高中数学苏教版必修5学案3-4-1基本不等式的证明

3.4.1基本不等式的证明[学习目标]1.理解基本不等式的内容及证明.2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式.知识点一重要不等式及证明如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)，请证明此结论.证明∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取“＝”.知识点二基本不等式1.内容：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，其中a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时，等号成立.2.证明：∵a＋b－2eq\r(ab)＝(eq\r(a))2＋(eq\r(b))2－2eq\r(a)·eq\r(b)＝(eq\r(a)－eq\r(b))2≥0.∴a＋b≥2eq\r(ab).∴eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，当且仅当a＝b时，等号成立.3.两种理解：(1)算术平均数与几何平均数：设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为eq\f(a＋b,2)，几何平均数为eq\r(ab)；基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.(2)几何意义：如图所示，以长度为a＋b的线段AB为直径作圆，在直径AB上取一点C，使AC＝a，CB＝b，过点C作垂直于直径AB的弦DD′，连接AD，DB，易证Rt△ACD∽Rt△DCB，则CD2＝CA·CB，即CD＝eq\r(ab).这个圆的半径为eq\f(a＋b,2)，显然它大于或等于CD，即eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，当且仅当点C与圆心O重合，即a＝b时，等号成立.知识点三基本不等式的常用推论(1)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2≤eq\f(a2＋b2,2)(a，b∈R)；(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号)；(3)当ab>0时，eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2；当ab<0时，eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≤－2；(4)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R).题型一利用基本不等式比较大小例1设0<a<b，则下列不等式中正确的是________.①a<b<eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)；②a<eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)<b；③a<eq\r(ab)<b<eq\f(a＋b,2)；④eq\r(ab)<a<eq\f(a＋b,2)<b.答案②解析方法一∵0<a<b，∴a<eq\f(a＋b,2)<b，排除①③两项.又eq\r(ab)－a＝eq\r(a)(eq\r(b)－eq\r(a))>0，即eq\r(ab)>a，排除④项，故填②.方法二取a＝2，b＝8，则eq\r(ab)＝4，eq\f(a＋b,2)＝5，所以a＜eq\r(ab)＜eq\f(a＋b,2)＜b.反思与感悟若给定的代数式中既有“和式”又有“积式”，这便是应用基本不等式的题眼，可考虑是否利用基本不等式解决；在应用基本不等式时一定要注意是否满足条件，即a＞0，b＞0，同时注意能否取等号.跟踪训练1若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是________.①a2＋b2＞2ab；②a＋b≥2eq\r(ab)；③eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＞eq\f(2,\r(ab))；④eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2.答案④解析对于①，应该为a2＋b2≥2ab，漏等号，故①错误；对于②，当a＜0，b＜0时，ab＞0，但a＋b＜2eq\r(ab)，故②不成立；对于③，当a＜0，b＜0时，ab＞0，故③不成立；对于④，∵ab＞0，则eq\f(b,a)＞0且eq\f(a,b)＞0，∴eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2，当且仅当eq\f(b,a)＝eq\f(a,b)，即a＝b时，取“＝”.故④正确.题型二用基本不等式证明不等式例2已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，证明：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)≥9.证明eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝eq\f(a＋b＋c,a)＋eq\f(a＋b＋c,b)＋eq\f(a＋b＋c,c)＝3＋(eq\f(b,a)＋eq\f(a,b))＋(eq\f(c,a)＋eq\f(a,c))＋(eq\f(c,b)＋eq\f(b,c))≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝b＝c＝eq\f(1,3)时，等号成立.反思与感悟在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.跟踪训练2已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，证明：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc.证明(1－a)(1－b)(1－c)＝(b＋c)(a＋c)(a＋b)≥2eq\r(bc)·2eq\r(ac)·2eq\r(ab)＝8abc.当且仅当b＝c＝a＝eq\f(1,3)时，等号成立.1.若0＜a＜1,0＜b＜1，且a≠b，则a＋b,2eq\r(ab)，2ab，a2＋b2中最大的一个是________.答案a＋b解析∵0＜a＜1,0＜b＜1，a≠b，∴a＋b＞2eq\r(ab)，a2＋b2＞2ab.∴四个数中最大的应从a＋b，a2＋b2中选择.而a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1).又∵0＜a＜1,0＜b＜1，∴a(a－1)＜0，b(b－1)＜0，∴a2＋b2－(a＋b)＜0，即a2＋b2＜a＋b，∴a＋b最大.2.设a、b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是________.答案4eq\r(2)解析∵a＋b＝3，∴2a＋2b≥2eq\r(2a·2b)＝2eq\r(2a＋b)＝2eq\r(8)＝4eq\r(2).3.不等式a2＋4≥4a中，等号成立的条件为________.答案a＝2解析令a2＋4＝4a，则a2－4a＋4＝0，∴a＝2.4.若a＞b＞1，P＝eq\r(lga·lgb)，Q＝eq\f(1,2)(lga＋lgb)，R＝lgeq\f(a＋b,2)，则它们的大小关系是________.答案R＞Q＞P解析∵a＞b＞1，∴lga＞lgb＞0，∴Q＞P，又Q＝eq\f(1,2)(lga＋lgb)＝eq\f(1,2)lgab＝lgeq\r(ab)＜lgeq\f(a＋b,2)＝R，∴R＞Q＞P.1.两个不等式a2＋b2≥2ab与eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取‘＝’”这句话的含义要有正确的理解.一方面：当a＝b时，eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)；另一方面：当eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)时，也有a＝b.2.由基本不等式变形得到的常见的结论(1)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2≤eq\f(a2＋b2,2)(a，b∈R)；(2)eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)≤