第13章《轴对称》知识讲练（教师版）

2023-2024学年人教版数学八年级上册章节知识讲练知识点01：轴对称1.轴对称图形和轴对称（1）轴对称图形

如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.（2）轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系区别:轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．2.线段的垂直平分线线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.知识点02：作轴对称图形（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.点（,）关于轴对称的点的坐标为（,－）；点（,）关于轴对称的点的坐标为（－,）；点（,）关于原点对称的点的坐标为（－,－）.知识点03：等腰三角形1.等腰三角形

（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性质①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.2.等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.（3）等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.3.直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023春•文山市期中）如图，△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AE＝3cm，△ADC的周长为8cm，则△ABC的周长是（）​A．14cm B．17cm C．19cm D．20cm【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DB，AB＝2AE＝6，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：∵DE是边AB的垂直平分线，∴DA＝DB，AB＝2AE＝6，∵△ADC的周长为8，∴AC+CD+AD＝AC+CD+DB＝AC+BC＝8，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝6+8＝14，故选：A．2．（2分）（2023春•福田区校级期末）如图，三座商场分别坐落在A、B、C所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在（）A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条高所在直线的交点 C．三角形三个内角的角平分线的交点 D．三角形三条边的垂直平分线的交点【分析】根据线段垂直平分线的性质进行判断．【解答】解：∵该地铁站到三座商场的距离相等，∴该地铁站应建在三角形三条边的垂直平分线的交点处．故选：D．3．（2分）（2022秋•晋州市期末）等腰三角形的顶角为40°，则底角的度数为（）A．25° B．60° C．70° D．140°【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得出答案．【解答】解：∵等腰三角形的顶角为40°，∴底角的度数为：，故选：C．4．（2分）（2022秋•西宁期末）如图，MN是线段AB的垂直平分线，点C在MN外，且与A点在MN的同一侧，连接BC交MN于点P，连接AP，则（）A．BC＞PC+AP B．BC＝PC+AP C．BC＜PC+AP D．BC≤PC+AP【分析】根据垂直平分线的性质可得PA＝PB，结合图形知BC＝PB+PC，通过等量代换得到答案．【解答】解：∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PA＝PB，∵BC＝PC+BP，∴BC＝PC+AP，故选：B．5．（2分）（2022秋•西宁期末）如图，直线l，m相交于点O．P为这两直线外一点，且OP＝3.6．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离不可能是（）A．8 B．7 C．6 D．5【分析】如图（见详解），连接OP1，PP1，OP2，PP2，P1P2，根据轴对称的性质和三角形三边关系可得结论．【解答】解：如图，连接OP1，PP1，OP2，PP2，P1P2，∵P1是P关于直线l的对称点，∴直线l是PP1的垂直平分线，∴OP1＝OP＝2.8，∵P2是P关于直线m的对称点，∴直线m是PP2的垂直平分线，∴OP2＝OP＝3.6．当P1，O，P2不在同一条直线上时，OP1﹣OP2＜P1P2＜OP1+OP2，即0＜P1P2＜7.2．当P1，O，P2在同一条直线上时，P1P2＝OP1+OP2＝7.2，∴P1，P2之间的距离不可能是8，故选：A．6．（2分）（2023春•永春县期末）如图为一张锐角三角形纸片ABC，小明想要通过折纸的方式折出如下线段：①BC边上的中线AD；②∠A的平分线AE；③BC边上的高AF．