河北省衡水市河沿中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试卷

河北省衡水市河沿中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试卷一．选择题（共12小题，每小题3分，共36分。）1．（3分）函数y＝中的自变量x的取值范围是（）A．x＞﹣3且x≠0 B．x≠0 C．x＞3 D．x≠﹣3或x≠02．（3分）如图，是某学校的示意图，若综合楼在点（﹣2，0），食堂在点（1，3），则教学楼在点（）A．（0，﹣4） B．（﹣4，0） C．（﹣5，2） D．（﹣4，2）3．（3分）如图，为估计池塘两岸边A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取点C，分别取AC、BC的中点D，E，测得DE＝15m，则A，B两点间的距离是（）A．15m B．20m C．30m D．60m4．（3分）已知某校九年级200名学生义卖所得金额分布直方图如图所示，那么金额在20～30元的人数占九年级人数的百分比是（）A．15% B．25% C．40% D．50%5．（3分）菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．邻边相等 B．对边相等 C．对角相等 D．是中心对称图形6．（3分）甲、乙两种物质的溶解度y（g）与温度t（℃）之间的对应关系如图所示，则下列说法中，错误的是（）A．甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大 B．当温度升高至t2℃时，甲的溶解度比乙的溶解度大 C．当温度为0℃时，甲、乙的溶解度都小于20g D．当温度为30℃时，甲、乙的溶解度相等7．（3分）刘师傅给客户加工一个平行四边形ABCD的零件，他要检查这个零件是否为平行四边形，用下列方法不能检查的是（）A．AB∥CD，AB＝CD B．∠B＝∠D，∠A＝∠C C．AB∥CD，AD＝BC D．AB＝CD，BC＝AD8．（3分）关于一次函数y＝﹣3x+2，下列说法正确的是（）A．图象过点（1，1） B．其图象可由y＝3x的图象向下平移2个单位长度得到 C．y随着x的增大而增大 D．图象经过第一、二、四象限9．（3分）如图，A、B两地相距20千米，甲、乙两人都从A地去B地，如图，l1和l2分别表示甲、乙两人所走路程s（千米）与时间t（小时）之间关系图象，下列说法：①乙晚出发1小时；②乙出发后3小时追上甲；③甲的速度是4千米/时；④乙比甲先到B地．其中正确的说法是（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④10．（3分）某学校计划在七年级开设折扇、刺绣、剪纸、陶艺四门校本课程，要求每人必须参加，并且只能选择其中一门课程，为了解学生对这四门课程的选择情况，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图所示的不完整的条形图和扇形图．下列说法正确的是（）A．参加问卷调查的学生人数为100名 B．陶艺课程所对应的扇形圆心角的度数是30° C．条形图中的剪纸人数为30名 D．若该校七年级一共有1000名学生，则估计选择刺绣课程的学生有200名11．（3分）已知一次函数y＝ax+b，当﹣4≤x≤1时，对应y的取值范围是1≤y≤16，则a+b的值是（）A．1 B．16 C．1或16 D．无法确定12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在第一象限，B，D分别在y轴上，AB交x轴于点E，AF⊥x轴，垂足为F．若OE＝3，EF＝1．以下结论正确的个数是（）①OA＝3AF；②AE平分∠OAF；③点C的坐标为（﹣4，﹣）；④BD＝6；⑤矩形ABCD的面积为24．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个二．填空题（共4小题，每小题3分，共12分。）13．（3分）如图，已知一次函数y＝kx+4（k≠0）和y＝﹣3x﹣b的图象交于点A（﹣3，2），则关于x，y的二元一次方程组的解是．14．（3分）已知点P1（a﹣1，5）和P2（2，b﹣1）关于x轴对称，则（a+b）2023的值为．15．（3分）一个多边形纸片剪去其中某一个角后，形成的另一个多边形的内角和为900°，那么原多边形的边数为．16．（3分）如图，将边长为3的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转30°后得到正方形AB′C′D′，则图中阴影部分面积为．三．解答题（共8小题，共72分。）17．“十一”期间，小华一家人开车到距家100千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45升，当行驶60千米时，发现油箱余油量为31.5升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）．（1）求该车平均每千米的耗油量；（2）写出余油量Q（升）与行驶路程x（千米）之间的关系式；（3）当油箱中余油量低于3升时，汽车将自动报警，若往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？说明理由．18．