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文档简介
专题03一元二次方程根系关系及应用考点1:根与系数关系;考点2:利用根与系数关系求值;考点3:根的判别式。题型01根与系数关系题型01根与系数关系1.设方程x2﹣3x+2=0的两根分别是x1,x2,则x1+x2的值为()A.3 B.−32 C.3解:由x2﹣3x+2=0可知,其二次项系数a=1,一次项系数b=﹣3,由根与系数的关系:x1+x2=−b答案:A.2.(易错题)已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4,且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2=0的两根,则m的值是()A.34 B.30 C.30或34 D.30或36解:当a=4时,b<8,∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2=0的两根,∴4+b=12,∴b=8不符合;当b=4时,a<8,∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2=0的两根,∴4+a=12,∴a=8不符合;当a=b时,∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2=0的两根,∴12=2a=2b,∴a=b=6,∴m+2=36,∴m=34;答案:A.3.在解一元二次方程x2+px+q=0时,小红看错了常数项q,得到方程的两个根是﹣3,1.小明看错了一次项系数p,得到方程的两个根是5,﹣4,则原来的方程是()A.x2+2x﹣3=0 B.x2+2x﹣20=0 C.x2﹣2x﹣20=0 D.x2﹣2x﹣3=0解:设此方程的两个根是α、β,根据题意得:α+β=﹣p=﹣2,αβ=q=﹣20,则以α、β为根的一元二次方程是x2+2x﹣20=0.答案:B.4.关于x的方程x2﹣x﹣1=0的两根分别为x1、x2,则x1+x2﹣x1•x2的值为2.解:∵关于x的方程x2﹣x﹣1=0的两根分别为x1、x2,∴x1•x2=﹣1,x1+x2=1,∴x1+x2﹣x1•x2=1﹣(﹣1)=2,答案:2.5.平行四边形的两条邻边的长分别是方程x2﹣7x+1=0的两根,则该平行四边形的周长是14.解:∵平行四边形的两条邻边的长分别是方程x2﹣7x+1=0的两根,∴平行四边形的两条邻边的长的和是7,故该平行四边形的周长是7×2=14.答案:14.6.在解一元二次方程x2+bx+c=0时,小明看错了一次项系数b,得到的解为x1=2,x2=3;小刚看错了常数项c,得到的解为x1=1,x2=5.请你写出正确的一元二次方程x2﹣6x+6=0.解:根据题意得2×3=c,1+5=﹣b,解得b=﹣6,c=6,所以正确的一元二次方程为x2﹣6x+6=0.答案:x2﹣6x+6=0.题型02利用根与系数关系求值题型02利用根与系数关系求值7.已知关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3=0的两个实数根分别为x1,x2,且x12+x22=5,则k的值是()A.﹣2 B.2 C.﹣1 D.1解:∵关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3=0的两个实数根分别为x1,x2,∴x1+x2=k,x1x2=k﹣3,∵x12+x22=5,∴(x1+x2)2﹣2x1x2=5,∴k2﹣2(k﹣3)=5,整理得出:k2﹣2k+1=0,解得:k1=k2=1,答案:D.8.(易错题)已知x1,x2是方程x2﹣x﹣2023=0的两个实数根,则代数式x13﹣2023x1+x22的值是()A.4047 B.4046 C.2023 D.1解:把x=x1代入方程得:x12﹣x1﹣2023=0,即x12﹣2023=x1,∵x1,x2是方程x2﹣x﹣2023=0的两个实数根,∴x1+x2=1,x1x2=﹣2023,则原式=x1(x12﹣2023)+x22=x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1x2=1+4046=4047.答案:A.9.已知a,b是方程x2﹣3x﹣5=0的两根,则代数式2a3﹣6a2+b2+7b+1的值是()A.﹣25 B.﹣24 C.35 D.36解:∵a,b是方程x2﹣3x﹣5=0的两根,∴a2﹣3a﹣5=0,b2﹣3b﹣5=0,a+b=3,∴a2﹣3a=5,b2=3b+5,∴2a3﹣6a2+b2+7b+1=2a(a2﹣3a)+3b+5+7b+1=10a+10b+6=10(a+b)+6=10×3+6=36.答案:D.10.(易错题)关于x的方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根x1、x2,若x2=2x1,则4b﹣9ac的最大值是()A.1 B.2 C.3 D.2解:∵关于x的方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根x1、x2,∴x1+x2=−ba,x1x2∵x2=2x1,∴3x1=−ba,即x1∴x2=−2b∴ca∴9ac=2b2,∴4b﹣9ac=4b﹣9a•2b29a=4b﹣2b2=﹣2(∵﹣2<0,∴4b﹣9ac的最大值是2,答案:D.11.