2024-2025学年新教材高中数学第四章数列单元综合测试卷新人教A版选择性必修第一册

第四章数列单元综合测试卷第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．数列的通项公式可能为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】依据题意数列其中，，，，则其通项公式可以为故选:B.2．数列满意，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可得，，，.故选：C.3．已知是等差数列，且，则（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】B【解析】设等差数列的公差为，由得，，则故选：B.4．若数列的前项和，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】当时，，当时，，经检验，可得.故选：D.5．某种细胞起先时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个依据此规律，12小时后细胞存活个数（

）A．2048 B．2049 C．4096 D．4097【答案】D【解析】依题意，1小时后的细胞个数为，2小时后的细胞个数为，3小时后的细胞个数为，…，则小时后的细胞个数为，所以12小时后细胞存活个数是.故选：D6．已知n为正偶数，用数学归纳法证：时，若已假设（且k为偶数）时等式成立，则还须要再证（

）A．时等式成立 B．时等式成立C．时等式成立 D．时等式成立【答案】B【解析】若已假设（，k为偶数）时命题为真，因为n只能取偶数，所以还须要证明成立．故选：B．7．设等差数列满意，，其前项和为，若数列也为等差数列，则的最大值是（）A．310 B．212 C．180 D．121【答案】D【解析】∵等差数列满意，，设公差为，则，其前项和为，∴，，，，∵数列也为等差数列，∴，∴，解得．∴，，∴，由于为单调递减数列，∴，故选：D．8．对于数列，若存在正整数，使得，，则称是数列的“谷值”，k是数列的“谷值点”．在数列中，若，则数列的“谷值点”为（

）A．2 B．7 C．2，7 D．2，5，7【答案】C【解析】因为，所以，，，，，，，，当，，，所以，因为函数在上单调递增，所以时，数列为单调递增数列，所以，，，，所以数列的“谷值点”为，．故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知等差数列、、、，则（

）A．公差 B．该数列的通项公式为C．数列的前项和为 D．是该数列的第项【答案】ACD【解析】对于A选项，等差数列的公差为，A对；对于B选项，该数列的通项公式为，B错；对于C选项，数列的前项和为，C对；对于D选项，由，解得，D对.故选：ACD.10．在公比q为整数的等比数列中，是数列的前n项和，若，，则下列说法正确的是（

）A． B．数列是等比数列C． D．数列是公差为2的等差数列【答案】AC【解析】∵在公比q为整数的等比数列中，是数列的前n项和，，，解得，，∴，或者，，∴，不符合题意，舍去，故A正确，，则，常数，∴数列不是等比数列，故B不正确；，故C正确；∵，∴，，∴数列不是公差为2的等差数列，故D错误，故选：AC11．己知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（

）A．若，则是等差数列B．若是等差数列，且，，则数列的前n项和有最大值C．若等差数列的前10项和为170，前10项中，偶数项的和与奇数项的和之比为9∶8，则公差为2D．若是等差数列，则三点、、共线【答案】BCD【解析】A项，时，，时，时，，所以，不是等差数列；B项，由已知可得，，又所以，，.所以，有最大值；C项，由已知可得，偶数项和为90，奇数项和为80，两者作差为，所以；D项，设三点分别为A，B，C，，则，，.则，，，所以三点共线.故选：BCD.12．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来探讨数，他们依据沙粒或小石子所排列的形态，把数分成很多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，其次行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（

）A．B．1225既是三角形数，又是正方形数C．D．，总存在，使得成立【答案】BCD【解析】三角形数构成数列：1，3，6，10，…，则有，利用累加法，得，得到；n=1成立正方形数构成数列：1，4，9，16，…，则有，利用累加法，得，得到,n=1成立对于A，，利用裂项求和法：，故A错误；对于B，令，解得；令，解得；故B正确；对于C，，则，整理得，，故C正确；对于D，取，且，则令，则有，故，总存在，使得成立，故D正确；故选：BCD第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若等差数列满意，，则当n＝_____时，的前n项和最大．【答案】8【解析】由等差数列的性质可得，∴，又，∴，∴等差数列的前8项为正数，从第9项起先为负数，∴等差数列的前8项和最大，故答案为：8．14．若数列的通项公式，前项和为，则__________．【答案】【解析】因为，所以，，，，，所以.故答案为：15．已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则______.【答案】6【解析】由已知得，，令n=5，则，，所以，故答案为：6.16．已知数列​满意:​，则数列​的前​项和​为_______【答案】【解析】因为，所以当​时，​，故​；当​时，​，则，​两式相减得:​，故​，经检验:满意，所以当​时，​，所以​，故​.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．（10分）若数列满意：，点在函数的图象上，其中为常数，且.(1)若成等比数列，求的值；(2)当时，求数列的前21项和.【解析】（1）依据题意可得，又，故可得，又成等比数列，故，即，解得（舍）或，故.（2）当时，，则，两式作差可得：，故该数列的奇数项是首项为，公差为的等差数列，则，故.故数列的前21项和.18．（12分）已知数列的前项和公式为.(1)求数列的通项公式；(2)若数列，求数列的前项和的最小值.【解析】（1）当时，；当时，，满意，故对随意的，.（2），令，解得，且，所以，数列为等差数列，所以，的最小值为.19．（12分）一个计算装置有一个入口和一输出运算结果的出口，将自然数列中的各数依次输入口，从口得到输出的数列，结果表明：①从口输入时，从口得；②当时，从口输入,从口得到的结果是将前一结果先乘以自然数列中的第个奇数，再除以自然数列中的第个奇数.试问：(1)从口输入2和3时，从口分别得到什么数？(2)从口输入100时，从口得到什么数？并说明理由.【解析】（1）当时，；当时，；当时，；（2），，…，故猜想；理由：明显时，猜想成立，假设时，猜想成立，即，则时，∴当时，猜想成立，，故从口输入100时，从口得的数为.20．（12分）记为数列{}的前n项和，已知.(1)求{}的通项公式；(2)若，求数列{}的前n项和.【解析】（1）当时，；当时，，则；又∵，则是以2为首项，2为公比的等比数列，∴.（2）因为当为偶数时，；当为奇数时，；综上所述：数列的前项和为.21．（12分）已知数列的首项，且满意．(1)求证：数列为等比数列；(2)设数列满意求最小的实数m，使得对一切正整数k均成立．【解析】（1）由已知得，，所以．因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列．（2）证明：（2）由（1），当n为偶数时，，当n为奇数时，，故，由所以m的最小值为．22．（12分）已