专题03 一元二次方程根系关系及应用-九年级数学上册（解析版）VIP

专题03一元二次方程根系关系及应用考点1：根与系数关系；考点2：利用根与系数关系求值；考点3：根的判别式。题型01根与系数关系题型01根与系数关系1．设方程x2﹣3x+2＝0的两根分别是x1，x2，则x1+x2的值为（）A．3 B．−32 C．3解：由x2﹣3x+2＝0可知，其二次项系数a＝1，一次项系数b＝﹣3，由根与系数的关系：x1+x2=−b答案：A．2．（易错题）已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，则m的值是（）A．34 B．30 C．30或34 D．30或36解：当a＝4时，b＜8，∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，∴4+b＝12，∴b＝8不符合；当b＝4时，a＜8，∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，∴4+a＝12，∴a＝8不符合；当a＝b时，∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，∴12＝2a＝2b，∴a＝b＝6，∴m+2＝36，∴m＝34；答案：A．3．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数p，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（）A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0解：设此方程的两个根是α、β，根据题意得：α+β＝﹣p＝﹣2，αβ＝q＝﹣20，则以α、β为根的一元二次方程是x2+2x﹣20＝0．答案：B．4．关于x的方程x2﹣x﹣1＝0的两根分别为x1、x2，则x1+x2﹣x1•x2的值为2．解：∵关于x的方程x2﹣x﹣1＝0的两根分别为x1、x2，∴x1•x2＝﹣1，x1+x2＝1，∴x1+x2﹣x1•x2＝1﹣（﹣1）＝2，答案：2．5．平行四边形的两条邻边的长分别是方程x2﹣7x+1＝0的两根，则该平行四边形的周长是14．解：∵平行四边形的两条邻边的长分别是方程x2﹣7x+1＝0的两根，∴平行四边形的两条邻边的长的和是7，故该平行四边形的周长是7×2＝14．答案：14．6．在解一元二次方程x2+bx+c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝2，x2＝3；小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝1，x2＝5．请你写出正确的一元二次方程x2﹣6x+6＝0．解：根据题意得2×3＝c，1+5＝﹣b，解得b＝﹣6，c＝6，所以正确的一元二次方程为x2﹣6x+6＝0．答案：x2﹣6x+6＝0．题型02利用根与系数关系求值题型02利用根与系数关系求值7．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x12+x22＝5，则k的值是（）A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1解：∵关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，∴x1+x2＝k，x1x2＝k﹣3，∵x12+x22＝5，∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝5，∴k2﹣2（k﹣3）＝5，整理得出：k2﹣2k+1＝0，解得：k1＝k2＝1，答案：D．8．（易错题）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2023＝0的两个实数根，则代数式x13﹣2023x1+x22的值是（）A．4047 B．4046 C．2023 D．1解：把x＝x1代入方程得：x12﹣x1﹣2023＝0，即x12﹣2023＝x1，∵x1，x2是方程x2﹣x﹣2023＝0的两个实数根，∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣2023，则原式＝x1（x12﹣2023）+x22＝x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝1+4046＝4047．答案：A．9．已知a，b是方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，则代数式2a3﹣6a2+b2+7b+1的值是（）A．﹣25 B．﹣24 C．35 D．36解：∵a，b是方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，∴a2﹣3a﹣5＝0，b2﹣3b﹣5＝0，a+b＝3,∴a2﹣3a＝5，b2＝3b+5，∴2a3﹣6a2+b2+7b+1＝2a（a2﹣3a)+3b+5+7b+1＝10a+10b+6＝10(a+b)+6＝10×3+6＝36．答案：D．10．（易错题）关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根x1、x2，若x2＝2x1，则4b﹣9ac的最大值是（）A．1 B．2 C．3 D．2解：∵关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根x1、x2，∴x1+x2=−ba，x1x2∵x2＝2x1，∴3x1=−ba，即x1∴x2=−2b∴ca∴9ac＝2b2，∴4b﹣9ac＝4b﹣9a•2b29a=4b﹣2b2＝﹣2（∵﹣2＜0，∴4b﹣9ac的最大值是2，答案：D．