概率论与数理统计（慕课版第2版）课件 张天德 第3章 多维随机变量及其分布

概率论与数理统计（慕课版）本章导学第3章多维随机变量及其分布2很多随机试验的结果往往受到多个因素的影响.上一章我们学习了单个随机变量,称为一维随机变量.在许多实际问题中,但是,一维随机变量不能满足研究的需要,在打靶时,飞机的重心在空中的位置是由三个随机变量(三个坐标)📝日常现象举例命中点的位置是由一对随机变量(两个坐标)来确定的.来确定的.3我们把与随机试验结果相对应的多个随机变量称为由于从二维推广到更多维无实质性的困难,n维随机变量n维随机向量多维随机变量.我们主要研究二维随机变量的统计规律,两个随机变量之间的相互关系.因此本章并介绍4二维随机变量的大部分概念、内容和方法都属于一维除了必须具备一维随机变量的基础知识,而且需要用到高等数学中的多元微积分内容.预备知识——高等数学（微积分）极限📝重积分📝偏导数📝的推广.5学海无涯，祝你成功！概率论与数理统计（慕课版）概率论与数理统计（慕课版）第1讲二维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布8到目前为止,从二维随机变量开始我们只讨论了一维随机变量及其分布.但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够,而需要用多个随机变量来描述.第1讲

二维随机变量及其分布01二维随机变量02联合分布函数03二维离散型随机变量04二维连续型随机变量本讲内容则称(X,Y)为二维随机变量或二维随机向量二维随机变量10

📝定义表示？几何意义？01

二维随机变量如何描述二维随机变量的概率特性二维随机变量大部分内容与一维类似.离散型随机变量连续型随机变量分布函数概率密度11及其每个随机变量之间的关系？📝一维随机变量：分布律首先介绍二维随机变量的联合分布函数和边缘分布函数.01

二维随机变量01二维随机变量02联合分布函数03二维离散型随机变量04二维连续型随机变量本讲内容为(X,Y)的联合分布函数,简称为分布函数.设(X,Y)为二维随机变量,联合分布函数13📝定义称对于任意的02

联合分布函数🎯结论联合分布函数描述了所有二维随机变量的统计规律.(x,y)xy分布函数的几何意义14用平面上的点(x,y),表

示二维随机变量(X,Y)则F(x,y)表示(X,Y)的取值落入的一组可能的取值，下图中角形区域的概率.02

联合分布函数①对每个变量单调不减②对每个变量右连续③xy(x,y)15联合分布函数的性质02

联合分布函数(X,Y)落在矩形区域x1x2y1y2(X,Y)(x2,y2)(x2,y1)(x1,y2)(x1,y1)yxo16利用分布函数求概率可用分布函数表示内的概率02

联合分布函数设随机变量(X,Y)的联合分布函数为其中

A,B,C

为常数.17（1）确定A,B,C

；（2）求📚例102

联合分布函数(1)18解02

联合分布函数19(2)02

联合分布函数2002

联合分布函数解

试问：函数📚例2是否可作为二维随机变量的联合分布函数？然F(x,y)单调不减且关于

x和

y都是右连续.又且但因为对于(0,0),(2,2)有因此函数F(x,y)不能作为二维随机变量的联合分布函数.01二维随机变量02联合分布函数03二维离散型随机变量04二维连续型随机变量本讲内容若二维随机变量(X,Y)所有可能的取值为有限个或要描述二维离散型随机变量的概率特性及其每个随机变量之间的关系，常用其联合分布律和边缘分布律.二维离散型随机变量2203二维离散型随机变量📝定义则称(X,Y)为二维离散型随机变量.📢注无限可列个,设(X,Y)的所有可能的取值为或分布律.为二维随机变量(X,Y)的联合概率分布,简称概率分布显然,2303二维离散型随机变量联合分布律x1xi

XYy1yj2403二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律的求法联合分布律2503二维离散型随机变量📝利用乘法公式📝利用古典概型等方法.已知联合分布律可以求概率G0xy2603二维离散型随机变量盒子里装有3只黑球,2只红球,2只白球,2703二维离散型随机变量在其中任📚例3取4只球,以X

表示取到黑球的只数,以X

表示取到黑球的只数,以Y

表示取到红球的只数,求(X,Y)的联合分布律.2803二维离散型随机变量解取4只球X

Y01230001020📢注求分布律方法：先定值再求概率0只黑球,2只红球,2只白球1只黑球,1只红球,2只白球2903二维离散型随机变量1只黑球,2只红球,1只白球X

