点，请写出一个符合条件的

11.如图，正方形ABC。内接于的半径为6,则崩的长为

12.如图，在△4BC中，NC=90°,/A=a,AC=20,请用含a的式子表示BC的长

13.如图，PA,PB是。0的切线，切点分别是点A和B,AC是。。的直径.若NP=60°,

PA=6,则BC的长为.

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14.平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别是4(2,4),B(3,0),在第一象限内以原

1

点。为位似中心，把△OAB缩小为原来的一，则点4的对应点4的坐标为

2-------------

15.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB,点。是这段弧所在圆的圆心，AB=40%点

C是油的中点，且CD=10,",则这段弯路所在圆的半径为m.

16.如图，抛物线y=f+2x+2和抛物线y=7-2x-2的顶点分别为点M和点N,线段

经过平移得到线段P。，若点Q的横坐标是3,则点P的坐标是,MN平移到PQ

扫过的阴影部分的面积是.

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三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）

17.（5分）计算：sin300+2cos60°Xtan6O°-sin245°.

18.（5分）如图，在RtzMBC中，NC=9O°,tanA=BC=2,求AB的长.

（1）将二次函数化成y=a（x-/?）2+A的形式；

（2）在平面直角坐标系中画出y=-/-2x+3的图象;

（3）结合函数图象，直接写出y>0时x的取值范围.

20.（5分）下面是小东设计的“过圆外一点作这个圆的两条切线”的尺规作图过程.

已知：。0及。O外一点P.

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求作：直线以和直线PB,使布切。0于点A,PB切。。于点5.

作法：如图，

1

①连接0P,分别以点0和点P为圆心，大于5。尸的同样长为半径作弧，两弧分别交于

点M,N；

②连接交0P于点。，再以点。为圆心，0Q的长为半径作弧，交OO于点A和点

B；

③作直线PA和直线PB.

所以直线PA和PB就是所求作的直线.

根据小东设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明.

证明：；0P是。。的直径，

：.NOAP=NOBP=°（）（填推理的依据）.

J.PALOA,PBYOB.

'：0A,。8为。。的半径，

：.PA,尸8是。0的切线.

4

21.（5分）如图，A,B,C是。。上的点，siM=3，半径为5,求BC的长.

22.（5分）课堂上同学们借助两个直角三角形纸板进行探究，直角三角形纸板如图1所示，

分别为RtZ\ABC和其中乙4=/。=90°,AC=DE=2cm.当边AC与DE

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重合，且边A8和。尸在同一条直线上时:

(1)如图2在下边的图形中，画出所有符合题意的图形;

(2)求8尸的长.

四、解答题(共4道小题，每小题6分，共24分)

23.(6分)材料1：如图1,昌平南环大桥是经典的悬索桥，当今大跨度桥梁大多采用此种

结构.此种桥梁各结构的名称如图2所示，其建造原理是在两边高大的桥塔之间，悬挂

着主索，再以相应的间隔，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面承接桥

面的重量，主索几何形态近似符合抛物线.

图1

图2

材料2：如图3,某一同类型悬索桥，两桥塔AO=BC=10"，间距AB为32加，桥面A3

水平，主索最低点为点尸，点尸距离桥面为2〃?；

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DC

为了进行研究，甲、乙、丙三位同学分别以不同方式建立了平面直角坐标系，如图4：

图4

甲同学：以QC中点为原点，DC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系；

乙同学：如图5,以AB中点为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系:

图5

丙同学：以点尸为原点，平行于AB的直线为x轴，建立平面直角坐标系.

图6

(1)请你选用其中一位同学建立的平面直角坐标系，写出此种情况下点C的坐标，并求

出主索抛物线的表达式；

(2)距离点尸水平距离为4〃?和8机处的吊索共四条需要更换，则四根吊索总长度为多

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少米?

24.（6分）如图，AB是。0的直径，点C是圆上一点，点。是半圆的中点，连接CD交

。3于点E,点尸是AB延长线上一点，CF=EF.

（1）求证：FC是的切线；

（2）若CF=5,taM=与1求。。半径的长.

25.（6分）如图1,而是直径AB所对的半圆弧，点P是法与直径AB所围成图形的外部

的一个定点，AB=8aw,点C是脑上一动点，连接PC交AB于点D小明根据学习函

数的经验，对线段AD,CD,PD,进行了研究，设A,。两点间的距离为X。"，C,。两

点间的距离为yic〃z,P,。两点之间的距离为"c/n.

