高中数学第二章推理与证明1.1合情推理学案新人教A选修2-2

合情推理导思1.什么是归纳推理？什么是类比推理？2．如何利用合情推理进行简单推理？1.归纳推理和类比推理归纳推理类比推理定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)特征归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理类比推理是由特殊到特殊的推理(1)如何提高归纳推理的结论的正确性？提示：尽可能多地归纳对象，当进行了完全归纳时，所得的结论一定是正确的．(2)如何提高类比推理的结论正确性？提示：准确判定两类对象有可类比性，即有类似特征，再得出新的结论往往是可靠的．2．合情推理(1)在数学研究中，合情推理有何作用？提示：在数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论．(2)在证明一个数学命题或结论之前，我们应该如何利用合情推理？提示：证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向，并且根据这个思路和方向去证明．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(×)提示：类比推理得到的结论也不一定正确．(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．(√)提示：由合情推理的定义可知其正确．(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(×)提示：平面中的三角形与空间中的三棱锥作为类比对象较为合适．2．(2021·南宁高二检测)已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S＝eq\f(底×高,2)，可推知扇形面积公式S扇等于()A.eq\f(r2,2)B．eq\f(l2,2)C．eq\f(1,2)lrD．不可类比【解析】选C.将扇形的弧类比为三角形的底边，则高类比为扇形的半径r，所以S扇＝eq\f(1,2)lr.3．(教材例题改编)某学生通过计算发现：21－1＝12能被12整除，32－1＝2×22能被22整除，43－1＝7×32能被32整除．由此猜想当n∈N*时，(n＋1)n－1能被n2整除．该学生的推理是________．(填“归纳推理”或“类比推理”)【解析】该学生的推理是从个别到一般的推理，所以是归纳推理．答案：归纳推理类型一归纳推理(数学抽象、逻辑推理)1．观察下列等式：12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，…照此规律，第n个等式可为________．【解析】12＝1，12－22＝－(1＋2)，12－22＋32＝1＋2＋3，12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)，…12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·(1＋2＋…＋n)＝(－1)n＋1·eq\f(n（n＋1）,2).答案：(－1)n＋1·eq\f(n（n＋1）,2)2．观察下列式子：1＋eq\f(1,22)<eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)<eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)<eq\f(7,4)，…，则可归纳出1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋1))2)小于()A．eq\f(n,n＋1)B．eq\f(2n－1,n＋1)C．eq\f(2n＋1,n＋1)D．eq\f(2n,n＋1)【解析】选C.由已知式子可知所猜测分式的分母为n＋1，分子为第n＋1个正奇数，即2n＋1，所以1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋1))2)<eq\f(2n＋1,n＋1).3．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，满足Sn＝6－2an＋1(n∈N*).(1)求a2，a3，a4的值；(2)猜想an的表达式．【解析】(1)因为a1＝3，且Sn＝6－2an＋1(n∈N*)，所以S1＝6－2a2＝a1＝3，解得a2＝eq\f(3,2)，又S2＝6－2a3＝a1＋a2＝3＋eq\f(3,2)，解得a3＝eq\f(3,4)，又S3＝6－2a4＝a1＋a2＋a3＝3＋eq\f(3,2)＋eq\f(3,4)，解得a4＝eq\f(3,8).(2)由(1)知a1＝3＝eq\f(3,20)，a2＝eq\f(3,2)＝eq\f(3,21)，a3＝eq\f(3,4)＝eq\f(3,22)，a4＝eq\f(3,8)＝eq\f(3,23)，…，猜想an＝eq\f(3,2n－1)(n∈N*).1．已知等式或不等式进行归纳推理的方法(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征；(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点；(4)运用归纳推理得出一般结论．2．数列中的归纳推理在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和．(1)通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；(2)根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解；(3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式．【补偿训练】数列5，9，17，33，x，…中的x等于________．【解析】因为4＋1＝5，8＋1＝9，16＋1＝17，32＋1＝33，猜测x＝64＋1＝65.答案：65类型二几何图形中的归纳推理(数学抽象、直观想象)1．如图，观察①、②、③的变化规律，则第④张图形应为()【解析】选C.由①、②、③可知，图形是逆时针方向旋转，所以第④张图形应为C.2．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n(n∈N*)个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()A．6n－2 B．8n－2 C．6n＋2 D．8n＋2【解析】选C.观察易知第1个“金鱼”图需要火柴棒8根，而第2个“金鱼”图比第1个“金鱼”图多的部分需要火柴棒6根，第3个“金鱼”图比第2个“金鱼”图多的部分需要火柴棒6根，…，由此可猜测第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数比第(n－1)个“金鱼”图需要火柴棒的根数多6，即各个“金鱼”图需要火柴棒的根数组成以8为首项，6为公差的等差数列{an}，易求得通项公式为an＝6n＋2(n∈N*).归纳推理在图形中的应用策略【补偿训练】1.把1，3，6，10，15，21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如图所示).则第七个三角形数是()A．27 B．28 C．29 D．