2025版新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2.3二次函数与一元二次方程不等式2.3.1二次函数与一元二次方程不等式导学案新人教A版必修第一册

第1课时二次函数与一元二次方程、不等式【学习目标】(1)了解一元二次不等式的现实意义．(2)借助二次函数图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，体会数学的整体性．(3)能够借助二次函数，求解一元二次不等式．题型1一元二次不等式的解法【问题探究1】如课本图2.3－1，二次函数y＝x2－12x＋20的图象与x轴有两个交点，这与方程x2－12x＋20＝0的根有什么关系？【问题探究2】你能从二次函数y＝x2－12x＋20的图象上找到x2－12x＋20<0的解集吗？例1解下列不等式：(1)2x2＋7x＋3>0；(2)－4x2＋18x－814(3)－2x2＋3x－2<0.题后师说解不含参数的一元二次不等式的一般步骤跟踪训练1解下列不等式．(1)3x2－7x≤10；(2)x2－x＋14题型2含参数的一元二次不等式的解法例2设a∈R，解关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2＞0.一题多变解关于x的不等式2x2＋ax＋2＞0.题后师说解含参数的一元二次不等式的步骤特殊提示：求解方程的根时可优先考虑用因式分解的方法求解，不能因式分解时再求判别式Δ，用求根公式计算．跟踪训练2解关于x的不等式x2－(a＋2)x＋2a<0．随堂练习1.不等式x2－4>0的解集是()A．{x|－2<x<2}B．{x|x<－2}C．{x|x>2}D．{x|x<－2或x>2}2．关于x的不等式－x2＋5x＋6≤0的解集为()A．{x|x≤－2或x≥3}B．{x|－2≤x≤3}C．{x|－1≤x≤6}D．{x|x≤－1或x≥6}3．设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)·(n＋x)>0的解集是()A．{x|x<－n或x>m}B．{x|－n<x<m}C．{x|x<－m或x>n}D．{x|－m<x<n}4．已知a<0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2<0的解集是____________．课堂小结1.一元二次不等式的概念及解法．2．含参数的一元二次不等式的解法．第1课时二次函数与一元二次方程、不等式问题探究1提示：函数的图象与x轴交点的横坐标正好是方程的根．问题探究2提示：从图象上看，位于x轴上方的函数值大于零，位于x轴下方的函数值小于零，故x2－12x＋20<0的解集为{x|2<x<10}．例1解析：(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－12.又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为{x|x>－12或(2)原不等式可化为(2x－92)2≤0，所以原不等式的解集为{x|x＝9(3)原不等式可化为2x2－3x＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.跟踪训练1解析：(1)不等式3x2－7x≤10，即3x2－7x－10≤0，即不等式等价于(x＋1)(3x－10)≤0，由二次函数的图象与性质可知原不等式的解集为{x|－1≤x≤103(2)不等式x2－x＋14因为x2－x＋14＝(x－12)由二次函数的图象与性质可知原不等式的解集为∅.例2解析：(1)当a＝0时，不等式可化为x－2＞0，解得x＞2，即原不等式的解集为{x|x＞2}．(2)当a≠0时，方程ax2＋(1－2a)x－2＝0的两根分别为2和－1a①当a＜－12时，解不等式得－1a＜即原不等式的解集为{x|－1a<x②当a＝－12即原不等式的解集为∅；③当－12＜a解不等式得2＜x＜－1a即原不等式的解集为{x|2<x<－1a④当a＞0时，解不等式得x＜－1a或x即原不等式的解集为{x|x<－1a，或x一题多变解析：Δ＝a2－16，下面分状况探讨：(1)当Δ＜0，即－4＜a＜4时，方程2x2＋ax＋2＝0无实根，所以原不等式的解集为R.(2)当Δ＝0，即a＝±4时，若a＝－4，则原不等式等价于(x－1)2＞0，故x≠1；若a＝4，则原不等式等价于(x＋1)2＞0，故x≠－1；(3)当Δ＞0，即a＞4或a＜－4时，方程2x2＋ax＋2＝0的两个根为x1＝14(－a－a2-16)，x2＝14此时原不等式等价于(x－x1)(x－x2)＞0，∴x＜x1或x＞x2.综上，当－4＜a＜4时，原不等式的解集为R；当a＝－4时原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}；当a＞4或a＜－4时，原不等式的解集为{x|x＜14(－a－a2-16)，或x＞14(－a＋a2-16)}；当a＝4时，原不等式的解集为{跟踪训练2解析：x2－(a＋2)x＋2a<0，即(x－a)(x－2)<0；当a＝2时，不等式化为(x－2)2<0，不等式无解；当a>2时，解不等式(x－a)(x－2)<0，得2<x<a；当a<2时，解不等式(x－a)(x－2)<0，得a<x<2；综上所述，a＝2时，不等式无解，a>2时，不等式的解集为{x|2<x<a}，a<2时，不等式的解集为{x|a<x<2}．[随堂练习]1．解析：x2－4＝(x＋2)(x－2)>0，解得x<－2或x>2，所以不等式的解集为{x|x<－2或x>2}．答案：D2．解析：由－x2＋5x＋6＝－(x－6)(x＋1)≤0，解得x≤－1或x≥6.故选D.答案：D3．解析：不等式变形为(x－m)(x＋n)<0，方程(x－m)(x＋n)＝0的两根为m，－n，明显由m＋n