（新课标）高考数学一轮总复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入43数系的扩充与复数的引入课时规范练理（含解析）新人教A版

4-3数系的扩充与复数的引入课时规范练(授课提示：对应学生用书第265页)A组基础对点练1．(2016·高考全国卷Ⅰ)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝(B)A．1 B．eq\r(2)\r(3) D．22．(2018·城阳区期末)已知i为虚数单位，记eq\x\to(z)为复数z的共轭复数，若z＝(1＋i)(2－i)，则|eq\x\to(z)|＝(B)A．4 B．eq\r(10)C．1 D．10解析：∵z＝(1＋i)(2－i)＝3＋i，∴|eq\x\to(z)|＝eq\r(32＋?－1?2)＝eq\r(10).3．(2017·高考山东卷)已知a∈R，i是虚数单位．若z＝a＋eq\r(3)i，z·eq\x\to(z)＝4，则a＝(A)A．1或－1 B．eq\r(7)或－eq\r(7)C．－eq\r(3) D．eq\r(3)4．(2018·连城县校级月考)若eq\f(1－i,1＋i)＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则a＋b的值是(C)A．1 B．0C．－1 D．－2解析：∵eq\f(1－i,1＋i)＝eq\f(?1－i?2,?1＋i??1－i?)＝－i＝a＋bi，∴a＝0，b＝－1.∴a＋b＝－1.5．(2017·高考全国卷Ⅲ)设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝(C)\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2)\r(2) D．26．(2018·龙凤区校级期末)若复数z满足iz＝2－2i(i为虚数单位)，则z的共轭复数在复平面内对应的点在(B)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：由iz＝2－2i，得z＝eq\f(2－2i,i)＝eq\f(?2－2i??－i?,－i2)＝－2－2i，∴eq\x\to(z)＝－2＋2i，则z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为(－2,2)，在第二象限．7．(2018·新乡期末)已知复数z满足1－z＝(2－i)2，则z的虚部为(A)A．4 B．4iC．－2 D．－2i解析：∵1－z＝(2－i)2，∴z＝1－(3－4i)＝－2＋4i，∴z的虚部为4.8．(2017·昆明七校调研)已知i为虚数单位，a∈R，如果复数2i－eq\f(ai,1－i)是实数，则a的值为(D)A．－4 B．2C．－2 D．49．(2018·内江期末)下面是关于复数z＝1＋i(i为虚数单位)的四个命题：①z对应的点在第一象限；②|eq\x\to(z)|＝2；③z2是纯虚数；④z>eq\x\to(z).其中真命题的个数为(B)A．1 B．2C．3 D．4解析：∵z＝1＋i，∴z对应的点的坐标为(1,1)，在第一象限，故①正确；|eq\x\to(z)|＝|z|＝eq\r(2)，故②错误；z2＝(1＋i)2＝2i，为纯虚数，故③正确；∵两虚数不能进行大小比较，故④错误．10．(2016·唐山统考)已知复数z满足z(1－eq\r(3)i)＝4(i为虚数单位)，则z＝(A)A．1＋eq\r(3)i B．－2－2eq\r(3)iC．－1－eq\r(3)i D．1－eq\r(3)i11．(2017·贵阳监测)设i为虚数单位，则复数z＝eq\f(5＋i,1－i)的共轭复数eq\x\to(z)为(A)A．2－3i B．－2－3iC．－2＋3i D．2＋3i12．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝(A)A．3＋4i B．5＋4iC．3－4i D．5－4i13．(2016·高考天津卷)已知a，b∈R，i是虚数单位．若(1＋i)(1－bi)＝a，则eq\f(a,b)的值为2.解析：(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，所以b＝1，a＝2，eq\f(a,b)＝2.14．(2016·高考天津卷)i是虚数单位，复数z满足(1＋i)z＝2，则z的实部为1.解析：因为z＝eq\f(2,1＋i)＝1－i，所以z的实部是1.15．(2018·安顺期末)已知复数z＝eq\f(8－6i,\r(3)＋i)(i为虚数单位)，则|z|＝5.解析：∵z＝eq\f(8－6i,\r(3)＋i)，∴|z|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(8－6i,\r(3)＋i)))＝eq\f(|8－6i|,|\r(3)＋i|)＝eq\f(10,2)＝5.16．(2017·郑州一中质检)若复数z＝eq\f(a＋i,i)(其中i为虚数单位)的实部与虚部相等，则实数a＝－1.解析：因为复数z＝eq\f(a＋i,i)＝eq\f(ai＋i2,i2)＝1－ai，所以－a＝1，即a＝－1.B组能力提升练1．已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝(C)A．－2－i B．－2＋iC．2－i D．2＋i2．(2017·天津模拟)若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为(D)A．－4 B．－eq\f(4,5)C．4 D．eq\f(4,5)3．设z＝eq\f(1,1＋i)＋i，则|z|＝(B)\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2)\f(\r(3),2) D．24．(2018·汕头期末)若复数(1－i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a是实数，则|1－a＋i|＝(D)A．0 B．1C．2 D．