Y012300010203003二维离散型随机变量

1001000.200.200.150200250设随机变量(X,Y)的概率分布为0.100.050.30求概率3103二维离散型随机变量📚例4📢注X--车险的免赔额，Y--财险的免赔额32解求概率:03二维离散型随机变量3303二维离散型随机变量解

一箱子装有5件产品，其中2件正品，3件次品.📚例5次，定义随机变量X和Y如下：求(X,Y)的分布律.每次从中取1件产品检验质量，不放回抽取，连续抽两第一次取到次品，第一次取到正品，第二次取到次品，第二次取到正品，01二维随机变量02联合分布函数03二维离散型随机变量04二维连续型随机变量本讲内容

3504二维连续型随机变量二维连续型随机变量及其分布📝定义

使得称𝑓(𝑥,𝑦)为联合概率密度函数，简称概率密度或密度函数.

在f(x,y)的连续点处,f(x,y)与F(x,y)3604二维连续型随机变量联合分布函数——

(X,Y)落入矩形区域内的概率联合概率密度——(X,Y)落入任意区域内的概率📝优点f(x,y)的性质3704二维连续型随机变量

某食品制造商正在研制一种速溶健康饮品，主要成分为花生、芝麻和大豆，假设配方中所含的花生比例用X表示，芝麻比例用Y表示，若(𝑋,𝑌)的联合概率密度为📚例6求（1）常数

A；

（2）花生和芝麻加在一起最多占50%的概率.38（2）花生和芝麻加在一起最多占50%的概率为04二维连续型随机变量解

(1)根据联合概率密度的性质设随机变量(X,Y)的概率密度为yoy=x21x3904二维连续型随机变量📚例7其他(1)求常数𝑘；(2)求P{X≥Y}；04二维连续型随机变量（1）由密度函数的性质，得解

随机变量(X,Y)的概率密度为40其他yoy=xy=x21x4104二维连续型随机变量(2)P{X≥Y}设G是平面上的有界区域,若随机变量(X,Y)的概率密度为则称(X,Y)服从区域G上的均匀分布,记作(X,Y)~U(G)4204二维连续型随机变量常用的二维连续型随机变量📝二维均匀分布面积为S其他则

D

G,若(X,Y)服从区域G上的均匀分布,几何概型面积之比4304二维连续型随机变量设D的面积为设随机变量(X,Y)服从区域G上的均匀分布.4404二维连续型随机变量📚例8解其他其中G由x–y=0,x+y=2,y=0围成，求P{(X,Y)∈D}.11o2xy面积之比(2)(X,Y)的联合分布函数.设随机变量(X,Y)服从区域B上的均匀分布.4504二维连续型随机变量📚例9解(1)(X,Y)的联合密度函数;其中B由y=2x+1,x=0,y=0围成的三角形区域，求y-1/2ox4604二维连续型随机变量4704二维连续型随机变量故(X,Y)的联合分布函数为若(X,Y)的联合概率密度为则称(X,Y)服从二维正态分布

4804二维连续型随机变量📝二维正态分布记作常数4904二维连续型随机变量二维正态分布图5004二维连续型随机变量设(𝑋,𝑌)服从二维正态分布，概率密度函数为📚例10解利用极坐标变换，令

51可得：04二维连续型随机变量上式学海无涯，祝你成功！概率论与数理统计（慕课版）学海无涯，祝你成功！概率论与数理统计（慕课版）概率论与数理统计（慕课版）第2讲边缘分布与随机变量的独立性第3章多维随机变量及其分布01边缘分布02随机变量的独立性本讲内容我们就可以讨论随机变量X

和Y之间56边缘分布联合分布描述的是二维随机变量(X,Y)的整体特性,除此之外还需要考虑随机变量X、Y

各自的分布,即

—边缘分布.利用边缘分布,例如独立性.的某种关系,01

边缘分布📢注边缘分布也称为边沿分布或边际分布xyxxyy57边缘分布函数01

边缘分布📢注由联合分布函数边缘分布函数,反之不然.设随机变量(X,Y)的联合分布函数为58（1）求X和Y

的边缘分布函数；（2）求📚例101

边缘分布59(1)01

边缘分布(2)6001

边缘分布二维离散型随机变量的边缘分布律🎯结论由联合分布律可确定边缘分布律1x1xi

pi•p1•pi•p•jp•1p•jyjy1XY6101

边缘分布联合分布律及边缘分布律1001000.200.200.150200250设随机变量(X,Y)的概率分布为0.100.050.30求边缘分布律6201

边缘分布📚例2📢注X--车险的免赔额，Y--财险的免赔额11001000.200.200.1502002500.100.050.300.500.500.500.250.25X100250P0.50.5Y0100200P0.250.250.56301

