专题09 二次函数图象上点的坐标特征-九年级数学上册（解析版）

专题09二次函数图象上点的坐标特征考点1：新定义；考点2：二次函数图象上的点；考点3：抛物线与x轴的交点。题型01新定义题型01新定义1．（易错题）新定义：在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P′（m，n′），若满足m≥0时，n′＝n﹣4；m＜0时，n′＝﹣n，则称点P′（m，n′）是点P（m，n）的限变点．例如：点P1（2，5）的限变点是P1′（2，1），点P2（﹣2，3）的限变点是P2′（﹣2，﹣3）．若点P（m，n）在二次函数y＝﹣x2+4x+2的图象上，则当﹣1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（）A．﹣2≤n′≤2 B．1≤n′≤3 C．1≤n′≤2 D．﹣2≤n′≤3解：由题意可知，当m≥0时，n′＝﹣m2+4m+2﹣4＝﹣（m﹣2）2+2，∴当0≤m≤3时，﹣2≤n′≤2，当m＜0时，n′＝m2﹣4m﹣2＝（m﹣2）2﹣6，∴当﹣1≤m＜0时，﹣2＜n′≤3，综上，当﹣1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是﹣2≤n′≤3，答案：D．2．在平面直角坐标系xOy中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”．下列函数的图象中不存在“好点”的是（）A．y＝﹣x B．y＝x+2 C．y=2x D．y＝x2解：∵横、纵坐标相等的点称为“好点”，∴当x＝y时，A．x＝﹣x，解得x＝0；不符合题意；B．x＝x+2，此方程无解，符合题意；C．x2＝2，解得x＝±2，不符合题意；D．x＝x2﹣2x，解得x1＝0，x2＝3，不符合题意．答案：B．3．若一个点的坐标满足（k，2k），我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于x的二次函数y＝（t+1）x2+（t+2）x+s（s，t为常数，t≠﹣1）总有两个不同的倍值点，则s的取值范围是（）A．s＜﹣1 B．s＜0 C．0＜s＜1 D．﹣1＜s＜0解：将（k，2k）代入二次函数，得2k＝（t+1）k2+（t+2）k+s，整理得（t+1）k2+tk+s＝0．∵（t+1）k2+tk+s＝0是关于k的二次方程，总有两个不同的实根，∴Δ＝t2﹣4s（t+1）＞0．令f（t）＝t2﹣4s（t+1）＝t2﹣4st﹣4s∵f（t）＞0，∴Δ＝（4s）2+16s＝16s2+16s＜0，即Δ＝s（s+1）＜0，解得0＞s＞﹣1．答案：D．4．新定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为实数）的“图象数”，若“图象数”是[m﹣1，m﹣2，m﹣3]的二次函数的图象经过原点，则m＝3．解：根据题意得y＝（m﹣1）x2+（m﹣2）x+m﹣3，把（0，0）代入得m﹣3＝0，解得m＝3．答案：3．5．在平面直角坐标系中，若点P（a，b）的坐标满足a＝b≠0，则称点P为“对等点”．已知二次函数y＝x2+2mx﹣m的图象上存在两个不同的“对等点”，且这两个“对等点”关于原点对称，则m的值为12解：设这两个“对等点”的坐标为（a．a）和（﹣a，﹣a），代入y＝x2+2mx﹣m得a2两式相减得2a＝4am，解得m=1答案：126．（易错题）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：若y′=y(x≥0)−y(x＜0)，则称点Q为点例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．（1）若点（﹣1，﹣2）是一次函数y＝x+3图象上点M的“可控变点”，则点M的坐标为（﹣1，2）．（2）若点P在函数y＝﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣16≤y′≤16，则实数a的值为42．解：（1）根据定义，点M坐标为（﹣1，2）．（2）依题意，y＝﹣x2+16图象上的点P的“可控变点”必在函数y′=−∵﹣16≤y′≤16，∴﹣16＝﹣x2+16．∴x＝42．∴a的值为42．答案：（﹣1，2），42．7．如果抛物线y＝ax2+bx+c过定点M（1，1），则称此抛物线为定点抛物线．（1）张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的一个解析式．小敏写出了一个答案：y＝2x2+3x﹣4，请你写出一个不同于小敏的答案；（2）张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线y＝﹣x2+2bx+c+1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式，请你解答．解：（1）依题意，选择点（1，1）作为抛物线的顶点，二次项系数是1，根据顶点式得：y＝x2﹣2x+2；（2）∵定点抛物线的顶点坐标为（b，c+b2+1），且﹣1+2b+c+1＝1，∴c＝1﹣2b，∵顶点纵坐标c+b2+1＝2﹣2b+b2＝（b﹣1）2+1，∴当b＝1时，c+b2+1最小，抛物线顶点纵坐标的值最小，此时c＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x．题型02二次函数图象上的点题型02二次函数图象上的点8．