高等应用数学 课件 第1章 函数、极限与连续

第一章函数、极限与连续

§1-1函数

§1-2极限的概念

§1-3极限的运算

§1-4无穷小与无穷大

§1-5函数的连续性

函数的概念

函数的三种表示方法

函数的几种性质

反函数

初等函数§1-1函数内容提要1．函数的定义在工程技术和经济领域的研究中，常常遇到不同的量，例如时间、速度、温度、成本、利润等等．这些量可以分为两大类：其中，保持某一数值不变的量称为常量；而在一定范围内可以取不同数值的量称为变量。函数的概念一引例1【银行存款】银行的存款本金A0

，年利率为r，t年末A0

将增值为At，若以年为期来计算利息，则一年末的本利和；两年末的本利和；

……类推之，年末的本利和。由上述例子可以看出，我们在研究事物的变化时，通过对客观事物的分析，建立各因素之间的关系式，这种关系式通过数量关系揭示事物的变化和发展规律，这就是我们中学已学过的函数，函数描述了变量之间的某种依赖关系。定义1设x

和y是两个变量，D是实数集R的某个子集。按照函数关系f（对应法则）：如果对任意，变量y总有确定的值与之对应，则称变量y

是变量x

的函数，记作，称D为该函数的定义域，x

为自变量，

y

为因变量。当自变量x

取数值时，与x0

对应的因变量y

的值称为函数在点x0

处的函数值，记为，或，当x取遍D的各个数值时，对应的变量y

取值的全体组成的数集称为这个函数的值域。注意关于函数概念的进一步说明有以下两点：（2）函数两要素：函数的定义域D和函数关系f

。函数的定义域D是自变量x的取值范围，而函数值y则是由函数关系f确定的。也就是说，只有当两个函数的定义域和对应法则完全相同时，两个函数才是相同的。例如，函数和函数

就是两个不同的函数，因为它们的定义域不同；（1）函数记号：在函数的表达式中，f

()表示函数关系，而表示对应于x

的函数值，两者是有区别的；解例1已知函数，求。2.分段函数引例3

【脉冲电压函数】在电子技术中以为周期的脉冲电压函数表示为引例4【阶梯函数】在自动控制系统中的阶梯函数表示为其中a，c

为常数。像这样把定义域分成若干部分，函数关系由不同的式子分段表示，称这样的函数为分段函数。它表示一个函数，不是几个函数的组合。引例5【符号函数】

如图1-1所示图1-13．函数的表示法在函数的定义中，并没有具体规定用什么方法表示函数。为了能更好地研究函数，就应该采用适当的方法将其表示出来，函数的表示法通常有三种，即解析式法、表格法和图像法。4．函数的几种特性（1）有界性若存在正数M，使得函数在某区间I

上恒有

，则称函数在I上有界，否则称函数在I上无界。若函数在

I上有界，则其图像在直与之间，显然，若函数有界，则其界不唯一。例如，正弦函数在区间内有界，因为对均成立；函数在内无界，而上有界。（2）单调性若对于区间I内任意两点，当时，有（或），则称函数在

I上单调增加（或单调减少），此时区间I称为单调增区间（或单调减区间）。（3）奇偶性设函数的定义D

关于原点对称，若对任意都成立：

，则是D上的偶函数；

，则是D

上的奇函数。偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于原点对称。研究函数奇偶性的用途在于：如果知道一个函数是偶函数或奇函数，则知其图像的一半即可知其全部，比如常见的偶函数和奇函数。（4）周期性对于函数，若存在不为零的数T，对任意，均有

，且恒成立，则称为I上的周期函数，称T为的周期，通常所说的周期是指它的最小正周期5．反函数基本初等函数与初等函数二1．平移和伸缩通过平移能产生新的函数，例如的图像是将的图像向上平移2个单位，的图像是将的图像向右平移4个单位，如图1-2所示。图1-2向右平移：用代替，将图像右移个单位形成函数；向左平移：用代替，将图像左移个单位形成函数；向上平移：用代替，将图像上移个单位形成函数；向下平移：用代替，将图像下移个单位形成函数。一般地，已知曲线，则有：（1）平移（2）伸缩用一个常数k