如图，在直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别为（3，﹣2），（3，2）．（1）将点B，点A都向左平移5个单位长度，分别得到对应点C和D，顺次连接A，B，C，D，画出四边形ABCD；（2）把横、纵坐标都是整数的点叫做整点，在四边形ABCD内部（不包括边界）的整点M，使S△ABM＝4，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．19．如图，M，N两地相距50千米，甲、乙两人于某日下午从M地前往N地，图中的折线ABC和线段EF分别表示甲与乙所行驶的路程s和时间t的关系．根据图象回答下列问题：（1）甲出发小时后，乙才开始出发；（2）甲在BC段路程中的平均速度是千米/小时；乙的平均速度是千米/小时；（3）乙出发后经过几小时就追上甲？20．某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A：春运；B：日用商品价格；C：新冠疫情；D：直播带货；E：寒潮天气”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题：（1）数学实践小组在这次活动中，调查的居民共有人；（2）将上面的最关注话题条形统计图补充完整；（3）最关注话题扇形统计图中的a＝，话题D所在扇形的圆心角是度；（4）假设这个小区居民共有9000人，请估计该小区居民中最关注的话题是“日用商品价格”的人数是多少．21．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+5与x轴、y轴分别交于点A、B，直线l2：：y＝mx﹣m+4（m≠﹣1）与x轴、y轴分别交于点C、D，点P（2，n）在直线l2上．（1）直线y＝mx﹣m+4过定点M（1，4）吗？；（填“过”或“不过”）（2）若点B、O关于点D对称，求此时直线l2的解析式；（3）若直线l2将△AOB的面积分为1：4两部分，请求出m的值．22．如图，点E，F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且AE＝CF．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）若AB⊥BF，AB＝16，BF＝12，AC＝24．①线段EF长为．②四边形BEDF的面积为．23．万众瞩目的2022年卡塔尔世界杯开幕后，为迎合市场需求，某商家计划购进A，B两款球衣，经调查，用30000元购买A款球衣的件数是用9000元购买B款球衣的件数的3倍，一件A款球衣的进价比一件B款球衣的进价多20元．（1）求商家购进一件A，B款球衣的进价分别为多少元？（2）若该商家购进A，B两款球衣共210件进行试销，其中A款球衣的件数不大于B款球衣的件数的2倍，且不小于100件，已知A款球衣的售价为320元/件，B款球衣的售价为280元/件，且全部售出，设购进A款球衣m件，求该商家销售这批商品的利润W与m之间的函数解析式，并写出m的取值范围；（3）在（2）的条件下，商家决定在试销活动中每售出一件A款球衣，就从一件A款球衣的利润中抽取a元支援贫困山区的儿童，求该商家售完所有球衣并支援贫困山区儿童后获得的最大收益．24．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是直线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE（A，P，E按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化．（1）如图1，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，则BP与CE的数量关系是，BC与CE的位置关系是；（2）①如图2，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；②在①的条件下，连接BE，若AB＝2，∠APB＝75°，直接写出BE的长为；（3）当点P在直线BD上时，其他条件不变，连接BE．若，，请直接写出PD的长度为．参考答案一．选择题（共12小题，每小题3分，共36分。）1．（3分）函数y＝中的自变量x的取值范围是（）A．x＞﹣3且x≠0 B．x≠0 C．x＞3 D．x≠﹣3或x≠0【解答】解：由题意得，x﹣3＞0，解得x＞3．故选：C．2．（3分）如图，是某学校的示意图，若综合楼在点（﹣2，0），食堂在点（1，3），则教学楼在点（）A．（0，﹣4） B．（﹣4，0） C．（﹣5，2） D．（﹣4，2）【解答】解：如图，∴教学楼在点（﹣4，2）．故选：D．3．（3分）如图，为估计池塘两岸边A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取点C，分别取AC、BC的中点D，E，测得DE＝15m，则A，B两点间的距离是（）A．15m B．20m C．30m D．60m【解答】解：∵AC、BC的中点分别是D，E，即DE是△ABC的中位线，∴DE＝AB．∵DE＝15m，∴AB＝2DE＝2×15＝30（m）．故选：C．4．（3分）已知某校九年级200名学生义卖所得金额分布直方图如图所示，那么金额在20～30元的人数占九年级人数的百分比是（）A．15% B．25% C．40% D．50%【解答】解：金额在20～30元的人数占九年级人数的百分比是×100%＝25%，故选：B．5．