小明根据学习函数的经验，分别对函数yi,经随自变量x的变化而变化的规律进行了探

究.下面是小明的探究过程，请补充完整：

（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了yi,"与x的几组对

应值：

x/cm0.001.002.003.003.204.005.006.006.507.008.00

y\/cm0.001.042.093.113.304.004.413.462.501.530.00

y21cm6.245.294.353.463.302.642.00m1.802.002.65

补充表格；（说明：补全表格时，相关数值保留两位小数）

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(2)如图2,在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点,

并画出函数"的图象：

图2

(3)结合函数图象解决问题：当AO=2PO时，的长度约为.

26.(6分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线瓜+c与y轴交于点A,将点A向右

平移2个单位长度，得到点B,点B在抛物线上.

(1)①直接写出抛物线的对称轴是;

②用含a的代数式表示6；

(2)横、纵坐标都是整数的点叫整点.点A恰好为整点，若抛物线在点4,8之间的部

分与线段48所围成的区域内(不含边界)恰有1个整点，结合函数的图象，直接写出〃

的取值范围.

五、解答题(共2道小题，每小题7分，共14分)

27.(7分)己知等边△ABC,点。为8C上一点，连接AC.

(1)若点E是AC上一点，且CE=8£),连接BE,8E与A。的交点为点P,在图(1)

中根据题意补全图形，直接写出NAPE的大小；

(2)将绕点A逆时针旋转120°,得到AF,连接BF交AC于点。，在图(2)中根

据题意补全图形，用等式表示线段AQ和CD的数量关系，并证明.

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A

图1图2

28.(7分)对于平面直角坐标系xOy中，已知点A(-2,0)和点8(3,0),线段43和

线段A8外的一点P,给出如下定义：若45°WNAP8W90。时，则称点尸为线段AB的

可视点，且当出=PB时，称点P为线段AB的正可视点.

(1)①如图1,在点PM3,6),尸2(-2,-5),23(2,2)中，线段AB的可视点是；

②若点P在y轴正半轴上，写出一个满足条件的点尸的坐标：.

(2)在直线y=x+8上存在线段AB的可视点，求〃的取值范围；

(3)在直线y=-x+m上存在线段AB的正可视点，直接写出，"的取值范围.

图1备用图

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2022-2023学年北京市昌平区九年级上学期期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）下列各题均有四个选项，其中只有一个

是符合题意的.

1.如图是某个几何体的三视图，该几何体是（）

主视图左视图

△

俯视图

A.长方体B.圆锥C.圆柱D.三棱柱

【解答】解：俯视图是三角形的，因此这个几何体的上面、下面是三角形的，主视图和

左视图是长方形的，且左视图的长方形的宽较窄，因此判断这个几何体是三棱柱，

故选：D.

2.已知NA是锐角，tanA=l,那么/A的度数是（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

【解答】解：YNA是锐角，tan4=l,

.•.NA的度数是:45°.

故选：C.

3.随着国民经济快速发展，我国涌现出一批规模大、效益高的企业，如大强、国家核电、

华为、凤凰光学等，以上四个企业的标志是中心对称图形的是（）

【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误;

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B、是中心对称图形，故本选项正确；

C、不是中心对称图形，故本选项错误；

。、不是中心对称图形，故本选项错误.

故选：B.

4.如图，AB为。。的直径，弦CQLAB于点E,连接AC,OC,0D,若NA=20°,则/

C。。的度数为()

【解答】解：•••弦C£)_LAB,

：.BD=BC,

ZBOD=ZBOC=2ZA=2X20°=40°,

AZCOD=400+40°=80°.

故选：C.

5.在平面直角坐标系中，点力，8坐标分别为(1,0),(3,2),连接4B,将线段A8平移

后得到线段Ab,点A的对应点4坐标为(2,1),则点片坐标为()

A.(4,2)B.(4,3)C.(6,2)D.(6,3)

【解答】解：(1,0)平移后得到点A'的坐标为(2,1),

...向右平移I个单位，向上平移了1个单位，

：.B(3,2)的对应点坐标为(4,3),

故选：B.

6.二次函数y=/+bx+c的图象如图所示，若点A(0,yi)和8(-3,”)在此函数图象

上，则yi与"的大小关系是()

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A.yi>y2B.y\<y2C.y\—y2D.无法确定

【解答】解：点A(0,yi)和8(-3,”)在抛物线对称轴x=-2的两侧，且点A比

点B禺对称轴要逃，因此yi>)明

故选：A.