边缘分布求边缘分布律:解6401

边缘分布解设二维随机变量(X,Y)的可能取值为(0,0),(-1,1),📚例3试求X和Y的各自的边缘分布律.(-1,2),(1,0),且取这些值的概率依次为1/6,1/3,1/12,5/12,由题设条件，(X,Y)联合分布列为

Y

X012

1/31/1201/615/126501

边缘分布由上面的表格，可得X和Y边缘分布律

X01

p

5/121/65/12Y012p7/121/31/126601

边缘分布解把两封信随机地投入已经编好号的3个邮筒内,设📚例4律和边缘分布律.X,Y分别表示投入第1,2个邮筒内信的数目，求(X,Y)分布X,Y各自可能取值为0,1,2.由题设可知(X,Y)取(1,2),(1,2),(2,1),(2,2)均不可能，因此它们的概率均为0.6701

边缘分布因此，X和Y边缘分布律

X012p

4/94/91/9

Y012

p

4/94/91/96801

边缘分布二维连续型随机变量的边缘分布🎯结论已知联合密度可以求得边缘密度6901

边缘分布解设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为

📚例5试求边缘密度函数pX(x)和pY(y).因为当时，有故X的边缘密度函数为7001

边缘分布解设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为

📚例5试求边缘密度函数pX(x)和pY(y).又因为当时，有故Y的边缘密度函数为7101

边缘分布解设随机变量(X,Y)的联合密度函数为

📚例6试求边缘密度函数pX(x)和pY(y).因为的非零区域如图阴影部分，y1x-1Oy=xy=-x17201

边缘分布故X的边缘密度函数为所以，当时，有当时，有7301

边缘分布故Y的边缘密度函数为当时，有747501

边缘分布1102xy

设二维随机变量(X,Y)在区域7601

边缘分布📚例8解(X,Y)的概率密度

y=xoyx则y=x27701

边缘分布📚例9解

试求𝑋及𝑌的边缘密度函数．(𝑋，𝑌)的联合密度函数为7801

边缘分布7901

边缘分布🎯结论1二维正态分布的边缘分布是一维正态分布🎯结论2上述的两个边缘分布中的参数与二维正态分布中的常数𝜌无关

80第一章介绍了两个事件相互独立的概念,由此可以引出两个随机变量相互独立的概念.有了边缘分布,我们就可以很方便的判断随机变量X和Y

之间的独立性.第2讲

随机变量的独立性01边缘分布02随机变量的独立性本讲内容如何判断两个随机变量独立的定义设X,Y是两个随机变量,若对任意的x,y,有则称X,Y相互独立.📝两事件A,B独立定义若P(AB)=P(A)P(B)则称事件A,B独立.8202随机变量的独立性🎯结论用分布函数表示,即设X,Y

是两个随机变量,则称X,Y

相互独立.若对任意的x,y,有它表明,两个随机变量相互独立时,两联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积.8302随机变量的独立性即离散型X与Y独立对一切i,j

有8402随机变量的独立性连续型X与Y独立对一切x,y

有二维随机变量(X,Y)相互独立,定联合分布.则边缘分布完全确8502随机变量的独立性判断应用随机变量的独立性8602随机变量的独立性判断📚前面例1讨论X,Y

是否独立？故X,Y相互独立8702随机变量的独立性0.500.30不独立判断📚前面例211001000.200.200.1502002500.100.050.500.500.250.2588(X,Y)的联合与边缘分布律02随机变量的独立性讨论X,Y是否独立？故X,Y不独立1102xy判断89📚前面例7设随机变量(X，Y) 服从区域G上的均匀分布．其他其他其他02随机变量的独立性应用📚例1090设二维离散型随机变量(X，Y)的联合分布律为02随机变量的独立性试确定常数

