高等应用数学 课件 第8章 多元函数微分法及其应用

第8章多元函数微分法及其应用

§8.1多元函数§8.2偏导数§8.3全微分§8.4多元复合函数的导数与隐函数的导数§8.5多元函数的极值与最值§8.1多元函数

一、多元函数的概念

二、二元函数的极限

三、二元函数的连续性内容提要第一节多元函数MultipleFunction一、多元函数的概念第一节多元函数MultipleFunction以上两个例子的共同特点是：当两个变量在规定的范围内每取定一对数值时，按照确定的对应关系，另外一个变量总有唯一确定的值与之对应.第一节多元函数MultipleFunction二元函数z=f(x,y)在点的函数值记为：或例8.1.1已知求

解求函数在(1,1)处的函数值课堂练习解我们把二元以及二元以上的函数统称为多元函数.第一节多元函数MultipleFunction

一元函数的定义域一般来说是一个或几个区间，而二元函数的定义域通常则是由平面上一条或几条光滑曲线所围成的平面区域，围成区域的曲线称为该区域的边界,边界上的点称为边界点,包括边界在内的区域称为闭区域,不包括边界在内的区域称为开区域.如果一个区域总可以被包含在一个以原点为中心的圆域内，则称此区域为有界区域，否则称为无界区域．2.二元函数的定义域如果区域D可以被包含在某个以原点为圆心的圆内,则称D为有界区域;否则称之为无界区域.

与一元函数类似，确定二元函数的定义域时，也分为两种情况：

（1）当自变量和因变量具有实际意义时，我们以自变量的实际意义确定函数的定义域．

（2）当函数是用一般解析式表达，自变量没有明确的实际意义时，我们以使自变量有意义的范围作为函数的定义域．xO例8.1.2求二元函数的定义域。解

函数的表达式为偶次根式，要使函数有意义，自变量x,y应满足不等式所以函数的定义域为点集D在平面上表示以原点为圆心，1为半径的圆域（如右图所示），它是有界闭区域。例8.1.2求二元函数z=ln(x+y)的定义域.xO第一节多元函数MultipleFunction3.二元函数的几何意义设是定义在区域D上的一个二元函数，点集称为二元函数z=f(x,y)的图形.通常二元函数的图形是空间的一个曲面.二元函数z=1-x-y对应一个平面二元函数对应原点在原点，半径为R的上半球面第一节多元函数MultipleFunction

二、二元函数的极限定义8.1.2设是xOy平面上的一个点，δ是某一正数，与点距离小于δ的点的全体，称为点的δ邻域，记作，即将去掉后的点集称为点的去心的δ邻域，记作，即1.邻域和去心邻域的概念第一节多元函数MultipleFunction2．二元函数的极限第一节多元函数MultipleFunction注：1.二元函数z=f(x,y)当

时的极限为A，是指点(x,y)无论以任何方式趋于点时，f(x,y)都无限接近A.如果(x,y)以某一特殊方式，例如沿一条特定直线或曲线趋近于某一特定值，也不能判定函数的极限存在.2.反过来，如果当点(x,y)以不同方式趋于点时，f(x,y)趋向于不同的值，那么就可以判定函数z=f(x,y)当时的极限不存在.3.为了区别于一元函数的极限，我们称二元函数的极限为二重极限.

计算二重极限一般来说要比计算一元函数的极限更复杂也更困难，通常有以下几种计算方法：

（1）利用变量替换转化为一元函数求极限，再利用如：两个重要的极限，等价无穷小代换等求极限．

（2）若函数沿某条路径其极限不存在或沿不同的路径趋于不同的值，则可断定其极限不存在．解：令u=xy

例8.1.4求极限求极限解

课堂练习证令y=kx(k为常数），则显然，趋向数值随着k的不同而不同，故极限不存在.例8.1.5证明极限不存在.第一节多元函数MultipleFunction

三、二元函数的连续性1．二元函数连续的定义第一节多元函数MultipleFunction

三、二元函数的连续性2．二元初等函数的连续性与一元函数类似，二元连续函数经过四则运算和复合运算后仍为二元连续函数．由x和y的基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所构成的可用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数．可以证明，一切二元初等函数在其定义区域内是连续的．

与闭区间上一元连续函数的性质相类似，在有界闭区域D上连续的二元函数也有如下性质．

性质8.1.1(最值定理)在有界闭区域D上的二元连续函数，在D上一定有最大值和最小值．

性质8.1.2(有界性定理)在有界闭区域D上的二元连续函数在D上一定有界．

性质8.1.3(介值定理)在有界闭区域D上的二元连续函数，若在D上取得两个不同的函数值，则它在D上必取得介于这两个值之间的任何值至少一次．由二元初等函数的连续性可知，如果要求它在点