根据所学知识与相关活动经验可知：上述三条线中，能够通过折纸折出的有（）A．①②③ B．①② C．①③ D．②③【分析】根据三角形的中线，角平分线以及高的定义作答．【解答】解：①BC边上的中线AD：如图1，使点B、C重合，中点为点D，连接AD，此时AD即为BC边上的中线；②∠A的平分线AE：如图2，沿直线AE折叠，使AB与AC重叠，此时AE即为BC边上的角平分线；③BC边上的高AF：如图3，沿直线AF折叠，使BF与CF重合，此时AF即为BC边上的高．综上所述，所有能够通过折纸折出的有①②③．故选：A．7．（2分）（2022秋•岳麓区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，∠BCD＞∠CBD，BC＝24，P，Q分别是BD，BC上的动点，当CP+PQ取得最小值时，BQ的长是（）A．8 B．10 C．12 D．16【分析】作点Q关于BD的对称点H，则PQ＝PH，CP+PQ＝CP+PH，当C、H、P三点在同一直线上，且CH⊥AB时，CP+PQ＝CH为最短．【解答】解：如图，作点Q关于BD的对称点H，则PQ＝PH，BH＝BQ．∴CP+PQ＝CP+PH，∴当C、H、P三点在同一直线上，且CH⊥AB时，CP+PQ＝CH为最短．∵∠ABC＝60°，∴∠BCH＝30°，∴BH＝BC＝24＝12，∴BQ＝12．故选：C．8．（2分）（2023•洪泽区一模）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，若∠BAD＝α，则∠ACB的度数为（）A．45° B．α﹣45° C．α D．90°﹣α【分析】连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，依据∠BAC＝∠B'AC，∠DAE＝∠B'AE，即可得出∠CAE＝∠BAD＝，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到∠ACB＝∠ACB'＝90°﹣．【解答】解：如图，连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，∵点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，∴AC垂直平分BB'，∴AB＝AB'，∴∠BAC＝∠B'AC，∵AB＝AD，∴AD＝AB'，又∵AE⊥CD，∴∠DAE＝∠B'AE，∴∠CAE＝∠BAD＝，又∵∠AEB'＝∠AOB'＝90°，∴四边形AOB'E中，∠EB'O＝180°﹣，∴∠ACB'＝∠EB'O﹣∠COB'＝180°﹣﹣90°＝90°﹣，∴∠ACB＝∠ACB'＝90°﹣，故选：D．9．（2分）（2022秋•龙江县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE⊥AC于点E，交AB于点M且AE＝CE，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交DE于点F，连接CF交AB于点G．若CG＝FG，则∠B的度数为（）A．75° B．70° C．65° D．60°【分析】连接AF，根据垂直平分线的性质可得AF＝CF结合题意易证△AFC是等边三角形，根据等边三角形“三线合一”可得∠CAB＝30°，最后在△ABC中利用等腰三角形的性质和三角形内角和可求解．【解答】解：连接AF，∵DE⊥AC，AE＝CE，∴AF＝CF，由题意可知CF＝CA，∴AF＝CF＝CA，∴△AFC是等边三角形，∵CG＝FG，∴∠CAB＝∠CAF＝30°，∵AB＝AC，∴，故选：A．10．（2分）（2022秋•武昌区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝12，BC＝DC，∠A＝60°，点E在AD上，连接BD，CE相交于点F，CE∥AB．若CE＝9，则CF的长为（）A．4 B．5 C．6 D．8【分析】连接AC，先证明△ABC≌△ADC（SSS），根据全等三角形的性质可得∠BAC＝∠CAD，根据平行线的性质可得∠BAC＝∠ACE，进一步可得∠CAD＝∠ACE，可得EA＝EC＝9，根据AB＝AD，∠A＝60°，可知△ABD是等边三角形，从而可知△EFD是等边三角形，可知EF＝DE＝3，根据CF＝CE﹣EF求解即可．【解答】解：连接AC，∵AB＝AD＝12，BC＝DC，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC＝∠CAD，∵CE∥AB，∴∠BAC＝∠ACE，∴∠CAD＝∠ACE，∴EA＝EC，∵CE＝9，∴AE＝9，∴ED＝12﹣9＝3，∵AB＝AD，∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ABD＝∠ADB＝60°，∵CE∥AB，∴∠EFD＝∠ABD＝60°，∠FED＝∠A＝60°，∴△EFD是等边三角形，∴EF＝ED＝3，∴CF＝CE﹣EF＝9﹣3＝6，故选：C．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023•袁州区校级二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，图中线段上一动点E，若满足AE＝CE，AB＝6，∠BAC＝30°，则以AE为边长的正方形面积是9或．