（3分）菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．邻边相等 B．对边相等 C．对角相等 D．是中心对称图形【解答】解：∵菱形具有的性质有：四边相等，两组对边平行且相等，两组对角分别相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；平行四边形的性质有：两组对边分别平行且相等，两组对角分别相等，对角线互相平分，∴菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是邻边相等．故选：A．6．（3分）甲、乙两种物质的溶解度y（g）与温度t（℃）之间的对应关系如图所示，则下列说法中，错误的是（）A．甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大 B．当温度升高至t2℃时，甲的溶解度比乙的溶解度大 C．当温度为0℃时，甲、乙的溶解度都小于20g D．当温度为30℃时，甲、乙的溶解度相等【解答】解：由图象可知，A、B、C都正确，当温度为t1℃时，甲、乙的溶解度都为30g，故D错误，故选：D．7．（3分）刘师傅给客户加工一个平行四边形ABCD的零件，他要检查这个零件是否为平行四边形，用下列方法不能检查的是（）A．AB∥CD，AB＝CD B．∠B＝∠D，∠A＝∠C C．AB∥CD，AD＝BC D．AB＝CD，BC＝AD【解答】解：A、可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定，故此选项不合题意；B、可利用两组对角分别相等的四边形是平行四边形进行判定，故此选项不合题意；C、不能进行判定，故此选项符合题意；D、可利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行判定，故此选项不合题意；故选：C．8．（3分）关于一次函数y＝﹣3x+2，下列说法正确的是（）A．图象过点（1，1） B．其图象可由y＝3x的图象向下平移2个单位长度得到 C．y随着x的增大而增大 D．图象经过第一、二、四象限【解答】解：A、当x＝1时，y＝﹣3×1+2＝﹣1，∴一次函数y＝﹣3x+2的图象经过点（1，﹣1），选项A错误，不符合题意；B、由y＝3x的图象向下平移2个单位长度得到y＝3x﹣2，故选项B错误，不合题意C、∵k＝﹣3＜0，∴y随x的增大而减小，选项C错误，不符合题意；D、∵k＝﹣3＜0，b＝2＞0，∴一次函数y＝﹣3x+2的图象经过第一、二、四象限，选项D正确，符合题意；故选：D．9．（3分）如图，A、B两地相距20千米，甲、乙两人都从A地去B地，如图，l1和l2分别表示甲、乙两人所走路程s（千米）与时间t（小时）之间关系图象，下列说法：①乙晚出发1小时；②乙出发后3小时追上甲；③甲的速度是4千米/时；④乙比甲先到B地．其中正确的说法是（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④【解答】解：由函数图象可知，乙比甲晚出发1小时，故①正确；乙出发3﹣1＝2（小时）后追上甲，故②错误；甲的速度为：12÷3＝4（千米/小时），故③正确；乙的速度为：12÷（3﹣1）＝6（千米/小时），则甲到达B地用的时间为：20÷4＝5（小时），乙到达B地用的时间为：20÷6＝（小时），∵1+＝＜5，∴乙先到达B地，故④正确；∴正确的说法为：①③④，故选：B．10．（3分）某学校计划在七年级开设折扇、刺绣、剪纸、陶艺四门校本课程，要求每人必须参加，并且只能选择其中一门课程，为了解学生对这四门课程的选择情况，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图所示的不完整的条形图和扇形图．下列说法正确的是（）A．参加问卷调查的学生人数为100名 B．陶艺课程所对应的扇形圆心角的度数是30° C．条形图中的剪纸人数为30名 D．若该校七年级一共有1000名学生，则估计选择刺绣课程的学生有200名【解答】解：A．参加问卷调查的学生人数为15÷30%＝50（名），不合题意；B．陶艺课程所对应的扇形圆心角的度数是，不合题意；C．剪纸的人数为50﹣15﹣10﹣5＝20（名），不合题意；D．估计选择刺绣课程的学生有（名），合题意；故选：D．11．（3分）已知一次函数y＝ax+b，当﹣4≤x≤1时，对应y的取值范围是1≤y≤16，则a+b的值是（）A．1 B．16 C．1或16 D．无法确定【解答】解：由一次函数性质知，当a＞0时，y随x的增大而增大，所以得，解得，即a+b＝16；当a＜0时，y随x的增大而减小，所以得，解得，即a+b＝1．∴a+b的值为1或16．故选：C．12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在第一象限，B，D分别在y轴上，AB交x轴于点E，AF⊥x轴，垂足为F．若OE＝3，EF＝1．以下结论正确的个数是（）①OA＝3AF；②AE平分∠OAF；③点C的坐标为（﹣4，﹣）；④BD＝6；⑤矩形ABCD的面积为24．