若二次函数y＝|a|x2+bx+c的图象经过A（m，n）、B（0，y1）、C（3﹣m，n）、D（2，y2）、E（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1解：∵经过A（m，n）、C（3﹣m，n），∴二次函数的对称轴x=3∵B（0，y1）、D（2，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离B最远，D最近，∵|a|＞0，∴y1＞y3＞y2；答案：D．9．已知点A（a，2），B（b，2），C（c，7）都在抛物线y＝（x﹣1）2﹣2上，点A在点B左侧，下列选项正确的是（）A．若c＜0，则a＜c＜b B．若c＜0，则a＜b＜c C．若c＞0，则a＜c＜b D．若c＞0，则a＜b＜c解：∵抛物线y＝（x﹣1）2﹣2，∴该抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线开口向上，当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，∵点A（a，2），B（b，2），C（c，7）都在抛物线y＝（x﹣1）2﹣2上，点A在点B左侧，∴若c＜0，则c＜a＜b，故选项A、B均不符合题意；若c＞0，则a＜b＜c，故选项C不符合题意，选项D符合题意；答案：D．10．（易错题）二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象过A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），D（4，y4）四个点，下列说法一定正确的是（）A．若y1y2＞0，则y3y4＞0 B．若y1y4＞0，则y2y3＞0 C．若y2y4＜0，则y1y3＜0 D．若y3y4＜0，则y1y2＜0解：如图，由题意对称轴为直线x＝1，观察图象可知，y1＞y4＞y2＞y3，若y1y2＞0，如图1中，则y3y4＜0，选项A不符合题意，若y1y4＞0，如图2中，则y2y3＜0，选项B不符合题意，若y2y4＜0，如图3中，则y1y3＜0，选项C符合题意，若y3y4＜0，如图4中，则y1y2＞0，选项D不符合题意，答案：C．11．（易错题）已知点A（x1，y1）在直线y＝3x+19上，点B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线y＝x2+4x﹣1上，若y1＝y2＝y3，x1＜x2＜x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）A．﹣12＜x1+x2+x3＜﹣9 B．﹣8＜x1+x2+x3＜﹣6 C．﹣9＜x1+x2+x3＜0 D．﹣6＜x1+x2+x3＜1解：令3x+19＝x2+4x﹣1，整理得x2+x﹣20＝0，解得x1＝﹣5，x2＝4，∴直线y＝3x+19与抛物线的交点的横坐标为﹣5，4，∵y＝x2+4x﹣1＝（x+2）2﹣5，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，顶点为（﹣2，﹣5），把y＝﹣5代入y＝3x+19，解得x＝﹣8，若y1＝y2＝y3，x1＜x2＜x3，则﹣8＜x1＜﹣5，x2+x3＝﹣4，∴﹣12＜x1+x2+x3＜﹣9，答案：A．12．若二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为4．解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x＝1，顶点为（1，﹣4），∴顶点到x轴的距离为4，∵函数图象有三个点到x轴的距离为m，∴m＝4，答案：4．13．（易错题）设A（x1，y1）、B（x2，y2）是抛物线y＝2x2+4x﹣2上的点，坐标系原点O位于线段AB的中点处，则AB的长为217．解：∵原点O是线段AB的中点，∴A（x1，y1）与B（x2，y2）关于原点中心对称，∴x1＝﹣x2，y1＝﹣y2，∵y＝2x2+4x﹣2＝2（x+1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣4），∴A点和B点在第一、三象限，设A点在第一象限，∴B点坐标为（﹣x1，﹣y1），∴y1＝2x12+4x1﹣2，﹣y1＝2x12﹣4x1﹣2，∴x1＝1，∴y1＝4，∴A（1，4）与B（﹣1，﹣4），∴AB=(1+1)2答案：217．14．已知抛物线y＝ax2+bx+1经过点（1，﹣2），（﹣2，13）．（1）求a，b的值．（2）若（5，y1），（m，y2）是抛物线上不同的两点，且y2＝12﹣y1，求m的值．解：（1）把点（1，﹣2），（﹣2，13）代入y＝ax2+bx+1得，−2=a+b+113=4a−2b+1解得：a=1b=−4（2）由（1）得函数解析式为y＝x2﹣4x+1，把x＝5代入y＝x2﹣4x+1得，y1＝6，∴y2＝12﹣y1＝6，∵y1＝y2，且对称轴为直线x＝2，∴m＝4﹣5＝﹣1．15．（易错题）已知点（﹣m，0）和（3m，0）在二次函数y＝ax2+bx+3（a，b是常数，a≠0）的图象上．（1）当m＝﹣1时，求a和b的值；（2）若二次函数的图象经过点A（n，3）且点A不在坐标轴上，当﹣2＜m＜﹣1时，求n的取值范围；（3）求证：b2+4a＝0．