处的极限，而该点又在此函数的定义区域内，则该函数的极限值就等于函数在点P0的函数值，即解例8.1.6

求极限求极限课堂练习解1.多元函数的概念（1）理解二元函数的概念，会求二元函数的函数值（2）会求简单二元函数的定义域（3）理解二元函数的几何意义2.二元函数的极限（1）理解二元函数极限的概念（注意趋近方式的任意性）（2）会求简单二元函数的极限3.二元函数的连续性小结（1）理解二元函数连续的定义（2）会利用二元初等函数的连续性求极限第8章多元函数微分法及其应用

§8.1多元函数§8.2偏导数§8.3全微分§8.4多元复合函数的导数与隐函数的导数§8.5多元函数的极值与最值§8.2偏导数

一、偏导数的定义及其计算方法

二、高阶偏导数

内容提要第一节多元函数MultipleFunction一、偏导数的定义及其计算方法第一节多元函数MultipleFunction第一节多元函数MultipleFunction第一节多元函数MultipleFunction2.偏导数的求法第一节多元函数MultipleFunction

二、高阶偏导数第一节多元函数MultipleFunction第一节多元函数MultipleFunction第8章多元函数微分法及其应用

§8.1多元函数§8.2偏导数§8.3全微分§8.4多元复合函数的导数与隐函数的导数§8.5多元函数的极值与最值§8.3全微分

一、全微分的定义

二、全微分在近似计算中的应用内容提要第一节多元函数MultipleFunction一、全微分的定义图8-3第一节多元函数MultipleFunction第一节多元函数MultipleFunction例8.3.1求函数的全微分。解

因为且这两个偏导数连续,所以，例8.3.2计算函数在点（2,1）处的全微分.例8.3.3求的全微分.求函数的全微分课堂练习解二、全微分在近似计算中的应用例8.3.4利用全微分计算的近似值解因为圆柱体体积(其中r为底面半径，h为高)，所以例8.3.5要造一个无盖的圆柱形水槽，其内半径为2米，高为4米，厚度均为0.01米，求大约需用材料多少立方米？计算的近似值课堂练习解1.全微分的定义（1）理解全微分的定义（2）掌握可微的必要条件和充分条件（3）会求多元函数的全微分2.全微分在近似计算中的应用（1）理解全微分近似计算公式（2）会利用全微分计算近似值小结§8.4多元复合函数的导数与隐函数的导数

一、多元复合函数的导数

二、隐函数的导数内容提要第一节多元函数MultipleFunction一、多元复合函数的导数在一元函数微分学中，我们已经学过复合函数的的“链式求导法则”，现在把它推广到多元复合函数的情形.回顾一元函数复合函数求导法则：

基本思想：将复杂函数求导转化为若干简单函数求导。第一节多元函数MultipleFunction1.复合函数的中间变量为多元函数的情形

定理8.4.1如果函数

和

在点处的两个偏导数都存在，且其偏导数可用下列公式计算:，

处都存在偏导数，函数

在对应点

处具有连续偏导数，则复合函数

在点此运算法则称为二元复合函数求导的链式法则.二元复合函数变量间的依赖如图8.4.1所示.链式求导法则的函数变量之间的关系，可以类比于乘法原理和加法原理，观察从因变量到自变量的路径,不同类的路径用加法,同一路径的不同段之间用乘法．连线相乘分线相加图8.4.1例8.4.1设求和