7.如图所示的网格是正方形网格，图中△ABC绕着一个点旋转，得到△ABC,点C的对

应点C所在的区域在1区Y区中，则点。所在单位正方形的区域是()

A.1区B.2区C.3区D.4区

【解答】解：如图，连接A4'、BB',分别作A4'、BB'的中垂线，两直线的交点P

即为旋转中心，

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由图可知，线段AB和点C绕着P点逆时针旋转90°,

...点C逆时针旋转90°后所得对应点C'落在4区，

故选：D.

8.如图，抛物线y=-/+2x+"?交x轴于点A(a,0)和BCh,0),交y轴于点C,抛物

线的顶点为。，下列四个结论:

①点C的坐标为(0,m)；

②当机=0时，△A3。是等腰直角三角形；

③若a--\,则b—4；

④抛物线上有两点P(xi,yi)和。(也，”)，若xi<1<也,且XI+X2>2,则yi>".

C.①②④D.②③④

【解答】解：①•••抛物线与y轴的交点坐标为(0,“)，

:・C(0,m),

故①正确；

②当机=0时，抛物线与x轴的两个交点坐标分别为(0,0)、(2,0),

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对称轴方程为x=l,

...△A3。是等腰直角三角形，

故②正确；

③当4=-1时，抛物线与X轴的一个交点坐标为（-1,0）,

•对称轴X=l,

.••另一个交点坐标为（3,0）,

:.b=-3,

故③错误；

④观察二次函数图象可知：

当XI<1VQ,且xi+r>2,则yi>".

故④正确.

故选：C.

二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）

9.已知抛物线y=/+c,过点（0,2）,则c=2.

【解答】解：•.•抛物线>=/+。，过点（0,2）,

.,.0+c=2,

:・c=2,

故答案为：2.

10.如图，已知正方形0ABe的三个顶点坐标分别为A（2,0）,B（2,2）,C（0,2）,

若反比例函数y=[*>0）的图象与正方形OABC的边有交点，请写出一个符合条件的

k值k=l（满足条件的左值的范围是0VZW4）.

九

3-

2CB

1-

-10123x

【解答】解：•.•反比例函数）=9（k>0）的图象与正方形OABC的边有交点，

JX

.•.把8（2,2）代入），=：得，k=4,

满足条件的k值的范围是0<%W4,

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故％=1（答案不唯一），

故答案为：％=1（满足条件的％值的范围是0<kW4）.

II.如图，正方形A8C。内接于。0,。0的半径为6,则福的长为3TT

【解答】解：连接OB,0C,则0C=0B=6,ZBOC=90°,

...矶•的弧长为——rtX6=3n,

故答案为31T.

12.如图，在△ABC中，ZC=90°,ZA=a,AC=20,请用含a的式子表示BC的长20tana

B

【解答】解：在△ABC中，NC=90°,

tanA=福

所以BC=AClanA=20tana.

故答案为20tana.

13.如图，PA,PB是O。的切线，切点分别是点A和'AC是。。的直径.若NP=60°,

%=6,则BC的长为2布.

C

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【解答】解：连接AB,

'：PA,PB是的切线，

：.PA^PB,

VZP=60°,

△必B为等边三角形，

，AB=B4=6,ZB4B=60°,

'.'PA是OO的切线，

勿C=90°,

：.ZCAB=30Q,

：AC是。。的直径，

；./ABC=90°,

在RtzMBC中，8c=4B・tan/C4B=6x整=2次,

故答案为：2a.

14.平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别是A(2,4),B(3,0),在第一象限内以原

点。为位似中心，把△。"缩小为原来《则点A的对应点4的坐标为52).

【解答】解：以原点。为位似中心，把△。的缩小为原来畴A⑵4),

A的对应点4的坐标为(2x1,4x1),即(1,2),

故答案为：(1,2).

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15.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB,点。是这段弧所在圆的圆心，AB=40,”，点

C是油的中点，且8=10机，则这段弯路所在圆的半径为

：.AD=DB=20m,

在RtZXA。。中，OA2=01^+AD2,

设半径为，得：2=(r-10)2+202,

解得：r=25m,

.••这段弯路的半径为25〃?.

故答案为：25.