30【解析】选B.把1，3，6，10，15，21，…依次记为a1，a2，a3，a4，a5，a6，…则可以得到a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，a6－a5＝6，所以a7－a6＝7，即a7＝a6＋7＝28.2．图(1)是棱长为1的小正方体，图(2)(3)是由这样的小正方体摆放而成的．按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第1层、第2层、第3层、…将第n层的小正方体的个数记为Sn.解答下列问题：(1)按照要求填表：n1234…Sn136…(2)S10＝________；(3)Sn＝________(n∈N*).【解析】第1层：1个；第2层：3个，即(1＋2)个；第3层：6个，即(1＋2＋3)个；第4层：10个，即(1＋2＋3＋4)个；…由此猜想，第n层的小正方体的个数为上一层的小正方体的个数加上n，所以Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(n（n＋1）,2)(n∈N*)，S10＝55.答案：(1)10(2)55(3)eq\f(n（n＋1）,2)类型三类比推理(逻辑推理)【典例】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.设a，b，c分别表示三条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．【思路导引】平面内三角形可以类比空间中四面体；三角形中两边垂直可以类比四面体中共顶点的三条棱两两垂直；三角形中边之间的关系可以类比四面体中各面的面积之间的关系.【解析】如题图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.设a，b，c分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.类似地，如图所示，在四面体P­DEF中，∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°.设S1，S2，S3和S分别表示△PDF，△PDE，△EDF和△PEF的面积，相当于直角三角形的两条直角边a，b和1条斜边c，图中的四面体有3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S.于是，类比勾股定理的结构，我们猜想S2＝Seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋Seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋Seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)).类比推理的一般步骤1．(2021·南宁高二检测)在等差数列{an}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N*)成立，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则存在的等式为________．【解析】利用类比推理，借助等比数列的性质，beq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(9))＝b1＋n·b17－n，可知存在的等式为b1b2…bn＝b1b2…b17－neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n<17，n∈N*)).答案：b1b2…bn＝b1b2…b17－neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n<17，n∈N*)).2．已知△ABC的边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，用S△ABC表示△ABC的面积，则S△ABC＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c).类比这一结论有：若三棱锥A­BCD的内切球半径为R，则三棱锥的体积VA­BCD＝________．【解析】内切圆半径req\o(→,\s\up7(类比))内切球半径R，三角形的周长：a＋b＋ceq\o(→,\s\up7(类比))三棱锥各面的面积和：S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD，三角形面积公式系数eq\f(1,2)eq\o(→,\s\up7(类比))三棱锥体积公式系数eq\f(1,3).所以类比得三棱锥体积VA­BCD＝eq\f(1,3)R(S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD).答案：eq\f(1,3)R(S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD)1．(2021·柳州高二检测)下列说法正确的是()A．类比推理是由特殊到一般的推理B．合情推理得到的结论是正确的C．归纳推理是由特殊到一般的推理D．合情推理得到的结论是错误的【解析】选C.A项错，因为类比推理是特殊到特殊的推理；B，D项错，因为合情推理得到的结论可能是正确的，也可能是错误的；C项正确，因为归纳推理是由特殊到一般或部分到整体的推理．2．数列eq\f(1,2)，－eq\f(1,4)，eq\f(1,8)，－eq\f(1,16)，…的一个通项公式可能是()A．(－1)neq\f(1,2n) B．(－1)neq\f(1,2n)C．(－1)n－1eq\f(1,2n) D．(－1)n－1eq\f(1,2n)【解析】eq\f(1,2)，－eq\f(1,4)，eq\f(1,8)，－eq\f(1,16)，…可得数列各项的绝对值是一个以eq\f(1,2)为首项，以eq\f(1,2)为公比的等比数列，又因为数列所有的奇数项为正，偶数项为负，故可用(－1)n－1来控制各项的符号，故数列eq\f(1,2)，－eq\f(1,4)，eq\f(1,8)，－eq\f(1,16)，…的一个通项公式为(－1)n－1eq\f(1,2n).3．观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为()【解析】选A.观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两阴影一空白，即得结果．4．如图是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“连线”表示化学键，按图中结构，知第n个图有________个原子，有________个化学键．【解析】第1，2，3个图形中，原子的个数依次为6，6＋4，6＋4×2，所以第n个图形有6＋4×(n－1)＝(4n＋2)个原子．第1，2，3个图形中，化学键的个数依次为6，6＋5，6＋5×2，所以第n个图形中化学键的个数为6＋5×(n－1)＝5n＋1.答案：(4n＋2)(5n＋1)5．已知数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))第一项a1＝2，且an＋1＝eq\f(n,n＋1)an(n＝1，2，3，4…)，(1)计算a2，a3，a4的值．(2)试猜想这个数列的通项公式(不用写出推导过程).【解析】(