适用于新教材2025版高中数学课时素养检测三十二平面与平面垂直一新人教A版必修第二册

PAGE三十二平面与平面垂直(一)(25分钟50分)一、选择题(每小题5分，共30分，多选题全部选对得5分，选对但不全对的得2分，有选错的得0分)1．如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A，B)且PA＝AC，则二面角P­BC­A的大小为()A.60°B．30°C．45°D．15°【解析】选C.由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC，又PA∩AC＝C，所以BC⊥平面PAC，所以∠PCA为二面角P­BC­A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°.2．如图，设P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是()A．平面PAB分别与平面PBC、平面PAD垂直B．它们两两垂直C．平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD不垂直D．平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直【解析】选A.易得DA⊥平面PAB，CB⊥平面PAB，因为DA⊂平面PAD，CB⊂平面PBC，所以平面PAB分别与平面PBC、平面PAD垂直．3．(2024·浙江高考)已知四棱锥S­ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点(不含端点)，设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S­AB­C的平面角为θ3，则()A．θ1≤θ2≤θ3B．θ3≤θ2≤θ1C．θ1≤θ3≤θ2D．θ2≤θ3≤θ1【解析】选D.如图所示，作S的投影点O，取AB的中点F，连接SO，SF，OF，作GE平行于BC，且GE＝eq\f(1,2)BC，连接SG，OG，SE，OE.因为S­ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，所以∠SOF＝∠SOE＝∠SGE＝90°，因为SE与BC所成的角为θ1，所以cosθ1＝eq\f(GE,SE)，因为SE与平面ABCD所成的角为θ2，所以sinθ2＝eq\f(SO,SE)，因为二面角S­AB­C的平面角为θ3，所以sinθ3＝eq\f(SO,SF)，cosθ3＝eq\f(OF,SF).因为GE＝OF，SF≤SE，所以cosθ1≤cosθ3，sinθ2≤sinθ3，即θ1≥θ3,θ2≤θ3，所以θ2≤θ3≤θ1.4．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不肯定成立的是()A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥β D．AC⊥β【解析】选D.如图，AB∥l∥m，AC⊥l，m∥α⇒AC⊥m，AB∥l⇒AB∥β.5．在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1()A.平行B．共面C．垂直D．不垂直【解析】选C.如图所示，在四边形ABCD中，因为AB＝BC，AD＝CD，所以BD⊥AC.因为平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面AA1C1C.又CC1⊂平面AA1C1C，所以BD⊥CC1.6．(多选题)下列命题中正确的是()A．假如平面α⊥平面β，那么平面α内肯定存在直线平行于平面βB．假如平面α不垂直于平面β，那么平面α内肯定不存在直线垂直于平面βC．假如平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．假如平面α⊥平面β，那么平面α内全部直线都垂直于平面β【解析】选ABC.假如平面α⊥平面β，那么平面α内垂直于交线的直线都垂直于平面β，其他与交线不垂直的直线均不与平面β垂直，故D项叙述是错误的．二、填空题(每小题5分，共10分)7．如图所示，平面α⊥平面β，在α与β交线上取线段AB＝4，AC，BD分别在平面α和β内，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝3，BD＝12，则CD＝________．【解析】连接BC.因为BD⊥AB，α⊥β，α∩β＝AB，所以BD⊥α.因为BC⊂α，所以BD⊥BC，所以△CBD是直角三角形．在Rt△BAC中，BC＝eq\r(32＋42)＝5.在Rt△CBD中，CD＝eq\r(52＋122)＝13.答案：138．如图所示，平面四边形ABCD，AB＝AD＝CD＝1，BD＝eq\r(2)，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD⊥平面BCD，则下列说法中正确的是________．