乘以函数，是函数的图像沿垂直方向扩大或缩小k

倍形成函数；负号表示该图像关于轴对称2．复合函数引例5【原油扩散面积】油轮在海洋发生原油泄漏事故，假设原油污染海水的面积A

是被污染圆形水面的半径r

的函数：。同时由于原油在海面上不断扩散，则污染半径r

又是时间t

的函数，因此，原油扩散面积与时间的函数关系是定义2设y

是u

的函数，

u是x

的函数，当x

在某一区间上取值时，相应的u使y有意义，则与

可构成复合函数，此时u为中间变量，称y是x

的复合函数。一般地，如果，则称为f

和φ这两个函数的复合函数。称为外层函数，它是因变量y

与中间变量

u

的函数关系；为内层函数，它是中间变量u

与自变量

x的函数关系。解例2

函数是由

复合而成的，而函数是由复合而成的。要认识复合函数的结构，必须要清楚其复合过程，也就是要理解如何对复合函数进行分解。通常采取由外层到内层分解的办法，将拆分成若干基本初等函数或简单函数的复合。习惯上我们将基本初等函数经过有限次四则运算所得到的函数成为简单函数。解例3将下列函数分解为简单函数：（1）（2）（3）（4）（1）（2）（3）（4）解例4将下列函数分解为简单函数：（1）（2）（1）（2）3．初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算构成，并能用一个解析式来表示的函数，称为初等函数。否则称为非初等函数。例如，多项式函数是由幂函数经过有限次四则运算得到的初等函数。函数，

也是初等函数。但工程上常用的分段函数绝大部分不是初等函数。因为在其定义域上不能用一个式子来表示。1.函数的连续性知识目标：了解函数的概念；掌握函数的表示方法；掌握基本初等函数、初等函数、复合函数；小结

数列的极限

函数的极限§1-2

极限的概念内容提要

极限的性质一、数列的极限引例1【庄子名言】我国战国时期哲学著作《庄子》中有这样的记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。这句话的意思是：有一尺长的木棍，每天截取他的一半，永远截不完．它可以用数列表示为每天木棍的长度是一个变量，随着天数n的增大，木棍的长度越来越短，天数n无限增大时（记为），木棍的长度会无限趋近于常数0。引例2【割圆术】我国古代数学家刘徽在《九章算术》中提出了“割圆术”，成功地推算出圆周率和圆的面积。先作圆内接正六边形，其面积记为A1；再作圆内接正十二边形，其面积记为A2；循此下去，圆内接正边形的面积记为An

，于是得到一系列圆内接正多边形的面积从几何直观上不难看出，随着n

的增大，对应的圆内接正多边形的面积与圆的面积A越来越接近（即），当n无限增大时（记为），圆内接正边形的面积An就会无限地接近圆的面积A。这种思想就是刘徽提出的割圆术——割之弥细，所失弥少；割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。定义1对于数列，当项数n无限增大时（记为），数列的项xn

无限地趋近于一个确定的常数A，那么称A

是数列当时的极限，或称数列收敛于A，记作例如，在引例1中，引例2中。如果数列不趋近于任何确定的常数，即数列没有极限，则称数列

发散。解例1某企业对生产设备的投资额是3万元，每年的折旧费为该设备账面价格（即以前各年的折旧费用提取后余下的价格）的，那么这一设备的账面价格（单位：万元）逐年用数列表示为随着年份n无限增大，账面价格无限接近于0，即解例2判断下列无穷数列的极限：（1）（2）（3）（1）通过观察，当n

无限增大时，数列通项无限趋近于常数1，所以1是数列的极限，即（2）通过观察，当

n无限增大时，数列通项xn

总等于3，所以3是数列{3}的极限，即（3）数列按项数展开应该是显然，当

n无限增大时，xn摆动于1，0，-1三个数之间，并不趋于某个确定的常数，所以数列没有极限。1．时函数的极限二、函数的极限定义2设函数在时有定义，对于函数，当无限增大时（记为），函数值无限地趋近于一个确定的常数A，则称A是函数当时的极限，记作定义2中是指x

的绝对值无限增大，它既可以沿正方向无限增大（），也可以沿负方向无限增大（），相应的函数值都会无限地趋近于常数A。如图1-3所示，，既有也有。图1-3但有时x

的变化趋向只沿其中一种方向（或）时，相应的函数值也无限地趋近于一个常数A，则称A是函数当或时的极限。记作或，也可记作或。例如，，而，所以，不存在，如图1-4所示。图1-4解例4利用图形说明下列极限是否存在，若存在，则求出极限（1）（2）图1-5图1-6解（1）由图1-5可知则（2）由图1-6可知而所以，不存在。解2．时函数的极限引例1【影子长度】某人晚上沿直线走向路灯正下方的一点．由常识知道，此人越靠近目标，其影子长度越短，当人越来越接近目标（）时，其影子长度趋于0（）。设灯高为H，人高为h，人与灯正下方一点的距离为x，人影的长度为y。如图1-7所示，当人向灯下不断地移动时，即，人影的长度y趋于0，且有，由此解得人影的长度y