，使得随机变量X与Y相互独立．91解由表，可得随机变量X与Y的边缘分布律为如果随机变量X与

Y

相互独立，则有02随机变量的独立性92由此得由此得🎯结论因此当

,

时,X与Y相互独立.02随机变量的独立性因此当,时,X与Y相互独立.93📚例11设随机变量X与Y相互独立,且分别服从参数为1与参数为4的指数分布,求解其他02随机变量的独立性证对任何x,y有取相互独立94📝命题1必要性02随机变量的独立性故将代入即得95充分性02随机变量的独立性设二维随机变量服从正态分布求96📚例12解X~N(1,1),Y~N(0,1)且独立02随机变量的独立性在左转车道上，每个信号周期内的私家车数量记为X，97

X

Y

0120123450.0250.0150.0100.0500.0300.0200.1250.0750.0500.1500.0900.0600.1000.0600.0400.0500.0300.020问随机变量X和Y是否相互独立？公交车数量📚例13且(X,Y)的联合分布见下表：记为Y

，X与Y都是随机变量，02随机变量的独立性Y的分布律为：98故随机变量X和Y是相互独立的.Y012P0.5000.3000.200可以验证，随机变量(X,Y)的任意一点都满足由边缘分布律的定义可得X的分布律为：X012345P0.0500.1000.2500.3000.2000.100解02随机变量的独立性9902随机变量的独立性📚例14解利用独立性可得试求P(X=Y).

且10002随机变量的独立性

📚例15解问X与Y是否相互独立.等于联合密度函数.为此先求边际密度函数.

有10102随机变量的独立性因此由此得所以X与Y不独立.

有学海无涯，祝你成功！概率论与数理统计（慕课版）概率论与数理统计（慕课版）第3讲条件分布第3章多维随机变量及其分布104在前面的几讲中,除此以外,有时会用到条件分布.我们介绍了联合分布与边缘分布,📝何为条件分布？设有二维随机变量(X,Y),在X

取某个固定值的条件下,求Y

的概率分布,这就是条件分布.例如：居民的收入和支出分别为随机变量X和Y,我们希望了解在收入固定时支出的分布规律,例如当X=5000元时,Y的分布,即条件分布.第3讲

条件分布01二维离散型随机变量的条件分布02二维连续型随机变量的条件分布本讲内容实际上即条件概率二维离散型随机变量的条件分布📝定义

称称01二维离散型随机变量的条件分布106

为

为已知联合分布律求：当X=1时,Y的条件分布律.📚例1解01二维离散型随机变量的条件分布107🎯结论所以,离散型随机变量的条件分布实际上即条件概率当X=1时,Y条件分布律为：01二维离散型随机变量的条件分布108109

X

Y0

120120.100.040.020.080.200.060.060.140.30📚例2当X=1时，求Y的条件分布律.布律见下表：一个加油站既有自助服务，也有人工服务.在一次加令X表示特定时间内自助加油使用的油枪数量,Y表示人工加油使用的油枪数量.随机变量(X,Y)的联合分01二维离散型随机变量的条件分布油中，110Y012由联合分布律可以求出：所以，当X=1时，Y条件分布律为：01二维离散型随机变量的条件分布以X记某医院一天内诞生婴儿的个数，以Y记其中求条件分布律📚例3解01二维离散型随机变量的条件分布111其中男婴的个数.设X与Y的联合分布列为先求X的边际分布律所以X服从参数为14的泊松分布，由此得01二维离散型随机变量的条件分布112这是二项分布01二维离散型随机变量的条件分布02二维连续型随机变量的条件分布本讲内容？连续型变量是什么状况？📚例4求概率分析02连续型随机变量的条件分布114设二维随机变量（X,Y）的概率密度为其他P(X=x)=0,P(Y=y)=0需要引入条件概率密度的概念.01由于本题中(X,Y)是连续型随机变量,所以不能直接代入条件概率公式.01二维离散型随机变量的条件分布115连续型随机变量的条件分布📝定义02连续型随机变量的条件分布116

01📚例4设二维随机变量（X，Y）的概率密度为02连续型随机变量的条件分布117其他

当0<x<1时,01解02连续型随机变量的条件分布118其他其他其他其他0102连续型随机变量的条件分布其他📚例5求条件概率解02连续型随机变量的条件分布120设二维连续随机变量（X,Y）的联合密度函数为故先求当02连续型随机变量的条件分布121当由此得122📚例6解(X,Y)的联合概率密度为：02连续型随机变量的条件分布其他设二维随机变量(X,Y)服从区域G上的均匀分布，其中G是由x–

y=0,x+y=2与y=0所围成的三角形区域，如图所示，求条件概率密度123因此Y的边缘概率密度为02连续型随机变量的条件分布其他其他其他

02连续型随机变量的条件分布

已知随机变量X的密度函数为📚例7解在给定Y=y条件下，随机变量X的条件密度函数为125本节我们介绍的条件分布属于选学内容,同学们可以根据实际需求和课时安排灵活选择.第3讲