(填序号)①平面ACD⊥平面ABD；②AB⊥CD；③平面ABC⊥平面ACD.【解析】因为BD⊥CD，平面ABD⊥平面BCD，所以CD⊥平面ABD，因为CD⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面ABD，故①正确；因为平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝eq\r(2)，所以AB⊥AD，又因为CD⊥平面ABD，所以AB⊥CD，又AD∩CD＝D，所以AB⊥平面ACD，又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ACD，故②③正确．答案：①②③三、解答题9．(10分)如图，三棱台DEF­ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．(1)求证：BD∥平面FGH；(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.【证明】(1)如图所示，连接DG，设CD∩GF＝M，连接MH.在三棱台DEF­ABC中，AB＝2DE，所以AC＝2DF.因为G是AC的中点，所以DF∥GC，且DF＝GC，所以四边形CFDG是平行四边形，所以DM＝MC.因为BH＝HC，所以MH∥BD.又BD⊄平面FGH，MH⊂平面FGH，所以BD∥平面FGH.(2)因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GH∥AB.因为AB⊥BC，所以GH⊥BC.又H为BC的中点，所以EF∥HC，EF＝HC，所以四边形EFCH是平行四边形，所以CF∥HE.因为CF⊥BC，所以HE⊥BC.又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH＝H，所以BC⊥平面EGH.又BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH.【补偿训练】如图，四边形ABCD是正方形，△PAB与△PAD均是以A为直角顶点的等腰直角三角形，点F是PB的中点，点E是边BC上的随意一点．(1)求证：AF⊥EF；(2)求二面角A­PC­B的平面角的正弦值．【解析】(1)因为F是PB的中点，且PA＝AB，所以AF⊥PB，因为△PAB与△PAD均是以A为直角顶点的等腰直角三角形，所以PA⊥AD，PA⊥AB.因为AD∩AB＝A，AD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PA⊥平面ABCD.因为BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC.因为四边形ABCD是正方形，所以BC⊥AB.因为PA∩AB＝A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB.因为AF⊂平面PAB，所以BC⊥AF.因为PB∩BC＝B，PB⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AF⊥平面PBC.因为EF⊂平面PBC，所以AF⊥EF.(2)作FH⊥PC于点H，连接AH，因为AF⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，所以AF⊥PC.因为AF∩FH＝F，AF⊂平面AFH，FH⊂平面AFH，所以PC⊥平面AFH.因为AH⊂平面AFH，所以PC⊥AH.所以∠AHF为二面角A­PC­B的平面角．设正方形ABCD的边长为2，则PA＝AB＝2，AC＝2eq\r(2)，在Rt△PAC中，PC＝eq\r(PA2＋AC2)＝2eq\r(3)，AH＝eq\f(PA·AC,PC)＝eq\f(2\r(6),3)，在Rt△AFH中，sin∠AHF＝eq\f(AF,AH)＝eq\f(\r(3),2)，所以二面角A­PC­B的平面角的正弦值为eq\f(\r(3),2).(25分钟50分)一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对得5分，选对但不全对的得2分，有选错的得0分)1．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系为()A．相等 B．互补C．相等或互补 D．不确定【解析】选D.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是CD，C1D1的中点，二面角D­AA1­F与二面角B1­AB­D的两个半平面就是分别对应垂直的，但这两个二面角既不相等，也不互补．2．如图，正四面体ABCD中，E，F分别是线段AC的三等分点，P是线段AB的中点，G是直线BD上的动点，则()A．存在点G，使PG⊥EF成立B．存在点G，使FG⊥EP成立C．不存在点G，使平面EFG⊥平面ACD成立D．不存在点G，使平面EFG⊥平面ABD成立【解析】选C.