2017届山西大学附属高三上学期期中考试数学（文）

太原市知达常青藤中2016~2017学年高三第一学期11月（总第五次）模块诊断数学试题（文）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.2.已知复数满足，则（）A.B.C.D.3.若且，则（）A.B.C．D．4.如图为某几何体的三视图，则其体积为（）A.B.C.D.5.函数的图象大致为（）6.=()A．B.C.D.7.已知满足，的最大值为，若正数满足，则的最小值为（）A.B.C.D.8.抛物线与坐标轴的交点在同一个圆上，则交点确定的圆的方程为（）A.B.C.D.9.钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）A.必要条件B.充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件10.已知点A、B、C、D在同一个球的球面上，若四面体中球心O恰好在侧棱DA上，DC=，则这个球的表面积为（）A.B.C.D.11.设等差数列的前项和为，且满足，，则，，…，中最大的项为（）A．B．C．D．12.已知函数，若，且，则的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数（）为奇函数，则.14.如图，若时，则输出的结果为.15.从圆内任取一点，则到直线的距离小于的概率____.16．在中，角的对边分别是，若，，则面积是_______.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且满足．(Ⅰ)求；（Ⅱ）设，数列的前项和为，求证：．18.（本小题满分12分）如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，和是两个边长为的正三角形，，为的中点，为的中点．(Ⅰ)求证：平面；(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值．19（本小题满分12分）为了解某天甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中的微量元素的含量（单位：毫克）．当产品中的微量元素满足，且时，该产品为优等品．已知甲厂该天生产的产品共有98件，下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号12345x169178166175180y7580777081(Ⅰ)求乙厂该天生产的产品数量；（Ⅱ）用上述样本数据估计乙厂该天生产的优等品的数量；（Ⅲ）从乙厂抽取的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品至少有1件的概率．20.（本小题满分12分）已知点,椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点.（I）求的方程；（II）设过点的动直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程21.（本小题满分12分）已知函数，（Ⅰ）若，且存在单调递减区间，求的取值范围；（Ⅱ）设函数的图象与函数图象交于点，过线段的中点作轴的垂线分别交于点，证明在点处的切线与在点处的切线不平行.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线(t为参数)，(为参数)．（Ⅰ）化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）过曲线的左顶点且倾斜角为的直线交曲线于两点，求．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数．(Ⅰ)若，解不等式；（Ⅱ）若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围．2016~2017学年高三第一学期11月（总第五次）模块诊断数学试题文科参考答案：1-5CBCDB6-10CBDAC11-12CA1一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【命题意图】本题主要考查集合的交集运算以及一元二次不等式与一次不等式的解法，考查基本的运算能力，是容易题.【答案】C2.已知复数满足，则（）A.B.C.D.【命题意图】本题主要考查复数的基本运算以及共轭复数等，考查基本的运算能力，是容易题.【答案】B【解析】（方法一）由已知得，故.故选B.（方法二）设，则.故由已知方程可得，即.所以，解得.所以.故选B.3.若且，则（）A.B.C．D．【命题意图】本题主要考查同角三角函数关系式，诱导公式，平面向量的坐标运算、向量的数量积的基本运算等，考查基本的运算能力，是容易题.【答案】C4.如图为某几何体的三视图，则其体积为（）A.B.C.D.【命题意图】本题主要考查三视图的识别、组合体的结构特征及其体积的求解等，考查空间想象能力和逻辑推理能力以及基本的运算能力等，是中档题.【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体是一个半圆柱（所在圆柱）与四棱锥的组合体，其中四棱锥的底面为圆柱的轴截面，顶点在半圆柱所在圆柱的底面圆上（如图所示），且在上的射影为底面的圆心.由三视图数据可得，半圆柱所在圆柱的底面半径，高，故其体积；四棱锥的底面为边长为2的正方形，底面，且.故其体积.故该几何体的体积.5.函数的图象大致为（）【命题意图】本题主要考查函数图象的识别以及根据函数解析式研究函数性质，考查基本的逻辑推理能力，是中档题.【答案】B文6.=()A．B.C.D.【答案】C【解析】原式===，故选D.7.已知满足，的最大值为，若正数满足，则的最小值为（）A.B.C.D.【命题意图】本题主要考查简单的线性规划、直线方程以及均值不等式求解最值等，考查基本的逻辑推理与计算能力等，是中档题.【答案】B【解析】如图画出不等式组所表示的平面区域（阴影部分）.设，显然的几何意义为直线在轴上的截距.由图可知，当直线过点时，直线在轴上截距最大，即目标函数取得最大值.由，解得；所以的最大值为，即.所以.故.当且仅当，即时等号成立.8.抛物线与坐标轴的交点在同一个圆上，则交点确定的圆的方程为（）A.B.C.D.【命题意图】本题考查抛物线、二次方程和圆的方程，结合数形结合思想和方程思想考查圆的方程.【答案】D9.钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）A.必要条件B.充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件答案A 解答:便宜没好货⟺如果便宜，那么不是好货。逆否命题是，如果是好货，那么不便宜10.