条件分布学海无涯，祝你成功！概率论与数理统计（慕课版）概率论与数理统计（慕课版）第4讲二维随机变量函数的分布第3章多维随机变量及其分布128二维随机变量函数的分布已知随机变量(X,Y)的概率分布,求Z=g(X,Y)的概率分布将Z的事件转化为(X,Y)的事件第4讲

二维随机变量函数的分布上一章我们已讨论了一维随机变量函数的分布,现在进一步讨论二维随机变量函数的分布问题,然后将其推广到多维随机变量的情形.📝问题📝方法01二维离散型随机变量函数的分布02二维连续型随机变量函数的分布本讲内容当(X,Y)为离散型随机变量时,二维离散型随机变量函数的分布Z也为离散型随机变量01二维离散型随机变量函数的分布130设二维随机变量(X,Y)的概率分布为XY-112-10求的概率分布📚例101二维离散型随机变量函数的分布131根据(X,Y)的联合分布可得：P(X,Y)(-1,-1)(-1,0)(1,-1)(1,0)(2,-1)(2,0)

-2

-1

0

1

1

2

故得P-2-1012解01二维离散型随机变量函数的分布132故得P-2-101P(X,Y)(-1,-1)(-1,0)(1,-1)(1,0)(2,-1)(2,0)

1

0

-1

0

-2

001二维离散型随机变量函数的分布133134Y

X-213-111/253/2512/252/254/253/25📚例2求：（1）Z=X+Y的分布律；（2）Z=X2+Y的分布律（1）Z可能的取值为-3，-1，0，2，4.解01二维离散型随机变量函数的分布设二维随机变量(X,Y)的分布律为135Z-3-1024P1/252/253/2516/253/2501二维离散型随机变量函数的分布

136

Z-124P3/257/2515/2501二维离散型随机变量函数的分布137📚例3解01二维离散型随机变量函数的分布

因此

138求Z=X+Y的分布律．解

01二维离散型随机变量函数的分布📚例4

故

设

X~P(

1),Y~P(

2),且独立,X~P(

1),Y~P(

2),Z=X+Y

的可能取值为0,1,2,…则X+Y~P(

1+

2)

二项式定理则X+Y~P(

1+

2)则13901二维离散型随机变量函数的分布📚例5若随机变量相互独立若随机变量X与Y相互独立第4章用到常用离散型随机变量的可加性01二维离散型随机变量函数的分布140刚刚我们讨论了二维离散型随机变量函数的分布问题,下面将其推广到多维离散型随机变量的情形.01二维离散型随机变量函数的分布141－1010.13440.73120.1344📚例601二维离散型随机变量函数的分布142且同分布.

设随机变量相互独立，设随机变量X与Y独立同分布,且X的概率分布为求的概率分布X12P2/31/301二维离散型随机变量函数的分布143📚例7解型144UV1214/94/9201/901二维离散型随机变量函数的分布01二维离散型随机变量函数的分布02二维连续型随机变量函数的分布本讲内容146回忆：一维连续型随机变量函数的分布一般方法从分布函数出发二维类似📝问题设X是连续性随机变量，第4讲

二维连续型变量函数的分布1

147(2)再求Z的密度函数:已知随机变量(X,Y)的密度函数,

(1)先求Z的分布函数：二维连续型随机变量函数的分布📝问题📝方法求Z=g(X,Y)的密度函数.02二维连续型随机变量函数的分布•z•zx+y=z和的分布：Z=X+Y

型设(X,Y)的联合密度为f(x,y),则或14802二维连续型随机变量函数的分布特别地,或或称之为函数

fX

(z)与fY

(z)的卷积

若X,Y相互独立,则14902二维连续型随机变量函数的分布（卷积公式法）设X与

Y相互独立，都服从区间(0，1)上的均匀分布，其他📚例8解1由题意,可知15002二维连续型随机变量函数的分布其他求Z=X+Y的密度函数.