是x

的函数：，其中是常数。图1-7当x

越来越趋近于0时，函数值y

也越来越趋近于0，即

，也会是当人逐渐走向灯的正下方时，人影的长度逐渐为0。1．时函数的极限二、函数的极限定义6设函数在x0点附近有定义（），对于函数，当时，函数值无限地趋近于一个确定的常数A，则称A是函数当时的极限，记作或。定义3中是指x

趋于x0

的方式是任意的，它包含两种情况：。如果当（或）时，函数的极限存在，则称为函数的左极限（右极限），记作或（）。左极限和右极限反映了自变量从x0

一侧变化时函数的极限，称为单侧极限。解例4函数在时的极限存在吗？为什么？

不存在。因为而，所以不存在。解例5考察函数当时的极限。由图1-8可知因为，所以不存在。图1-8三、极限的性质定义4称实数集为点a的邻域，记作，a称为邻域的中心，δ

称为邻域的半径。数集称为点a的去心δ

邻域，记作。性质1（唯一性）若，则极限A唯一。性质2（局部有界性）若，则存在常数及

，当时，有。性质3（保号性）若且（或），则存在常数，当时，有（或）。1.极限的概念知识目标：了解极限的概念；小结§1-3极限的运算内容提要

极限的四则运算法则

极限运算举例

两个重要极限极限的四则运算法则一设，则：1．2．3．4．

（k为常数）5．类型一（代入法）解例1求：由例1可知，对于多项式，当时的极限有当有意义时，例2求：解类型二当时，例3求：解因为，则不能用商的极限四则运算法则，而

，由无穷大与无穷小的关系，可。例4求：解类型三（型）当

时，通过变换化为类型一求极限。例5求：解例6求：解类型四（型）将型经过通分转化为型求极限。例7求：解类型五（型）分子、分母同除以分子、分母的最高次幂，并利用无穷小求极限。一般地，对于分式有理函数，当时，极限有如下结论：其中，m，n

为非负整数。二、两个重要极限1．第一重要极限下面我们列表取值来观察时，函数的变化趋势，如表1-1所示。表1-1由表1-1可以看出，当x越接近于0，函数的值就越接近于1，由此可以证明此公式的特征是：（2）正弦符号后面的变量与分母一致，这个一致的变量趋于0。（1）分子、分母的极限均为0，即型；我们形象地将公式表示为（方框表示同一变量）。例8求下列函数的极限：（1）（2）（3）解（1）（2）（3）例9已知半径为R的圆内接正n边形的面积，求该圆的面积A。解该圆的面积为2．第二重要极限或下面我们列表取值来观察时，函数的变化趋势，如表1-2所示。表1-2由上表可以看出，当时，函数无限地趋近于无理数e，即若令，则上面极限变为，所以第二个重要极限公式表示为或此公式的特征是：（1）函数的极限形式为“”型；例10求下列函数的极限：（1）（2）（2）在自变量的变化过程中，函数可表示为，且无穷小×无穷大=1。则极限等于e。解（1）（其中）（2）（其中）可以看出，若无穷小×无穷大=

常数k，则极限等于。例11已知，求k值。解例12求：解法一因为时，无穷小kx与无穷大的乘积等于2k，所以极限应等于，即，于是。解法二1.极限的运算知识目标：掌握极限的四则运算法则；掌握两个重要极限；小结

无穷小与无穷大

无穷小的性质

无穷小的比较§1-4无穷小与无穷大内容提要无穷小一1．无穷小的概念引例1【电容器放电】电容器放电时其电压随时间的增加而逐渐减少并无限趋近于0。引例2【洗涤效果】在用洗衣机清洗衣物时，清洗次数越多，衣物上残留的污渍就越少，当清洗次数无限增大时，衣物上的污渍量就会无限趋近于0。当然，为了保护您的身体健康，健康专家建议我们少用或者最好不使用洗涤剂。定义1在自变量的某一变化过程中，极限为零的变量X称为无穷小量，简称无穷小，即变量X是这一变化过程中的无穷小例如，，所以为时的无穷小；再如