已知点A、B、C、D在同一个球的球面上，若四面体中球心O恰好在侧棱DA上，DC=，则这个球的表面积为（）A.B.C.D.【命题意图】本题考查与三角形外接圆、三角形中位线和球的表面积计算公式等知识，考查考生的空间想象能力、运算求解能力和分析问题解决问题的能力.【答案】C【解析】由可知取AC中点M，则OM为DA的中位线，又点M为外接圆圆心，球心O到面ABC的距离为，球半径为，故球表面积为.11.设等差数列的前项和为，且满足，，则，，…，中最大的项为（）A．B．C．D．【答案】C考点：等差数列的性质.12.已知函数，若，且，则的取值范围是（）A. B.C. D.【命题意图】本题主要考查分段函数与方程的解，导数与函数最值等，考查函数与方程、数形结合的数学思想以及基本的逻辑推理能力，是难题.【答案】A【解析】如图，作出函数的图象，不妨设，由可知函数的图象与直线有两个交点，而时，函数单调递增，其图象与轴交于点，所以.又，所以，，由，得，解得.由，即，解得；由，即，解得；记（），.所以当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.所以函数的最小值为；而，.所以.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数（）为奇函数，则.【命题意图】本题主要考查函数的奇偶性以及不等式的求解等，考查函数与方程的数学思想以及基本的运算能力等，是简单题.【答案】-2【解析】函数的定义域为，又因为为奇函数，所以，即，解得.14.如图，若时，则输出的结果为.【命题意图】本题主要考查循环结构程序框图的输出功能以及基本的计算能力与逻辑推理能力等，是中档题.【答案】【解析】方法一：开始，，故，因为，故进入循环.第二次计算，，；因为，故进入循环.第三次计算，；因为，故进入循环，第四次计算，，；因为不成立，所以输出，即输出.故当时，输出的结果为.理15.如图，在长方形内任取一点，则点落在阴影部分内的概率为.【命题意图】本题主要考查定积分的应用以及几何概型的求解，考查基本的计算能力以及数形结合、转化与化归的数学思想等，是中等题.【答案】【解析】由图知在函数的图象上，所以，即，所以.而，，所以直线的方程为.故阴影部分的面积，而长方形的面积.故所求事件的概率为.文15.从圆内任取一点，则到直线的距离小于的概率是_______.答案：16．在中，角的对边分别是，若，，则面积是_______.解析：在中，，,当且仅当时取等号,,又，故,则面积是1三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且满足．（1）求；（2）设，数列的前项和为，求证：．解(1);,(1)(2)(1)-(2),得,,，(2),18.（本小题满分12分）如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，和是两个边长为的正三角形，，为的中点，为的中点．(Ⅰ)求证：平面；文(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值．（Ⅰ）证明：设为的中点，连接，则∵，，，∴四边形为正方形，∵为的中点，∴为的交点，F∵，，F∵，∴，，在三角形中，，∴，∵，∴平面；文(Ⅱ)方法一：,,,,，方法二：设平面的法向量为，直线与平面所成角，则，即，解得，令，则平面的一个法向量为，又,则，∴直线与平面所成角的正弦值为.19.（理科）（本小题满分12分）某技术公司新开发了两种新产品，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种产品各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100]元件A81240328元件B71840296（1）试分别估计产品，产品为正品的概率；（2）生产一件产品，若是正品可盈利80元，次品则亏损10元；生产一件产品，若是正品可盈利100元，次品则亏损20元，在（1）的前提下，记为生产1件产品和1件产品所得的总利润，求随机变量的分列和数学期望．【答案】（1），；（2）分布列见解析，．试题解析：（1）产品为正品的概率为．产品为正品的概率约为．（2）随机变量的所有取值为，；；；．所以，随机变量的分布列为：1809060-30．考点：1、离散型随机变量的期望与方差；2、列举法计算基本事件数及事件发生的概率；3、离散型随机变量及其分布列．文科19（本小题满分12分）为了解某天甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中的微量元素的含量（单位：毫克）．当产品中的微量元素满足，且时，该产品为优等品．已知甲厂该天生产的产品共有98件，下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号12345x169178166175180y7580777081（1）求乙厂该天生产的产品数量；（2）用上述样本数据估计乙厂该天生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽取的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品至少有1件的概率．【答案】（1）；（2）；（3）．解析：（1）乙厂该天生产的产品总数为．（2）样品中优等品的频率为，乙厂该天生产的优等品的数量为．（3）设从乙厂抽出的5件产品分别为从中随机抽取2件，则有：共10个基本事件，其中2件产品中优等品数至少有1件的基本事件有7个，则所求概率．20.（本小题满分12分）已知点,椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点.（I）求的方程；（II）设过点的动直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程解析：（I）设，由条件知，得，又，所以，，故的方程为（II）当轴时不合题意，故可设，，将代入中得，当时,即,由韦达定理得从而又点到直线的距离为所以的面积法一：设，则，，因为,当且仅当，即时等号成立，且满足.所以当的面积最大时，的方程为或法二：令，则当时，即，，时等号成立，且满足.所以的面积最大时，的方程为或考点：椭圆的标准方程，点到直线的距离公式，弦长公式，二次分式类函数最值的求法21.（本小题满分12分）已知函数，（Ⅰ）若，且存在单调递减区间，求的取值范围；（Ⅱ）设函数的图象与函数图象交于点，过线段的中点作轴的垂线分别交于点，证明在点处的切线与在点处的切线不平行.解：（I），则因为函数h(x)存在单调递减区间，所以<0有解.又因为x>0时，则ax2+2x－1>0有x>0的解.①当a>0时，y=ax2+2x－1为开口向上的抛物线，ax2+2x－1>0总有x>0的解；②当a<0时，y=ax2+2x－1为开口向下的抛物线，而ax2+2x－1>0总有x>0的解；则△=4+4