11．α、β是关于x的方程x2﹣x+k﹣1＝0的两个实数根，且α2﹣2α﹣β＝4，则k的值为﹣4．解：∵α、β是方程x2﹣x+k﹣1＝0的根，∴α2﹣α+k﹣1＝0，α+β＝1，∴α2﹣2α﹣β＝α2﹣α﹣（α+β）＝﹣k+1﹣1＝﹣k＝4，∴k＝﹣4，答案：﹣4．12．（易错题）设x1，x2是方程x2﹣x﹣2023＝0的两实数根，则x13+202解：∵x2﹣x﹣2023＝0，∴x2＝x+2023，x＝x2﹣2023，又∵x1，x2是方程x2﹣x﹣2023＝0的两实数根，∴x1+x2＝1，∴x＝x1•x12+2023x2+x2＝x1•（x1+2023）+2023x2+x2﹣2023，＝（x1+2023）+2023x1+2023x2+x2﹣2023，＝x1+x2+2023（x1+x2）+2023﹣2023，＝1+2023，＝2024，答案：2024．13．若m，n是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，则m3+m解：m，n是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，∴m2+3m﹣1＝0，∴3m﹣1＝﹣m2，∴m+n＝﹣3，∴m3答案：3．14．对于实数a，b，定义运算“a*b=a2−ab(a＞b)ab−b2(a≤b)”例如4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣8x+16＝0的两个根，则x解：x2﹣8x+16＝0，解得：x＝4，即x1＝x2＝4，则x1*x2＝x1•x2﹣x22＝16﹣16＝0，答案：0．15．（易错题）已知关于x，y的方程组ax+23y=−103（1）求a，b的值；（2）若一个三角形的一条边的长为26，另外两条边的长是关于x的方程x2+ax+b＝0的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．解：（1）由题意得，关于x，y的方程组的相同解，就是方程组x+y=4x−y=2解得，x=3y=1，代入原方程组得，a＝﹣43，b（2）该三角形是等腰直角三角形，理由如下：当a＝﹣43，b＝12时，关于x的方程x2+ax+b＝0就变为x2﹣43x+12＝0，解得，x1＝x2＝23，又∵（23）2+（23）2＝（26）2，∴以23、23、26为边的三角形是等腰直角三角形．题型03根的判别式题型03根的判别式16．关于x的一元二次方程x2+2ax+a2﹣1＝0的根的情况是（）A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．实数根的个数与实数a的取值有关解：∵Δ＝（2a）2﹣4×1×（a2﹣1）＝4a2﹣4a2+4＝4＞0．∴关于x的一元二次方程x2+2ax+a2﹣1＝0有两个不相等的实数根．答案：C．17．对于实数a，b定义新运算：a※b＝ab2﹣b，若关于x的方程1※x＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围（）A．k＞−14 B．k＜−14 C．k＞−14且k≠0 解：根据定义新运算，得x2﹣x＝k，即x2﹣x﹣k＝0，∵关于x的方程1※x＝k有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣1）2﹣4×（﹣k）＞0，解得：k＞−1答案：A．18．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c＝0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A．a＝c B．a＝b C．b＝c D．a＝b＝c解：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝0，又a+b+c＝0，即b＝﹣a﹣c，代入b2﹣4ac＝0得（﹣a﹣c）2﹣4ac＝0，即（a+c）2﹣4ac＝a2+2ac+c2﹣4ac＝a2﹣2ac+c2＝（a﹣c）2＝0，∴a＝c．答案：A．19．若一元二次方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为1．解：根据题意得Δ＝22﹣4×1×k＝0，即4﹣4k＝0解得k＝1．答案：1．20．关于x的一元二次方程ax2+bx+14=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a＝4，b解：关于x的一元二次方程ax2+bx+1∴Δ＝b2﹣4×14a＝b2﹣∴a＝b2，当b＝2时，a＝4，故b＝2，a＝4时满足条件．答案：4，2．21．（易错题）若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于x的方程x2﹣6x+n＝0的两个根，则n的值为8或9．解：当4为腰长时，将x＝4代入x2﹣6x+n＝0，得：42﹣6×4+n＝0，解得：n＝8，当n＝8时，原方程为x2﹣6x+8＝0，解得：x1＝2，x2＝4，∵2+4＞4，∴n＝8符合题意；当4为底边长时，关于x的方程x2﹣6x+n＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝（﹣6）2﹣4×1×n＝0，解得：n＝9，当n＝9时，原方程为x2﹣6x+9＝0，解得：x1＝x2＝3，∵3+3＝6＞4，∴n＝9符合题意．∴n的值为8或9．答案：8或9．22．我们规定：对于任意实数a、b、c、d有[a，b]*[c，d]＝ac﹣bd，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：[3，2]*[5，1]＝3