eq\r(2)解析：∵复数(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i的实部与虚部相等，其中a是实数，∴a＋1＝1－a，求得a＝0，则|1－a＋i|＝|1＋i|＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2).5．(2016·高考山东卷)若复数z＝eq\f(2,1－i)，其中i为虚数单位，则eq\x\to(z)＝(B)A．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－i6．(2018·鹤壁期末)在下列命题中，正确命题是(C)A．若z是虚数，则z2≥0B．若复数z2满足z2∈R，则z∈RC．若在复数集中分解因式，则有2x2－x＋1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1－\r(7)i,4)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1＋\r(7)i,4)))D．若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3解析：对于A，取z＝i，则z2＜0，故A错误；对于B，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，由z2∈R，则2ab＝0，即a＝0或b＝0，但z不一定为实数，故B错误；对于C,2x2－x＋1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(1,2)x＋\f(1,2)))，由x2－eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)＝0，得x＝eq\f(\f(1,2)±\f(\r(7),2)i,2)＝eq\f(1,4)±eq\f(\r(7),4)i，∴2x2－x＋1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1－\r(7)i,4)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1＋\r(7)i,4)))，故C正确；对于D，设z1＝1，z2＝i，z3＝－1，则(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，故D错误．7．如图，在复平面内，复数z1和z2对应的点分别是A和B，则eq\f(z2,z1)＝(C)\f(1,5)＋eq\f(2,5)i\f(2,5)＋eq\f(1,5)iC．－eq\f(1,5)－eq\f(2,5)iD．－eq\f(2,5)－eq\f(1,5)i8．(2016·河北三市联考)若复数z＝eq\f(a＋3i,i)＋a在复平面上对应的点在第二象限，则实数a可以是(A)A．－4 B．－3C．1 D．29．(2018·奎文区校级模拟)已知复数z满足条件|z－2－2i|＝1，则|z|的取值范围是(D)A．[2eq\r(2)－1,2eq\r(2)] B．[eq\r(2)，eq\r(2)＋1]C．[2eq\r(2)，2eq\r(2)＋1] D．[2eq\r(2)－1,2eq\r(2)＋1]解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，由条件|z－2－2i|＝1知，复数z对应的点的轨迹是以(2,2)为圆心，以1为半径的圆，如图，∴|z|的取值范围是[2eq\r(2)－1,2eq\r(2)＋1]．10．(2017·贵州遵义模拟)复数z＝4i2016－eq\f(5i,1＋2i)(其中i为虚数单位)在复平面内对应的点在(D)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限11．已知复数z＝(cosθ－isinθ)(1＋i)，则“z为纯虚数”的一个充分不必要条件是(C)A．θ＝eq\f(π,4) B．θ＝eq\f(π,2)C．θ＝eq\f(3π,4) D．θ＝eq\f(5π,4)12．已知复数|z|＝2，z1＝2－2i，则复数z和z1所对应的两点间的距离的最大值为(C)A．2eq\r(2) B．2eq\r(2)＋1C．2eq\r(2)＋2 D．2eq\r(2)＋313．(2018·石家庄期末)已知复数z＝eq\f(4＋2i,?1＋i?2)(i是虚数单位)在复平面内对应的点在直线x－2y＋m＝0上，则m＝－5.解析：∵z＝eq\f(4＋2i,?1＋i?2)＝eq\f(4＋2i,2i)＝eq\f(2＋i,i)＝eq\f(?2＋i??－i?,－i2)＝1－2i，∴z在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，则1－2×(－2)＋m＝0，即m＝－5.14．已知O为坐标原点，eq\o(OZ,\s\up7(→))1对应的复数为－3＋4i，eq\o(OZ,\s\up7(→))2对应的复数为2a＋i(a∈R)，若eq\o(OZ,\s\up7(→))1与eq\o(OZ,\s\up7(→))2共线，则a＝－eq\f(3,8).解析：由题知，eq\o(OZ,\s\up7(→))1＝(－3,4)，eq\o(OZ,\s\up7(→))2＝(2a,1)．因为eq\o(OZ,\s\up7(→))1与eq\o(OZ,\s\up7(→))2共线，所以存在实数k使eq\o(OZ,\s\up7(→))2＝keq\o(OZ,\s\up7(→))1，即(2a,1)＝k(－3,4)＝(－3k,4k)，解得k＝eq\f(1,4)，2a＝－3k，a＝－eq\f(3,8).15．若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ac,bd))＝ad－bc，则满足等式eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(z－i,1－i1＋i))＝0的复数z＝－1.解析：因为eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(z－i,1－i1＋i))＝0，所以z(1＋i)＝－i(1－i)