【分析】根据题意，点在线段AC的垂直平分线上，设AC的中点为M，根据点E在AC，AD，AB上，根据勾股定理解三角形，即可求解．【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，∴，∵AE＝CE，∴E在线段AC的垂直平分线上，设AC的中点为M，当点E在AC上时，则E，M重合，∵AE＝CE，AB＝AC＝6，∴，∴以AE为边长的正方形面积是9，当E在AD上时，如图所示，∵AE＝CE，AB＝AC＝6，∠BAC＝30°，∴∠DEC＝2∠DAC＝∠BAC＝30°，∴CE＝2CD，设AE＝EC＝a，则，，∴，在Rt△ADC中，AC2＝AD2+DC2，即，解得：，∴AE为边长的正方形面积是，当E点在AB上时，如图所示，则∠EAM＝∠ECM＝30°，∴，∴2EM＝EC，在Rt△CEM中，CE2＝CM2+EM2，即，解得：CE2＝12，∴以AE为边长的正方形面积是12．故答案为：9或或12．12．（2分）（2023春•达州期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝44°，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为B′，当B′D∥AC时，则∠BCD的度数为27°．【分析】先根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠B＝44°，再利用平行线的性质得∠ADB′＝∠A＝44°，接着根据轴对称的性质得到∠CDB′＝∠CDB，则可出∠CDB的度数，然后利用三角形内角和计算出∠BCD的度数．【解答】解：∵AC＝BC，∴∠A＝∠B＝44°，∵B′D∥AC，∴∠ADB′＝∠A＝44°，∵点B关于直线CD的对称点为B′，∴∠CDB′＝∠CDB＝（44°+180°）＝112°，∴∠BCD＝180°﹣∠B﹣∠CDB＝180°﹣44°﹣112°＝24°．故答案为：24°．13．（2分）（2022秋•晋州市期末）如图所示，图中所有的三角形都是等边三角形．若其中最小的等边三角形的边长为1cm，则图中涂有阴影的等边三角形的边长为4cm，周长为12cm，面积为4cm2．【分析】因为每个三角形都是等边的，从其中一个三角形入手，设△EFG与△EAD、△EDG的边长为acm，则△BND的边长为（a﹣1）cm，△GNH与△NIH的边长为（a﹣1）+a＝（2a﹣1）cm，△BKI的边长为（a﹣1）+（2a﹣1）＝（3a﹣2）cm，△CLK与△CLM的边长为（3a﹣2）﹣1＝（3a﹣3）cm，△AMF的边长为＝（3a﹣3）﹣1＝（3a﹣4）cm，根据题意得：AF＝AE+EF＝2EF＝2a，即2a＝3a﹣4，求出边长再计算周长、面积即可．【解答】解：如图所示：设△EFG与△EAD、△EDG的边长为acm，则△BND的边长为（a﹣1）cm，△GNH与△NIH的边长为（a﹣1）+a＝（2a﹣1）cm，△BKI的边长为（a﹣1）+（2a﹣1）＝（3a﹣2）cm，△CLK与△CLM的边长为（3a﹣2）﹣1＝（3a﹣3）cm，△AMF的边长为＝（3a﹣3）﹣1＝（3a﹣4）cm，根据题意得：AF＝AE+EF＝2EF＝2a，即2a＝3a﹣4，解得：a＝4，即阴影等边三角形的边长为4cm，∴周长为4×3＝12cm，作GX⊥EF，∵∠F＝∠FEG＝∠FGE＝60°，∴∠FGX＝30°，∴，∴，∴阴影等边三角形的面积为：．故答案为：4，12，．14．（2分）（2023春•渝中区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E是△ABC内的两点，AE平分∠BAC，∠D＝∠DBC＝60°，若BD＝10cm，DE＝6cm，则BC的长是16cm．【分析】延长AE，交BC于G，延长DE交BC于G，可得△BDG是等边三角形，得DG＝BD＝BG＝10cm，再根据等腰三角形的性质可得AH⊥BC，BC＝2BH，则GH＝GE＝2cm，从而解决问题．【解答】解：延长AE，交BC于H，延长DE交BC于G，∵∠D＝∠DBC＝60°，∴△BDG是等边三角形，∴DG＝BD＝BG＝10cm，∵DE＝6cm，∴EG＝4cm，∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴AH⊥BC，BC＝2BH，∴GH＝GE＝2cm，∴BH＝BG﹣GH＝8cm，∴BC＝2BH＝16cm，故答案为：16．15．（2分）（2022秋•湖里区校级期末）如图，所示，点O在一块直角三角板ABC上（其中∠ABC＝30°），OM⊥Ab于点M，0M⊥BC于点N；若OM＝ON，则∠ABO＝15度．【分析】方法一：根据OM⊥AB，ON⊥BC，可知∠OMB＝∠ONB＝90°，从而可证Rt△OMB≌Rt△ONB（HL），根据全等三角形的性质可得∠OBM＝∠OBN，即可求出∠ABO的度数．方法二：根据角平分线的判定定理求解即可．【解答】解：方法一：∵OM⊥AB，ON⊥BC，∴∠OMB＝∠ONB＝90°，在Rt△OMB和Rt△ONB中，，∴Rt△OMB≌Rt△ONB（HL），∴∠OBM＝∠OBN，∵∠ABC＝30°，∴∠ABO＝15°．方法二：∵OM⊥AB，ON⊥BC，又∵OM＝ON，∴OB平分∠ABC，∴∠OBM＝∠OBN，∵∠ABC＝30°，∴∠ABO＝15°．故答案为：15．