16.如图，抛物线y=/+2x+2和抛物线y=/-2r-2的顶点分别为点M和点N,线段MN

经过平移得到线段P。，若点Q的横坐标是3,则点P的坐标是(1,5),MN平移

【解答】解：如图，连接PM，QN,MQ、PN.

由y=/+2x+2=(x+1)2+1,y=/-2x-2=(x-1)2-3,知M(-1,1),N(1，-

3).

•点。的横坐标是3,点。在抛物线y=7-2x-2上，

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."=32-2X3-2=1.

：.Q(3,1).

二线段MN先向上平移4个单位，然后向右平移2个单位得到线段PQ.

二点P的坐标是(1,5),

:.PNLMQ,且PN与相互平分，

平行四边形PMNQ是菱形.

11

根据平移的性质知，S阴影部分=5菱形PMNQ=^PN・MQ=XX4X8=16.

三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）

17.（5分）计算：sin300+2cos60°Xtan600-sin2450.

【解答】解：sin30°+2cos60°Xtan60°-sin2450

=4+2x*xV3—（¥产，

=V3.

18.（5分）如图，在RtzMBC中，/C=90°,tanA=BC=2,求AB的长.

【解答】解：•.•在RtAABC中,NC=90°,

..BC1

..tanA=^=T

,:BC=2,

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21

一，AC=6.

AC3

VAB2=AC2+BC2=40,

：.AB=2V10.

19.(5分)己知二次函数y=-x2-2x+3.

(1)将二次函数化成y=a(x-〃)2+k的形式；

(2)在平面直角坐标系中画出)，=-/-2x+3的图象;

(3)结合函数图象，直接写出)，＞0时x的取值范围.

【解答】解：(1)y=-*-2x+3

=-(/+2r+l-1)

2

=-(JC+1)+4；

(2)抛物线的顶点坐标为(-1,4),

当x=0时，y=-x1-2x+3=3,则抛物线与y轴的交点坐标为(0,3)；

当y=0时，-2x+3=0,解得xi=l,X2=-3,则抛物线与x轴的交点坐标为(-3,

0),(1,0)；

如图，

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20.（5分）下面是小东设计的“过圆外一点作这个圆的两条切线”的尺规作图过程.

已知：。0及（3。外一点尸.

求作：直线网和直线P8,使心切OO于点A,PB切于点B.

作法：如图，

①连接OP,分别以点。和点P为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧分别交于

点M，N；

②连接MN,交0尸于点Q,再以点。为圆心，0。的长为半径作弧，交。。于点A和点

B；

③作直线PA和直线PB.

所以直线PA和PB就是所求作的直线.

根据小东设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明.

证明：：0P是OQ的直径，

.•.NOAP=/OBP=90°（直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）.

：.PA1.OA,PBA.OB.

,：OA,OB为。。的半径，

：.PA,P8是。。的切线.

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（2）完成下面的证明.

证明：:OP是。。的直径，

...NOAP=/OBP=90°（直径所对的圆周角是直角），

：.PALOA,PBA.OB.

,：OA,08为的半径，

：.PA,尸3是。0的切线.

故答案为90,直径所对的圆周角是直角.

21.（5分）如图，A,B,C是。。上的点，sitL4=g半径为5,求BC的长.

【解答】证明：方法I：连接08，OC,过点O作OO_LBC,如图1

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A

事』

图1图2

♦：OB=OC,且OD_LBC,

1

，ZBOD=ZCOD=・NBOC,

1

VZA=^ZBOC,

4

:"B0D=4A,sinA=sinN8QD=1,

•・•在RtZ^OQ中，

：.sinZBOD=^=^,

*：OB=5,

BD4

/.—=BO=4,

55

•:BD=CD,

・・・5C=8.

方法H：作射线8。，交OO于点。，连接OC,如图2.

•・・3。为oo的直径，

：.ZBCD=90°,

VZBDC=NA,

4

.,.sinA=sinZBDC=^,

・・•在RtZiBOC中，

RC4

sinZBDC=前=耳.

VOB=5,BD=10,

e££_4

••=1,

105

：.BC=S.

22.（5分）课堂上同学们借助两个直角三角形纸板进行探究，直角三角形纸板如图I所示，

分别为RtZXABC和RtADEF,其中乙4=/。=90°,AC=DE=2cm.当边AC与DE

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重合，且边A8和。尸在同一条直线上时:

(1)如图2在下边的图形中，画出所有符合题意的图形;

(2)求8尸的长.