α、β是关于x的方程x2﹣x+k﹣1=0的两个实数根,且α2﹣2α﹣β=4,则k的值为﹣4.解:∵α、β是方程x2﹣x+k﹣1=0的根,∴α2﹣α+k﹣1=0,α+β=1,∴α2﹣2α﹣β=α2﹣α﹣(α+β)=﹣k+1﹣1=﹣k=4,∴k=﹣4,答案:﹣4.12.(易错题)设x1,x2是方程x2﹣x﹣2023=0的两实数根,则x13+202解:∵x2﹣x﹣2023=0,∴x2=x+2023,x=x2﹣2023,又∵x1,x2是方程x2﹣x﹣2023=0的两实数根,∴x1+x2=1,∴x=x1•x12+2023x2+x2=x1•(x1+2023)+2023x2+x2﹣2023,=(x1+2023)+2023x1+2023x2+x2﹣2023,=x1+x2+2023(x1+x2)+2023﹣2023,=1+2023,=2024,答案:2024.13.若m,n是一元二次方程x2+3x﹣1=0的两个实数根,则m3+m解:m,n是一元二次方程x2+3x﹣1=0的两个实数根,∴m2+3m﹣1=0,∴3m﹣1=﹣m2,∴m+n=﹣3,∴m3答案:3.14.对于实数a,b,定义运算“a*b=a2−ab(a>b)ab−b2(a≤b)”例如4*2,因为4>2,所以4*2=42﹣4×2=8.若x1,x2是一元二次方程x2﹣8x+16=0的两个根,则x解:x2﹣8x+16=0,解得:x=4,即x1=x2=4,则x1*x2=x1•x2﹣x22=16﹣16=0,答案:0.15.(易错题)已知关于x,y的方程组ax+23y=−103(1)求a,b的值;(2)若一个三角形的一条边的长为26,另外两条边的长是关于x的方程x2+ax+b=0的解.试判断该三角形的形状,并说明理由.解:(1)由题意得,关于x,y的方程组的相同解,就是方程组x+y=4x−y=2解得,x=3y=1,代入原方程组得,a=﹣43,b(2)该三角形是等腰直角三角形,理由如下:当a=﹣43,b=12时,关于x的方程x2+ax+b=0就变为x2﹣43x+12=0,解得,x1=x2=23,又∵(23)2+(23)2=(26)2,∴以23、23、26为边的三角形是等腰直角三角形.题型03根的判别式题型03根的判别式16.关于x的一元二次方程x2+2ax+a2﹣1=0的根的情况是()A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.实数根的个数与实数a的取值有关解:∵Δ=(2a)2﹣4×1×(a2﹣1)=4a2﹣4a2+4=4>0.∴关于x的一元二次方程x2+2ax+a2﹣1=0有两个不相等的实数根.答案:C.17.对于实数a,b定义新运算:a※b=ab2﹣b,若关于x的方程1※x=k有两个不相等的实数根,则k的取值范围()A.k>−14 B.k<−14 C.k>−14且k≠0 解:根据定义新运算,得x2﹣x=k,即x2﹣x﹣k=0,∵关于x的方程1※x=k有两个不相等的实数根,∴Δ=(﹣1)2﹣4×(﹣k)>0,解得:k>−1答案:A.18.定义:如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0,那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知ax2+bx+c=0(a≠0)是“凤凰”方程,且有两个相等的实数根,则下列结论正确的是()A.a=c B.a=b C.b=c D.a=b=c解:∵一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根,∴Δ=b2﹣4ac=0,又a+b+c=0,即b=﹣a﹣c,代入b2﹣4ac=0得(﹣a﹣c)2﹣4ac=0,即(a+c)2﹣4ac=a2+2ac+c2﹣4ac=a2﹣2ac+c2=(a﹣c)2=0,∴a=c.答案:A.19.若一元二次方程x2+2x+k=0有两个相等的实数根,则k的值为1.解:根据题意得Δ=22﹣4×1×k=0,即4﹣4k=0解得k=1.答案:1.20.关于x的一元二次方程ax2+bx+14=0有两个相等的实数根,写出一组满足条件的实数a,b的值:a=4,b解:关于x的一元二次方程ax2+bx+1∴Δ=b2﹣4×14a=b2﹣∴a=b2,当b=2时,a=4,故b=2,a=4时满足条件.答案:4,2.21.(易错题)若等腰三角形的一边长是4,另两边的长是关于x的方程x2﹣6x+n=0的两个根,则n的值为8或9.解:当4为腰长时,将x=4代入x2﹣6x+n=0,得:42﹣6×4+n=0,解得:n=8,当n=8时,原方程为x2﹣6x+8=0,解得:x1=2,x2=4,∵2+4>4,∴n=8符合题意;当4为底边长时,关于x的方程x2﹣6x+n=0有两个相等的实数根,∴Δ=(﹣6)2﹣4×1×n=0,解得:n=9,当n=9时,原方程为x2﹣6x+9=0,解得:x1=x2=3,∵3+3=6>4,∴n=9符合题意.∴n的值为8或9.答案:8或9.22.我们规定:对于任意实数a、b、c、d有[a,b]*[c,d]=ac﹣bd,其中等式右边是通常的乘法和减法运算,如:[3,2]*[5,1]=3
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