16．（2分）（2022秋•龙潭区校级期末）如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，AD⊥AB交BC于点D，BC＝30，则AD＝10．【分析】由三角形的内角和定理可求∠BAC＝120°，结合垂直的定义可求得∠CAD＝30°，BD＝2AD，进而可求得AD＝BC＝10，即可求解．【解答】解：∵∠B＝∠C＝30°，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∵AD⊥AB，∴∠BAD＝90°，∴∠CAD＝∠C＝30°，BD＝2AD，∴AD＝CD，∴AD＝BC＝10．故答案为：10．17．（2分）（2023•桐柏县一模）如图，点P是∠AOB内一点，OP＝m，∠AOB＝α，点P关于直线OA的对称点为点Q，关于直线OB的对称点为点T，连接QT，分别交OA，OB于点M，N，连接PM，PN，下列结论：①∠OTQ＝90°﹣α；②当α＝30°时，△PMN的周长为m；③0＜QT＜2m；④∠MPN＝180°﹣2α，其中正确的有①②③④（填序号）．【分析】根据轴对称的性质得出OQ＝OP，OT＝OP，∠QOM＝∠POM，∠PON＝∠TON，PM＝QM，PN＝TN，求出OQ＝OT＝OP，根据等腰三角形的性质得出∠OTQ＝∠OQT，求出∠QOT＝2α，再求出∠OTQ＝∠OQT＝（180°﹣∠QOT），即可判断①；根据PM＝QM，PN＝TN求出△PMN的周长＝MN+PN+PM＝QT，根据等边三角形的判定得出△QOT是等边三角形，根据等边三角形的性质得出OQ＝QT＝OP＝m，即可判断②；根据三角形的三边关系定理即可判断③；根据全等三角形的性质求出∠MPO＝∠OQM，∠NPO＝∠OTN，求出∠MPN＝∠MPO+∠NPO＝∠OQM+∠OTN＝180°﹣∠QOT，即可判断④．【解答】解：∵点P关于直线OA的对称点为点Q，关于直线OB的对称点为点T，∴OQ＝OP，OT＝OP，∠QOM＝∠POM，∠PON＝∠TON，PM＝QM，PN＝TN，∴OQ＝OT，∴∠OTQ＝∠OQT，∵∠AOB＝α，∴∠QOM+∠TON＝∠POM+∠PON＝∠AOB＝α，即∠QOT＝2α，∴∠OTQ＝∠OQT＝（180°﹣∠QOT）＝（180°﹣2α）＝90°﹣α，故①正确；∵PM＝QM，PN＝TN，∴△PMN的周长＝MN+PN+PM＝TN+MN+QM＝QT，∵α＝30°，∴∠QOT＝2α＝60°，∵OQ＝OT，∴△QOT是等边三角形，∴OQ＝QT，∴OQ＝OP＝m，∴QT＝m，∴△PMN的周长是m，故②正确；在△OQT中，0＜QT＜OQ+OT，∵OQ＝OT＝OP＝m，∴0＜QT＜2m，故③正确；在△QOM和△POM中，，∴△QOM≌△POM（SAS），∴∠MPO＝∠OQM，同理∠NPO＝∠OTN，∵∠QOT＝2α，∠OQM＝∠OTN，∴∠MPN＝∠MPO+∠NPO＝∠OQM+∠OTN＝180°﹣∠QOT＝180°﹣2α，故④正确．故答案为：①②③④．18．（2分）（2023•东莞市三模）如图，等腰△ABC的底边BC长为6，面积是30，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于点E，F，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为13．【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．【解答】解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝BC•AD＝×6×AD＝30，解得AD＝10，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝6+×6＝3+10＝13．故答案为：13．19．（2分）（2022秋•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，D在AB上，E在CB上，A，C关于DE的对称点分别是G，F，若F在AB上，DG⊥AB，DG＝+1，则DE的长是．【分析】连接CD，取AC的中点T，连接DT，过点E作EH⊥CD于H，根据三角形内角和定理得出∠A＝60°，根据翻折的性质及含30度角的直角三角形的性质得出，利用等边三角形的判定和性质得出DT＝AT＝TC，再由等腰三角形的判定和性质及勾股定理求解即可．【解答】解：连接CD，取AC的中点T，连接DT，过点E作EH⊥CD于H，∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠A＝90°﹣30°＝60°，由翻折的性质可知，，AC＝FG，∠ADE＝∠GDE，∠A＝∠G＝60°，∵DG⊥AB，∴∠GDF＝90°，∠DFG＝30°，∴FG＝AC＝2DG＝，，∵，∠A＝60°，∴△ADT是等边三角形，∴DT＝AT＝TC，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝90°﹣60°＝30°，∴∠DCE＝∠DFE＝60°，∵∠DFE＝∠B+∠FEB，∴∠FEB＝∠B＝30°，∴，∴，∵，∴，∵∠CDE＝∠EDF＝45°，∴．故答案为：．20．（2分）（2022秋•道县期末）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③OP＝OQ；④△CPQ为等边三角形；⑤∠AOB＝60°．