【解答】解：(1)补全图形如图：

(2)情况I,如图1：

.在RtZXAC尸中，ZF=ZACF=45°,

.'.AF=AC=2cm.

•在RtZSACB中，ZB=30°,

：.BC=A,AB=2V3.

：.BF=(2A/3+2)cm.

情况H,如图2：

•在RtZXACF中，ZF=ZACF=45°,

.'.AF=AC=2cfn.

・・•在中，ZB=30°,

；.BC=4,AB=2V3.

：.BF=(2V3-2)cm.

四、解答题(共4道小题，每小题6分，共24分)

23.(6分)材料1：如图1,昌平南环大桥是经典的悬索桥，当今大跨度桥梁大多采用此种

结构.此种桥梁各结构的名称如图2所示，其建造原理是在两边高大的桥塔之间，悬挂

着主索，再以相应的间隔，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面承接桥

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面的重量，主索几何形态近似符合抛物线.

图1

材料2：如图3,某一同类型悬索桥，两桥塔AO=BC=10，〃，间距A3为32皿，桥面A3

水平，主索最低点为点P,点尸距离桥面为2〃?；

甲同学：以。C中点为原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系；

乙同学：如图5,以A8中点为原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系;

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图5

丙同学：以点P为原点，平行于A8的直线为x轴，建立平面直角坐标系.

）A

图6

（1）请你选用其中一位同学建立的平面直角坐标系，写出此种情况下点C的坐标，并求

出主索抛物线的表达式；

（2）距离点P水平距离为4,”和8初处的吊索共四条需要更换，则四根吊索总长度为多

少米？

【解答】解：当选择甲同学的坐标系时，

（1）由图可知，点C的坐标为（16,0）,

设抛物线的表达式为y=a/+c（a#0）,

由题意可知，C点坐标为（16,0）,P点坐标为（0,-8）,

[162xa+c=0

1=-8'

解得[”强，

（c=-8

，主索抛物线的表达式为尸导2,8;

（2）x=4时，y=得x4~-8=—学＞此时吊索的长度为10—字=,（帆）,

由抛物线的对称性可得，x=-4时，此时吊索的长度也为T”，

2

同理，x=8时，y=^x82-8=-6,此时吊索的长度为10-6=4（加），

第27页共38页

X=-8时，此时吊索的长度也为4/77,

55,

V--+4+4=13(米)，

2+2

四根吊索的总长度为13米.

当选择乙同学的坐标系时，

(1)由图可知，点C的坐标为(16,10),

设抛物线的表达式为y=/+c(aW0),

由题意可知，C点坐标为(16,10),P点坐标为(0,2)

fl62xQ+c=10

Q=2

解得卜=克.

=2

...主索抛物线的表达式为y=拉+2；

[「5

(2)x=4时，y=^2X42+2=此时吊索的长度为3小，

由抛物线的对称性可得，x=-4时，此时吊索的长度也为|〃?，

同理，x=8时，)=奈+2=4,此时吊索的长度为4机，

x=-8时，此时吊索的长度也为4m,

55,

,.,-+-4-4+4=13(米)，

22

四根吊索的总长度为13米.

当选择丙同学的坐标系时，

(1)由图可知，点C的坐标为(16,8),

设抛物线的表达式为y=o?(a#0)

162Xa=8,

1

解得a—22，

...主索抛物线的表达式为丫=焉/;

1115

(2)x=4时，y-X42=此时吊索的长度为7+2=:(加),

由抛物线的对称性可得，x=-4时，此时吊索的长度也为|加，

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同理，x=8时，尸*x8?=2,此时吊索的长度为2+2=4(〃?)，

x=-8时，此时吊索的长度也为4〃?，

55,

V-+-+4+4=13(米),

22

四根吊索的总长度为13米.

24.(6分)如图，A8是。0的直径，点C是圆上一点，点力是半圆的中点，连接C£＞交

08于点E,点尸是AB延长线上一点，CF=EF.

(1)求证：FC是。。的切线；

(2)若CF=5,tanA=发求半径的长.

【解答】(1)证明：如图，连接

•••点。是半圆的中点，

/.ZAOD^ZBOD=90°,

：.ZODC+ZOED=90°,

'：OD=OC,

：.N0DC=N0CD.

又,：CF=EF,

：.NFCE=NFEC.