，所以为时的无穷小。解例1讨论自变量x在怎样的变化过程中，下列函数为无穷小：（1）（2）（3）（4）（1）因为，所以当时，为无穷小。（2）因为，所以当时，为无穷小。（3）因为，所以当时，为无穷小。（4）因为，所以当时，为无穷小。解例2【手机销售】一款新手机上市，其销售量与时间的函数关系为：请预测长期的销售量。长期的销售量应理解为当时的销售量，即由此可见，随着时间的推移人们买此款手机的可能性将趋于零，故长期的销售量为无穷小。在自变量的同一变化过程中，无穷小满足以下性质：性质1有限个无穷小的代数和是无穷小。性质2有限个无穷小的乘积是无穷小。性质3有界变量与无穷小的乘积是无穷小。2．无穷小的性质解例3求极限：（1）（2）（1）因为当时，x2为无穷小，而有界。所以，由性质3可知（2）因为当时，为无穷小，而有界。所以，由性质3可知3．函数极限与无穷小的关系在自变量的某一变化过程中，函数以

A为极限的充要条件是可以表示为极限A与一个无穷小的和，即定义2在自变量的变化过程中，绝对值无限增大的变量X称为无穷大量，简称无穷大，记作。无穷大二1．无穷大的概念如果变量X取正值无限增大，则称变量X为正无穷大，记作

；如果变量X取负值而绝对值无限增大，则称变量X为负无穷大，记作。解例4讨论自变量x在怎样的变化过程中，下列函数为无穷大：（1）（2）（3）（4）（1）因为，所以当时，为无穷小。（2）因为，所以当时，为无穷小。（3）因为，所以当时，为无穷小。（4）因为，所以当时，为无穷小。解例5【银行存款】假设某人在银行存入10000元，银行的年利率为，试分析存款时间越长，本利和如何变化？由题设条件可得，t年后的本利和为随着存款时间越长，即时，本利和变为即当存款时间无限延长时，本利和将无限增大。2．无穷小与无穷大的关系在自变量的变化过程中，若变量X是无穷大，则是无穷小；反之，若变量X（）是无穷小，则是无穷大，即变量X（）是无穷小是无穷大例如，因为，所以。（1）若，则称α是比β高阶的无穷小，记作；定义3设

α与β是自变量在同一变化过程中的无穷小。无穷小的比较三1．无穷小比较的定义（2）若，则称α是比β低阶的无穷小；（3）若，则称α是比β同阶无穷小；（4）若，则称α是比β等阶无穷小，记作α～β；当时，下列函数之间为等价无穷小：2．等价无穷小的应用求型函数极限时，利用以上常见的等价无穷小替换可以使计算过程简化，结论如下：设自变量在同一变化过程中，无穷小，，若存在，则解例6问当时，与相比是什么阶的无穷小？所以，当时，。因为当时，与都是无穷小，且解例7求下列函数的极限：（1）（2）（3）（1）因为当时，，，所以（2）因为当时，，，所以（3）因为当时，，，所以1.无穷大与无穷小知识目标：理解无穷小与无穷大概念；小结

连续与间断

初等函数的连续性

闭区间上连续函数的性质§1-5函数的连续性内容提要函数连续的概念一为了准确地描述函数连续的概念，我们首先引入函数增量的概念，如图1-9所示。图1-9设函数在x0点及其附近有定义，我们把x0

附近的x记作，并称为自变量由x0

变到x时自变量的增量（或改变量），这时相应地函数值由变到，我们称

为函数值的增量（或改变量），记作，即引例1【植物的生长高度】大家都知道植物的生长高度h是时间t的函数，而且h随着t的变化而连续变化。事实上，当时间t的变化很微小时，植物的生长高度h的变化也很微小，即当时，

。引例2【图形得出的启示】观察图1-9不难看出，函数在点x0处连续时，越小，点N越靠近点M，对应的函数增量也越小；当

时，点N沿曲线无限接近于点M，这时。从以上两个引例可以看出，函数在某点连续具有以下数学特征：即因为，所以当时，，这时上式可以写为根据连续的定义，函数在点处连续必须满足三个条件：定义1设函数在点x0

及其近旁有定义，若或

，则称函数在点x0连续。点称为函数的连续点。注意（1）在x0点有定义，且存在；（2）在x0点极限存在，即；（3）。如果函数在点x0处不满足连续的条件，则称函数在点x0

不连续或间断，点x0称为函数的不连续点或间断点。解因为在0点有定义，且，而，所以

。例1判断函数在点的连续性。由定义可知，函数在点连续。解例2判断函数在点的连续性。因为在1点有定义，且，又因为，所以在1点右连续；而，所以在点不左连续，从而函数在点不连续。解例3讨论函数在定义域内连续性。设任意一点。因为