其中正确的有①②④⑤．（注：把你认为正确的答案序号都写上）【分析】①根据全等三角形的判定方法，证出△ACD≌△BCE，即可得出AD＝BE，①正确．④先证明△ACP≌△BCQ，即可判断出CP＝CQ，即可得④正确；②根据∠PCQ＝60°，可得△PCQ为等边三角形，证出∠PQC＝∠DCE＝60°，得出PQ∥AE，②正确．③没有条件证出OP＝OQ，得出③错误；⑤∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°，⑤正确；即可得出结论．【解答】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC＝BC，∠ACD＝∠BCE，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，结论①正确．∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，又∵∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠BCD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠ACP＝∠BCQ＝60°，在△ACP和△BCQ中，∠ACP＝∠BCQ，∠CAP＝∠CBQ，AC＝BC，∴△ACP≌△BCQ（AAS），∴AP＝BQ，CP＝CQ，又∵∠PCQ＝60°，∴△PCQ为等边三角形，结论④正确；∴∠PQC＝∠DCE＝60°，∴PQ∥AE，结论②正确．∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠AEO，∴∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°，∴结论⑤正确．没有条件证出OP＝OQ，③错误；综上，可得正确的结论有4个：①②④⑤．故答案为：①②④⑤．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023春•福田区校级期末）如图，在所给正方形网格图中完成下列各题：（用直尺画图，保留痕迹）（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1；（2）在DE上画出点Q，使QA+QC最小；（3）求△ABC的面积．【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出格点△ABC关于直线DE对称的△A1B1C1；（2）连接CA1交DE于点Q，即可使QA+QC最小；（3）根据割补法利用网格即可求△ABC的面积．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，点Q即为所求；（3）△ABC的面积＝（1+3）×3﹣1×3﹣1×2＝6﹣1.5﹣1＝3.5．22．（6分）（2023春•汉阳区期末）如图1，D为BA延长线上一点，∠CAD的角平分线交BC垂直平分线于点E，交BC延长线上一点F．（1）作△AEC关于直线EF的轴对称图形△AEG；（2）求证：∠BEC＝∠BAC；（3）如图2，P为线段EF（不与E、F点重合）上异于A点的任一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小关系，并说明理由．【分析】（1）根据AF平分∠CAD，在AD上截取AG＝AC，连接EG，即可得出△AEG；（2）根据△CAE≌△GAE，得出EG＝EC，∠EGA＝∠ECA，证明EB＝EC，得出∠EBG＝∠EGA，证明∠ECA＝∠EBA，根据∠AHB＝∠AHC，结合三角形内角和定理，即可证明结论；（3）在AD上截取AM＝AC，连接PM，证明△PAC≌△PAM，得出PM＝PC，根据PM+PB＞BM，BM＝AB+AM，即可证明PB+PC＞AB+AC．【解答】（1）解：在AD上截取AG＝AC，连接EG，则△AEG即为所求，如图所示：∵AF平分∠CAD，∴∠CAF＝∠GAF，∴180°﹣∠CAF＝180°﹣∠GAF，即∠EAC＝∠EAG，∵AC＝AG，AE＝AE，∴△CAE≌△GAE（SAS），∴△AEG与△AEC关于直线EF对称；（2）证明：根据解析（1）可知△CAE≌△GAE，∴EG＝EC，∠EGA＝∠ECA，∵点E在BC的垂直平分线上，∴EB＝EC，∴EB＝EG，∴∠EBG＝∠EGA，∴∠ECA＝∠EBA，∵∠AHB＝∠AHC，∴180°﹣∠EBG﹣∠EHB＝180°﹣∠AHC﹣∠BAC，即∠BEC＝∠BAC；（3）解：PB+PC＞AB+AC；理由如下：在AD上截取AM＝AC，连接PM，如图所示：根据解析（1）可知，∠PAC＝∠PAM，∵AM＝AC，AP＝AP，∴△PAC≌△PAM，∴PM＝PC，∵PM+PB＞BM，BM＝AB+AM，∴PB+PC＞AB+AC．23．（8分）（2022秋•保康县期末）如图，在9×9的正方形网格中，△ABC三个顶点在格点上，每个小正方形的边长为1．（1）建立适当的平面直角坐标系后，若点A的坐标为（2，1），点C的坐标为（5，2），画出平面直角坐标系并写出点B的坐标；（2）直线l经过点A且与y轴平行，写出点B、C关于直线l对称点B1、C1的坐标；（3）直接写出BC上一点P（a，b）关于直线l对称点P1的坐标．