高中数学第一章立体几何初步4第1课时空间图形的基本关系与公理1～3课时作业（含解析）北师大版必修2

第一章立体几何初步[课时作业][A组基础巩固]1．在空间中可以确定一个平面的条件是()A．两条直线 B．一个点和一条直线C．一个三角形 D．三个点解析：确定一个平面的条件有：不共线三点；直线和直线外一点；两条平行直线；两条相交直线．答案：C2．用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的表示是()A．A∈l，l∉α B．A∈l，lαC．Al，l⊄α D．Al，l∉α解析：点与直线的位置关系用“∈”、“∉”，直线与平面的位置关系用“”、“”．答案：B3．下列各图均是正六棱柱，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是()解析：在选项A，B，C中，由棱柱、正六边形、中位线的性质，知均有PS∥QR，即在此三个图形中P，Q，R，S共面，故选D.答案：D4．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，A1C与平面BDC1交于点M，BD与AC交于点A．M∈BC1 B．M∈DC1C．M∈C1O D．M∈B1B解析：因为M∈A1C，A1C平面A1ACC1，所以M∈平面A1ACC1.因为M∈平面BDC1，又因为平面A1ACC1∩平面BDC1＝C1O，所以M∈C1O.故选C.答案：C5.如图所示，点A∈α，B∉α，C∉α，则平面ABC与平面α的交点的个数是________个．解析：因为如果两个平面有一个公共点，那么它们必然相交，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线，所以平面ABC与平面α的交点有无数个．答案：无数6．下列图形的画法不正确的是________．①点A在平面α内②直线l在平面α内③直线l交平面α于点P解析：①③⑤正确，②直线l应画在表示平面的平行四边形内，④应画出α与β的交线．答案：②④7．在空间中：①球面上任意三点可以确定一个平面；②圆心和圆上任意两点确定一个平面；③平行四边形是平面图形．正确的说法是________(将你认为正确的说法的序号都填上)．解析：球面上的三点一定不共线，可以确定一个平面，①正确；圆心与圆上两点可能共线，不一定能确定一个平面，②错；平行四边形对边平行，可以确定一个平面，③正确．答案：①③8．给出下列说法：①和直线a都相交的两条直线在同一个平面内；②三条两两相交的直线一定在同一个平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两相交且不过同一点的四条直线共面．其中正确说法的序号是________．解析：和直线a都相交的两直线不一定在同一个平面内，故①错误；当三条直线共点时，三条直线不一定在同一平面内，故②错误；当三个点共线时，即使两个平面有在同一条直线上的三个公共点，这两个平面也不一定重合，故③错误；对于④可以证明，只有④正确．答案：④9.如图，在正方体ABCD­A′B′C′D′中，M，N分别是所在棱的中点，连接D′M并延长，交C′B′的延长线于点E，连接C′N并延长，交CB的延长线于点F.求证：直线EF平面BCC′B′.证明：∵B∈平面BCC′B′，C∈平面BCC′B′，∴直线BC平面BCC′B′.又∵C′N∩CB＝F，∴F∈CB，∴F∈平面BCC′B′.同理可得E∈平面BCC′B′.∴直线EF平面BCC′B′.10.如图，在底面是平行四边形的四棱锥S­ABCD中，O为AC，BD的交点，P，Q分别为△SAD，△SBC的重心．求证：S，P，O，Q四点共面．证明：如图，连接SP，SQ并延长，分别交AD，BC于点M，N，连接MN.因为P，Q分别为△SAD，△SBC的重心，所以M，N分别为AD，BC的中点，所以O∈MN.由棱锥的性质，知点S，M，N不共线，所以确定一个平面SMN，所以MN平面SMN，所以O∈平面SMN.又P∈SM，Q∈SN，SM平面SMN，SN平面SMN，所以P∈平面SMN，Q∈平面SMN，所以S，P，O，Q四点共面．[B组能力提升]1．在下列命题中，不是公理的是()A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线解析：根据平面的基本性质知，选项B为公理2，选项C为公理1，选项D为公理3.答案：A2．有一容积为1立方单位的正方体容器ABCD－A1B1C1D1，在棱AB、BB1及面对角线B1C的中点各有一小孔E、F、A.eq\f(1,2) B.eq\f(7,8)C.eq\f(11,12) D.eq\f(47,48)解析：当水面调整为△EB1C所在截面时，容器可装水的容积最大，最大容积为V＝1－eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(11,12).答案：C3．在四面体ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF∩GH＝P，则点P一定在直线________上．解析：∵EF∩GH＝P，EF⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.又GH⊂平面ACD，∴P∈平面ACD.∵平面ABC∩平面ACD＝AC，∴P∈AC.答案：AC4．如图，在这个正方体中：①BM与ED平行；②CN与BM是异面直线；③CN与BE是异面直线；④DN与BM是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是________．解析：观察图形，可知①③错误，②④正确．答案：②④5.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为AB中点，F为AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA证明：(1)分别连接EF，A1B，D1C，∵E，F分别是AB和AA1的中点，∴EF∥A1B且EF＝eq\f(1,2)A1B.又∵A1D1綊B1C1綊BC，四边形A1D1CB是平行四边形．∴A1B∥CD1.从而EF∥CD1.由推论3，EF与CD1确定一个平面．∴E，C，D1，F四点共面．(2)∵EF∥CD1，且EF＝eq\f(1,2)CD1.∴直线D1F和CE必相交．设D1F∩CE＝P.∵D1F⊂平面AA1D1D，P∈D1F，∴P∈平面AA1D1D.又CE⊂平面ABCD，P∈CE，∴P∈平面ABCD.即P是平面ABCD与平面AA1D1D的公共点．而平面ABCD∩平面AA1D1D＝AD，∴P∈AD，∴CE，D1F，DA三线共点．6．已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，M、N、P分别是棱AB、A1D1、BB1的中点，试作出过M、N、P解析：设M、N、P三点确定的平面为α，则α与平面AA1B1B的交线为直线MP，设MP∩A1B1＝R，则RN是α与平面A1B1C1D1的交线，设RN∩B1C1＝Q，连接PQ，则PQ是所要画的平面