15102二维连续型随机变量函数的分布其他若或若若的密度函数为x+y=z1yx1解2分布函数法当z<0时,15202二维连续型随机变量函数的分布yx11x+y=z•z•z当0

z<1时,15302二维连续型随机变量函数的分布x+y=zz-11yx1•z•z当1

z<2时,15402二维连续型随机变量函数的分布1yx1x+y=z22当2

z时,15502二维连续型随机变量函数的分布或📚例9解根据公式其中

15602二维连续型随机变量函数的分布设二维随机变量(X,Y)的概率密度为其他求Z=X+Y的概率密度fz(z)157因此，Z的概率密度为02二维连续型随机变量函数的分布其他正态分布的可加性

15802二维连续型随机变量函数的分布如果随机变量X与Y相互独立,一般地,为实常数,如果随机变量相互独立,且独立15902二维连续型随机变量函数的分布设相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布和则📚例10160解

设X,Y是相互独立的随机变量，其概率密度函数📚例11下面求Z=2X+Y的分布函数02二维连续型随机变量函数的分布求Z=2X+Y的概率密度.由X,Y是相互独立的随机变量，则(X,Y)的概率密度为分别为16102二维连续型随机变量函数的分布当

时，当

时，当

时，因此📚例12解根据公式得16202二维连续型随机变量函数的分布设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为求Z=(X+Y)/2的概率密度fz(z).

从而16302二维连续型随机变量函数的分布

从而得Z=(X+Y)/2的概率密度为例11和12属于Z=aX+bY型，也可用下列公式计算特别地,若X,Y相互独立,则16402二维连续型随机变量函数的分布165*积的分布和商的分布02二维连续型随机变量函数的分布

问：独立？（公式法）166设X与Y相互独立，都服从区间(0，1)上的均匀分布，求𝑍=𝑋𝑌的密度函数．📚例13解102二维连续型随机变量函数的分布其它其它16702二维连续型随机变量函数的分布其它（分布函数法）当z<0时,1yx1当0

z<1时,当1

z时,z168解202二维连续型随机变量函数的分布其它169📚例14

解

02二维连续型随机变量函数的分布求𝑍=𝑌/𝑋的概率密度.即时，设随机变量𝑋与𝑌独立同分布，其概率密度为因其它其它170

所以，02二维连续型随机变量函数的分布由公式其它171📝问题设连续型随机变量X

、Y

相互独立,X、Y的分布函数分别为FX(x)、FY(y).求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数.02二维连续型随机变量函数的分布172🎯结论对于连续型随机变量,求出最大值、最小值的分布函数后,再对分布函数求导,就可以求出其概率密度函数.02二维连续型随机变量函数的分布173📝推广设n个随机变量相互独立,其分布函数为则和的分布函数分别为和特别地,当随机变量独立同分布时,分布函数均为F(x),则M和N的分布函数为02二维连续型随机变量函数的分布174📚例15设系统𝐿是由3个相互独立的同种元件连接而成,

其概率密度为分别求𝐿在串联和并联方式下系统寿命的概率密度．

02二维连续型随机变量函数的分布其它其它

(1)串联的情况因为有一个损坏时,则N

的分布函数于是,得N的密度函数175解系统L就停止工作,所以L的寿命为02二维连续型随机变量函数的分布其它其它(2)并联的情况因为当且仅当都损坏时,M的分布函数M的密度函数176解系统L才停止工作,所以L的寿命为02二维连续型随机变量函数的分布学海无涯，祝你成功！概率论与数理统计（慕课版）概率论与数理统计（慕课版）本章小结第3章多维随机变量及其分布01知识点归纳02教学要求和学习建议本讲内容180分布函数离散型随机变量联合分布律边缘分布律连续型随机变量联合概率密度常用二维分布二维随机变量函数的分布二维随机变量及其分布离散型变量函数的分布连续型变量函数的分布二维均匀分布二维正态分布条件分布律边缘概率密度条件概率密度联合分布函数边缘分布函数随机变量的独立性01

知识点归纳01知识点归纳02教学要求和学习建议本讲内容182理解二维随机变量的概念,理解二维随机变量的联合分布函数的概念、性质；理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布,理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度,会求与二维随机变量相关事件的概率；理解随机变量独立性的概念,掌握随机变量相互独立的条件；掌握二维均匀分布,了解二维正态分布；会求两个随机变量简单函数的分布,会求多个相互独立随机变量简单函数的分布.（1）（2）（3）（4）（5）02

教学要求和学习建议183工具——掌握使用——熟练转换——灵活02

教学要求和学习建议分布函数离散型随机变量联合分布律边缘分布律连续型随机变量联合概率密度常用二维分布二维随机变量函数的分布二维随机变量及其分布离散型变量函数的分布连续型变量函数的分布二维均匀分布二维正态分布条件分布律边缘概率密度条件概率密度联合分布函数边缘分布函数随机变量的独立性学海无涯，祝你成功！概率论与数理统计（慕课版）概率论与数理统计（慕课版）习题课第3章

多维随机变量及其分布186📚例1袋中有1个红球、2个黑球与3个白球.