解：（1）当m＝﹣1时，二次函数y＝ax2+bx+3图象过点（1，0）和（﹣3，0），∴a+b+3=09a−3b+3=0∴解得a=−1b=−2∴a的值是﹣1，b的值是﹣2；（2）∵y＝ax2+bx+3图象过点（﹣m，0）和（3m，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝m，∵y＝ax2+bx+3的图象过点A（n，3），（0，3），且点A不在坐标轴上，∴由图象的对称性得n＝2m，∴m=n∵﹣2＜m＜﹣1，∴﹣2＜n∴﹣4＜n＜﹣2；（3）证明：∵抛物线过（﹣m，0），（3m，0），∴抛物线对称轴为直线x=−m+3m2∴−b2a∴b＝﹣2am，把（﹣m，0），（3m，0）代入y＝ax2+bx+3得：am①×3+②得：12am2+12＝0，∴am2+1＝0，∴b2+4a＝（﹣2am）2+4a＝4a（am2+1）＝4a×0＝0．16．若抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为4．对称轴为直线x＝2，P为这条抛物线的顶点，则点P关于x轴的对称点的坐标是（）A．（2，4） B．（﹣2，4） C．（﹣2，﹣4） D．（2，﹣4）解：设抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点坐标为（x1，0），（x2，0），∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为4．对称轴为直线x＝2，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，−b∴（−b1）2﹣4×c解得c＝0，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，∴顶点P的坐标为（2，﹣4），∴点P关于x轴的对称点的坐标是（2，4），答案：A．题型03抛物线与x轴的交点题型03抛物线与x轴的交点17．二次函数y＝x2+x+c的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，点P（m，n）是图象上一点，那么下列判断正确的是（）A．当n＜0时，m＜0 B．当n＞0时，m＞x2 C．当n＜0时，x1＜m＜x2 D．当n＞0时，m＜x1解：∵a＝1＞0，∴开口向上，∵抛物线的对称轴为：x=−b二次函数y＝x2+x+c的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，无法确定x1与x2的正负情况，∴当n＜0时，x1＜m＜x2，但m的正负无法确定，故A错误，C正确；当n＞0时，m＜x1或m＞x2，故B，D错误，答案：C．18．（易错题）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0）、（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0），在x轴下方，则下列判断正确的是（）A．a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0 B．a＞0 C．b2﹣4ac≥0 D．x1＜x0＜x2解：A、当a＞0时，∵点M（x0，y0），在x轴下方，∴x1＜x0＜x2，∴x0﹣x1＞0，x0﹣x2＜0，∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0；当a＜0时，若点M在对称轴的左侧，则x0＜x1＜x2，∴x0﹣x1＜0，x0﹣x2＜0，∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0；若点M在对称轴的右侧，则x1＜x2＜x0，∴x0﹣x1＞0，x0﹣x2＞0，∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0；综上所述，a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，故本选项正确；B、a的符号不能确定，故本选项错误；C、∵函数图象与x轴有两个交点，∴Δ＞0，故本选项错误；D、x1、x0、x2的大小无法确定，故本选项错误．答案：A．19．二次函数y＝x2﹣2x﹣3与x轴两交点之间的距离为4．解：当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0．解得x1＝﹣1，x2＝3，∴|x1﹣x2|＝4．20．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A、B（m+2，0）与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为（m，c），则点A的坐标是（﹣2，0）．解：令x＝0，得到x＝c，∴C（0，c），∵D（m，c），得函数图象的对称轴是直线x=m设A点坐标为（x，0），由A、B关于对称轴x=mx+m+22解得x＝﹣2，即A点坐标为（﹣2，0），答案：（﹣2，0）．21．在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，m）和B（5，m）是抛物线y＝x2+bx+1上的两点，将抛物线y＝x2+bx+1向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为4．解：∵点A（﹣1，m）和B（5，m）是抛物线y＝x2+bx+1上的两点，∴−b解得，b＝