,/NFEC=AOED,

；.NFCE=/0ED.

：.ZFCE+Z0CD=Z0ED+Z0DC=90°,

即FCA.OC,

是。。的切线；

(2)解：VtanA=

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25.（6分）如图1,而是直径A3所对的半圆弧，点P是脑与直径AB所围成图形的外部

的一个定点，AB=8a〃，点C是砂上一动点，连接PC交A2于点。.小明根据学习函

数的经验，对线段AO,CD,PD,进行了研究，设A,。两点间的距离为xc7〃，C,0两

点间的距离为yic/n,P,。两点之间的距离为

小明根据学习函数的经验，分别对函数），1,”随自变量x的变化而变化的规律进行了探

究.下面是小明的探究过程，请补充完整：

（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了”与x的几组对

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应值:

x/cm0.001.002.003.003.204.005.006.006.507.008.00

y]/cm0.001.042.093.113.304.004.413.462.501.530.00

y21cm6.245.294.353.463.302.642.00m1.802.002.65

补充表格；(说明：补全表格时，相关数值保留两位小数)

(2)如图2,在同一平面直角坐标系，中，描出补全后的表中各组数值所对应的点,

并画出函数”的图象：

图2

(3)结合函数图象解决问题：当时，4力的长度约为4.54.

【解答】解：(1)通过取点、画图、测量，可得机=1.73,

(2)如图

图2

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(3)..,当A£>=2P£>,

：.PD=^AD,

在(2)中图象中作出y=%的图象，并测量两个函数图象交点得：40=4.54,

故答案为：4.54.

26.(6分)在平面直角坐标系xO)，中，抛物线)，="2+康+《.与>轴交于点4,将点A向右

平移2个单位长度，得到点8,点8在抛物线上.

(1)①直接写出抛物线的对称轴是直线x=l；

②用含〃的代数式表示/>;

(2)横、纵坐标都是整数的点叫整点.点A恰好为整点，若抛物线在点A,8之间的部

分与线段AB所围成的区域内(不含边界)恰有1个整点，结合函数的图象，直接写出。

的取值范围.

【解答】解：(1)①'.乂与B关于对称轴x=l对称，

•••抛物线对称轴为直线x=l,

故答案为直线x=l;

②:抛物线y=cv^+hx+c与y轴交于点A,

・・・A(0,c)

点A向右平移2个单位长度，得到点8(2,c),

•・•点8在抛物线上，

/.4〃+2/?+c=c,

••力=-2a.

(2)方法一：如图1,若t/>0,

VA(0,c),B(2,c),

二区域内(不含边界)恰有1个整点。的坐标为(1,c-1),则理另一个整点E(1,c

-2)不在区域内，

,把x=1代入抛物线y—ax2+bx+c得y—a+b+c--a+c,

•••根据题意得卜一lAc-a,解得lVaW2,

—2<c—a

如图2,若aVO,

同理可得卜+1<c-a,解得-2«-1

+22C—Q

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综上，符合题意的〃的取值范围为-2<a<-1或l<aW2.

方法二：；AB=2,点A是整点，

点C到AB的距离大于1并且小于等于2.

•••点C到AB的距离表示为c-a,减去c的差的绝对值,

...lV|c-a-c|W2,即lV|aW2,

五、解答题（共2道小题，每小题7分，共14分）

27.（7分）已知等边△ABC,点。为BC上一点，连接AD

（1）若点E是AC上一点，且CE=B£）,连接BE,BE与A。的交点为点P,在图（1）

中根据题意补全图形，直接写出/APE的大小；

（2）将AO绕点A逆时针旋转120°,得到AF,连接8尸交AC于点Q,在图（2）中根

据题意补全图形，用等式表示线段AQ和C。的数量关系，并证明.

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A

图1图2

【解答】（1）补全图形图1,

(AB=BC

证明：在△ABO和△BEC中，乙48。=4c=60。

BD=CE

:•△ABgABEC(SAS)

：.ZBAD=ZCBE.

:/APE是△A8P的一个外角,

・・・NAPE=NBAD+NABP=NCBE+/ABP=ZABC=60°；

(2)补全图形图2,AQ=^CD,

AB=BC

证明：在△ABD和△BEC中，(乙4BD=4c=60。

BD=CE

：./\ABD^/\BEC(SAS)

:・/BAD=/CBE,

•・・ZAPE是△ABP的一个外角，