解（1）因为是有放回地取球,故（2）求二维随机变量(X,Y)的概率分布.（1）求;别表示两次取球所取得的红球、黑球和白球的个数.回地从袋中取球两次,每次取一个球,以X、

Y、Z分现有放187（2）根据题意,X、Y可能的取值为0,1,2,{X=1,Y=0}、{X=1,Y=1}、{X=2,Y=0}.

当(X,Y)的取值为{X=0,Y=0}时,表示取到了两个白球,则(X,Y)可能的取值有{X=0,Y=0}、{X=0,Y=1}、{X=0,Y=2}、则二维随机变量188同理可得，189因此，(X,Y)的联合概率分布为XY01201/41/31/911/61/9021/3600

设随机变量X与Y相互独立,且X服从标准正态分📚例2190解布,Y的概率分布为

.机变量Z=XY的分布函数,则函数

的间断点个数为().A.0B.1C.2D.3记

为随191由于

x与

y相互独立，故

（1）若z<0,则

所以z=0为间断点，故有一个间断点，应选B.192🎯方法归纳本题求间断点的个数，实际上就是要求分布函数代入，写出的表达式,再对中z的取值进行讨论，进而确定间断点的个数。首先将离散型随机变量Y的不同取值分别随机变量。的表达式，其中X为连续型随机变量，Y为离散型📚例3193

设随机变量相互独立,其中X1与X2的概率分布为均服从标准正态分布,X3

（1）求二维随机变量的分布函数,结果用标准正态分布函数表示.（2）证明随机变量Y服从标准正态分布.解（1）

由二维随机变量的分布函数的定义，可得194因为，则可将离散型随机变量不同取值分情况代入，即

又因为X1，X2，X3相互独立,故195（2）证明：196因此，Y服从标准正态分布.197🎯方法归纳本题也是一个即含有连续型随机变量，又含有离散型随机变量的混合表达式的随机变量分布函数问题，对于此类问题有效的方法是：值代后展开，利用概率的计算公式，获得仅含有连续型随机变量的表达，再利用连续型随机变量的已知条件求按照离散型随机变量不同取解即可.📚例4198解

设二维随机变量（X,Y）在区域

上服从均匀分布，令求二维随机变量

的概率分布.

因为（X,Y）为区域D上的均匀分布,如图所示,199区域D的面积为,故二维随机变量（X,Y）的联合密度函数为

根据

的定义,将分以下四种情况讨论:200①②③④201因此,的概率分布为

Z1Z20101/4011/21/4📚例5

设随机变量X与Y相互独立,且分别服从参数为1和4的指数分布,则___.

A.B.C.D.202解

又因为X与Y相互独立,故

故应选A.📚例6203

设（X,Y）是二维随机变量,X的边缘概率密度为在给定X=x(0<x<1)的条件下，Y的条件概率密度为（1）求（X,Y）的概率密度

；（2）Y的边缘概率密度

；（3）求.204解

（1）由题意知,（2）Y的边缘概率密度为.当0<y<1时,.

故，Y的边缘概率密度为205（3）📚例7.如果随机变量Z的定义如下

设X与Y是两个相互独立的随机变量，且,求Z的分布律.206解

因X与Y两个相互独立，其联合概率密度为

由此可得，;.Z01P因此,Z的分布律为📚例8207解

设二维随机变量(X,Y)在区域D上服从均匀分布,令（1）写出(X,Y)的概率密度函数;.

（1）由题意知，(X,Y)的联合概率密度为（3）求Z=U+X的分布函数（2）问U与X是否相互独立?208（2）设t为常数，且0<t<1,则因为

，所以

U与

X不相互独立.209（3）当z<0时，

；

210综上所述，Z的分布函数为211🎯方法归纳本题是一个综合性的题目,考察