【分析】（1）由点A的坐标为（2，1），可得点A向左平移2个单位长度，向下平移一个单位长度，即是坐标原点，建立平面直角坐标系，再写出点B的坐标即可；（2）根据轴对称的性质得到点B1、C1的坐标；（3）根据轴对称的性质得出点的坐标．【解答】解：（1）如图所示，B（4，4）；（2）如图所示，B1（0，4），C1（﹣1，2）；（3）解：∵点P1为BC上一点P（a，b）关于直线l的对称点，∴P1（4﹣a，b）．24．（8分）（2023春•揭东区期末）已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．（1）【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE＝DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．（2）【特例启发，解答题目】如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE＝DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．（3）【拓展结论，设计新题】在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．【分析】（1）由E为等边三角形AB边的中点，利用三线合一得到CE垂直于AB，且CE为角平分线，由ED＝EC，利用等边对等角及等腰三角形的性质得到一对角相等，利用等角对等边即可得证；（2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，由三角形ABC为等边三角形，得到三角形AEF为等边三角形，进而得到AE＝EF＝AF，BE＝FC，再由ED＝EC，以及等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形BDE与三角形EFC全等，利用全等三角形对应边相等得到DB＝EF，等量代换即可得证；（3）点E在AB延长线上时，如图所示，同理可得△DBE≌△EFC，由BC+DB求出CD的长即可．【解答】解：（1）当E为AB的中点时，AE＝DB；（2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，证明：∵△ABC为等边三角形，∴△AEF为等边三角形，∴AE＝EF，BE＝CF，∵ED＝EC，∴∠D＝∠ECD，∵∠DEB＝60°﹣∠D，∠ECF＝60°﹣∠ECD，∴∠DEB＝∠ECF，在△DBE和△EFC中，，∴△DBE≌△EFC（SAS），∴DB＝EF，则AE＝DB；（3）点E在AB延长线上时，作EF∥AC，则△EFB为等边三角形，如图所示，同理可得△DBE≌△CFE，∵AB＝1，AE＝2，∴BE＝1，∵DB＝FC＝FB+BC＝2，则CD＝BC+DB＝3．故答案为：（1）＝；（2）＝25．（8分）（2022秋•襄州区期末）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．（1）作出△ABC关于y轴的对称图形△A'B'C'；（2）写出点A'，B'，C'的坐标．（3）在y轴上找一点P，使PA+PC的长最短．【分析】（1）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，再收尾顺次连接即可得；（2）根据△A'B'C'各顶点的位置，写出其坐标即可；（3）连接PC，则PC＝PC′，根据两点之间线段最短，可得PA+PC的值最小．【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′为所求作；（2）由图可得，A′（1，5），B′（1，0），C′（4，3），故答案为：（1，5），（1，0），（4，3）；（3）如图所示，连接AC′，交y轴于点P，则点P即为所求作．26．（8分）（2022秋•潜江期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝60cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为ts．（1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？（2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？【分析】用含t的代数式表示出BP、BQ．（1）由于∠B＝60°，当BP＝BQ时，可得到关于t的一次方程，求解即得结论；（2）分两种情况进行讨论：当∠BQP＝90°时，当∠BPQ＝90°时．利用直角三角形中，含30°角的边间关系，得到关于t的一次方程，求解得结论．【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°，∵60÷2＝30，∴0≤t≤3，BP＝（6﹣2t）cm，BQ＝tcm．当BP＝BQ时，△PBQ为等边三角形即60﹣2t＝t，∴t＝20；当t＝20时，△PBQ为等边三角形；（2）若△PBQ为直角三角形，①当∠BQP＝90°时，BP＝2BQ，即60﹣2t＝2t，∴t＝15，②当∠BPQ＝90°时，BQ＝2BP，即t