在正四面体ABCD中，E，F分别是线段AC的三等分点，P是线段AB的中点，G是直线BD上的动点，在A中，不存在点G，使PG⊥EF成立，故A错误；在B中，不存在点G，使FG⊥EP成立，故B错误；在C中，不存在点G，使平面EFG⊥平面ACD成立，故C正确；在D中，存在点G，使平面EFG⊥平面ABD成立，故D错误．3．(2024·绍兴高一检测)已知底面ABCD为正方形的四棱锥P­ABCD，P点的射影在正方形ABCD内，且P到BC的距离等于PD的长，记二面角P­AB­C的平面角为α，二面角P­CD­A的平面角为β，二面角P­AD­C平面角为γ，则下列结论可能成立的是()A．α＝β＝γ B．α＝γ<βC．α＝β<γ D．α>β＝γ【解析】选C.设P点在正方形ABCD内的射影为Q，连接AC，BD，且AC∩BD＝O，作PE⊥BC，垂足为E，则PE＝PD，对于A，若α＝γ，由对称性可知，Q点在AC上；同理，当β＝γ时，Q点在BD上；则AC∩BD＝Q，即Q点与O点重合，此时PB＝PD，又PB>PE，所以PD>PE，与PD＝PE冲突，A错误；对于B，若α＝γ，则Q点在AC上，此时PB＝PD，又PB>PE，所以PD>PE，与PD＝PE冲突，B错误；对于C，若α＝β，则Q点在BC，AD中点F，G连线上，如下图所示，由对称性可知：PB＝PC，此时PF⊥BC，即E与F重合，PF＝PD；因为β<γ，所以Q在线段OG上，设正方形ABCD边长为a，则当QG＝eq\f(3,8)a时，QF＝QD＝eq\f(5,8)a，使得PF＝PD成立，C正确；对于D，若β＝γ，则Q在BD上，如下图所示，因为α>β，则Q在线段OB上，此时不存在点Q满意QE＝ED，使得PE＝PD，D错误．4．(多选题)下列四个命题中，正确的为()A．α∥β，β⊥γ，则α⊥γB．α∥β，β∥γ，则α∥γC．α⊥β，γ⊥β，则α⊥γD．α⊥β，γ⊥β，则α∥γ【解析】选AB.CD不正确，如图所示，α⊥β，γ⊥β，但α，γ相交且不垂直．二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知点E，F分别在正方体ABCD­A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于________．【解析】如图，设正方体的棱长为3，则由题意知CF＝2，BE＝1.分别延长FE，CB交于点M，连接AM，作BN⊥AM于点N，连接EN.因为EB⊥平面ABM，AM⊂平面ABM，所以EB⊥AM.又因为BN⊥AM，EB∩BN＝B，所以AM⊥平面BEN，所以AM⊥EN，所以∠BNE即为平面AEF与平面ABC所成的二面角的平面角．因为BE∥CF，所以eq\f(BE,CF)＝eq\f(MB,MC)，即eq\f(1,2)＝eq\f(MB,MB＋3)，所以MB＝3，所以AM＝eq\r(AB2＋MB2)＝3eq\r(2).由eq\f(1,2)AM·BN＝eq\f(1,2)BM·AB，得BN＝eq\f(MB·AB,AM)＝eq\f(3×3,3\r(2))＝eq\f(3\r(2),2).因为EB⊥平面ABM，所以EB⊥BN，所以tan∠BNE＝eq\f(BE,BN)＝eq\f(1,\f(3\r(2),2))＝eq\f(\r(2),3).答案：eq\f(\r(2),3)6．在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD且底面各边都相等，M是PC上一点，当点M满意________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可)【解析】连接AC，因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD，因为四边形ABCD的各边相等，所以AC⊥BD，且PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，即BD⊥PC，要使平面MBD⊥平面PCD，只需PC垂直于面MBD上的与BD相交的直线即可，所以可填DM⊥PC(或BM⊥PC).答案：DM⊥PC(或BM⊥PC)三、解答题(每小题10分，共20分)7．(2024·武汉高一检测)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E在线段CD1上，CE＝2ED1，点F为线段AB上的动点，AF＝λFB，且EF∥平面ADD1A1.(1)求λ的值；(2)求二面角E­DF­C的余弦值．【解析】(1)过E作EG⊥D1D于G，连接GA.则EG∥CD，而CD∥FA，所以EG∥FA.因为EF∥平面ADD1A1，EF⊂平面EFAG，平面EGAF∩平面ADD1A1＝GA，所以EF∥GA，所以四边形EGAF是平行四边形，所以GE＝AF.因为CE＝2ED1，所以eq\f(GE,DC)＝eq\f(D1E,D1C)＝eq\f(1,3)，所以eq\f(AF,AB)＝eq\f(1,3)，即eq\f(AF,FB)＝eq\f(1,2)，所以λ＝eq\f(1,2).(2)过E作EH⊥CD于H，过H作HM⊥DF于M，连接EM，因为CDD1C1⊥平面ABC