解:例8.4.2设求和

解令

，则

，画出链式图，于是课堂练习设求和解画出链式图，于是2.复合函数的中间变量为一元函数的情形设

构成复合函数

，其变量间的依赖关系如图8.4.2所示.图8.4.2可导，函数

在对应点

处具有连续偏导数,

定理8.4.2如果函数

及

都在点

处则复合函数

在点处可导，则其导数可用下下列公式计算:导数

称为全导数.例8.4.3设求和

解:设

求全导数解:课堂练习3.其他情形处具有偏导数，

在对应点

处具有连续偏导数,

定理8.4.3设函数

在点

则复合函数

在点处两个偏导数存在，则其偏导数可用下列公式计算:，

二元复合函数变量间的依赖关系如图图8.4.38.4.3所示.例8.4.4设求和

解:第一节多元函数MultipleFunction二、隐函数的导数1.由方程确定的一元隐函数的导数．在一元函数微分学中，我们介绍了利用复合函数求导法求由方程所确定的一元隐函数的导数的的方法.下面根据多元复合函数微分法来导出由方程所确定的函数的导数的公式．将由方程所确定的隐函数代入该方程，得恒等式利用多元复合函数微分法,上述方程两端同时对求偏导，得若则2.方程所定的二元隐函数的偏导数．如果由方程确定了二元隐函数且连续及将代入则有恒等式利用多元复合函数微分法,上述方程两端分别对求偏导，得由于故例8.4.5求由方程所确定的隐函数的两个偏导数和解:设则有所以例8.4.6求由方程所确定的隐函数的偏导数所以解法一利用多元复合函数微分法，两端对求偏导，得则有解法二则有所以例8.4.7已知隐函数由方程所确定，求和解:设则有所以1.多元复合函数的导数（1）会利用二元复合函数的链式法则求偏导（2）会求全导数（3）掌握其他情形的多元复合函数求偏导数小结2.隐函数的导数（1）会求由方程确定的一元隐函数的偏导数（2）会求方程所确定的二元隐函数的偏导数§8.5多元函数的极值与最值

一、二元函数的极值

二、二元函数的最值内容提要

三、条件极值与拉格朗日乘数法第一节多元函数MultipleFunction一、二元函数的极值在许多实际问题中，常常遇到求多元函数的极值或者最大值、最小值的问题．1．极值与极值点的定义

定义8.5.1函数在点的某一邻域内定义，如果对于该邻域内异于的任意一点都有则称函数在点处有极大值称为函数的极大值点;如果都适合不等式则称函数在点处有极小值实例1函数在点处有极小值．因为对于点的邻域内异于的点都有从几何上看这是显然的，因为点是开口朝上的椭圆抛物面的顶点．实例2函数在点处有极大值．因为对于点的邻域内异于的点都有从几何上看这是显然的.实例3函数在点处既不取得极大值也不取得极小值．因为，而在点的任一邻域内，总有点使得和点使得成立．从几何上看，它表示双曲抛物面(马鞍面).如何求二元函数的极值呢？下面两个定理是关于二元函数极值问题的结论．2．极值存在的必要条件如果二元函数在点处取得极值，那么固定，一元函数在点处也必取得相同的极值；同理，固定，在点处也取得相同的极值．因此，由一元函数极值的必要条件，我们可以得到二元函数极值的必要条件．极值存在的必要条件与一元函数的情形类似，对于多元函数，能使所有的一阶偏导数同时为零的点称为函数的驻点．定理8.5.1设函数在点处取得极值，且在该点处的偏导数存在，则必有注（1）由定理8.5.1可知，具有偏导数的函数的极值点一定是驻点．（2）函数的驻点不一定是极值点.如:点是函数的驻点，但不是函数的极值点．（3）函数的极值点也不一定是驻点．如：函数在点处有极大值，但在点处的偏导数不存在(即不是驻点)．怎样判定一个驻点是否是极值点呢？下面的定理回答了这个问题．3．极值存在的充分条件定理8.5.2设函数在点的某一邻域内有连续一阶与二阶偏导数,且是一个驻点，即令则在点取得极值的条件如表所示：判别式是极大值是极小值不是极值不确定ABC法则（A）.有极大值（B）.有极小值（C）.不取极值（D）.可能取极值，也可能不取极值课堂练习B例8.5.1求

的极值。解:

得方程组解之得驻点为(0,0),(1,1)，又因为令

整理结果，各驻点对应的极值判别如表所示。由上表可知，(1,1)点是极小值点，f(1,1)=-1是函数的极小值．驻点

ABC0-30无极值6-36极小值例8.5.2求

的极值。解:

解方程组求得驻点为(1,0),(1,2),(-3,0),(-3,2),再求出二阶偏导数整理结果，各驻点对应的极值判别如表所示。驻点

ABC(1,0)1206(1,2)120-6无极值(-3,0)-1206无极值(-3,2)-120-6极小值极大值课堂练习求函数的极值.

函数解解方程组得驻点为(0,0),(2,2),驻点

ABC-82-242-2无极值是极大值由上表可知，(0,0)是极大值点，f(0,0)=0是函数的极大值．二、二元函数最值与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.1.多元函数极值的一些结论：（2）函数在闭区域的最值只能在驻点、偏导数不存在点及闭区域的边界上取得。（1）闭区域上的连续函数一定有最大值和最小值。(1)求出函数在D内部的驻点处的函数值驻点边界上的最值比较这些函数值的大小,最大的就是函数在D上的最大值,最小的就是函数在D上的最小值.（内点）（边界上）(3)