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解答】解：∵∠OEB＝∠AEF，∠AFE＝∠BOE＝90°，∴△AEF∽△BEO，∴＝＝3，∠EAF＝∠OBE，∴BO＝3AF，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，∴AO＝OB，∴AO＝3AF，∠OBA＝∠OAB，故①正确；∴∠OAB＝∠EAF，∴AE平分∠OAF，故②正确；∵OE＝3，EF＝1，∴OF＝4，∵OA2﹣AF2＝OF2，∴8AF2＝16，∴AF＝（负值舍去），∴点A坐标为（4，），∵点A，点C关于原点对称，∴点C（﹣4，﹣），故③正确；∵AF＝，OA＝3AF，∴AO＝3，∴BO＝DO＝3，∴BD＝6，故④错误；∵S△ABD＝×6×4＝12，∴矩形ABCD的面积＝2×S△ABD＝24，故⑤正确，故选：C．二．填空题（共4小题，每小题3分，共12分。）13．（3分）如图，已知一次函数y＝kx+4（k≠0）和y＝﹣3x﹣b的图象交于点A（﹣3，2），则关于x，y的二元一次方程组的解是．【解答】解：∵一次函数y＝kx+4（k≠0）与y＝﹣3x﹣b的图象交于点A（﹣3，2），∴关于x，y的二元一次方程组的解是，故答案为：．14．（3分）已知点P1（a﹣1，5）和P2（2，b﹣1）关于x轴对称，则（a+b）2023的值为﹣1．【解答】解：∵点P1（a﹣1，5）和P2（2，b﹣1）关于x轴对称，∴a﹣1＝2，b﹣1＝﹣5，∴a＝3，b＝﹣4，∴（a+b）2023＝（3﹣4）2023＝﹣1，故答案为：﹣1．15．（3分）一个多边形纸片剪去其中某一个角后，形成的另一个多边形的内角和为900°，那么原多边形的边数为8或7或6．【解答】解：设原多边形为n边形，则当n多边形截去一个角后，可形成（n﹣1）或n或（n+1）边形，∴（n﹣1﹣2）×180°＝900°或（n﹣2）×180°＝900°或（n+1﹣2）×180°＝900°，解得n＝8或7或6，故答案为：8或7或6．16．（3分）如图，将边长为3的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转30°后得到正方形AB′C′D′，则图中阴影部分面积为9﹣3．【解答】解：连接AE，如图所示：由旋转的性质可知：AB＝AB′．在Rt△AB′E和Rt△ADE中，，∴Rt△AB′E≌Rt△ADE（HL）．∴∠DAE＝∠B′AE，S△ADE＝S△AB′E．∵∠BAB′＝30°，∴∠DAE＝×（90°﹣30°）＝30°．又∵AB＝3，∴DE＝AB＝，∴S△ADE＝××3＝，又∵S正方形ABCD＝32＝9，∴S阴影＝9﹣2×＝9﹣3．故答案为：9﹣3．三．解答题（共8小题，共72分。）17．“十一”期间，小华一家人开车到距家100千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45升，当行驶60千米时，发现油箱余油量为31.5升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）．（1）求该车平均每千米的耗油量；（2）写出余油量Q（升）与行驶路程x（千米）之间的关系式；（3）当油箱中余油量低于3升时，汽车将自动报警，若往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？说明理由．【解答】解：（1）（升/千米），答：该车平均每千米耗油0.225升；（2）Q＝45﹣0.225x；（3）当x＝200时，Q＝45﹣0.225×200＝0，∵0＜3，∴所以他们不能在汽车报警前回到家．18．如图，在直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别为（3，﹣2），（3，2）．（1）将点B，点A都向左平移5个单位长度，分别得到对应点C和D，顺次连接A，B，C，D，画出四边形ABCD；（2）把横、纵坐标都是整数的点叫做整点，在四边形ABCD内部（不包括边界）的整点M，使S△ABM＝4，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．【解答】解：（1）由图可知，点C的坐标为（﹣2，2），点B与点A关于x轴对称，画出四边形ABCD如图所示．（2）设△ABM的AB边上的高为h，由题意得，解得h＝2，∴满足条件的点在直线x＝1上，且在矩形内部（不包括边界），∴符合条件的所有点M的坐标为（1，1）或（1，0）或（1，﹣1）．19．如图，M，N两地相距50千米，甲、乙两人于某日下午从M地前往N地，图中的折线ABC和线段EF分别表示甲与乙所行驶的路程s和时间t的关系．根据图象回答下列问题：（1）甲出发1小时后，乙才开始出发；（2）甲在BC段路程中的平均速度是10千米/小时；乙的平均速度是50千米/小时；（3）乙出发后经过几小时就追上甲？【解答】解：（1）由图象可知，甲在1小时，开始出发，乙在2小时，开始出发，∵2﹣1＝1，∴甲出发1小时后，乙才开始出发，故答案为：1；（2）由图象可知，甲在BC段路程中的平均速度是＝10（千米/小时）乙的平均速度是＝50（千米/小时），故答案为：10；50；（3）设乙出发后经过t小时就追上甲，依题意得，20+10t＝50t，解得t＝0.5，∴乙出发后经过0.5小时就追上甲．20．某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A：春运；B：日用商品价格；C：新冠疫情；D：直播带货；E：寒潮天气”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题：（1）数学实践小组在这次活动中，调查的居民共有200人；（2）将上面的最关注话题条形统计图补充完整；（3）最关注话题扇形统计图中的a＝25，话题D所在扇形的圆心角是36度；（4）假设这个小区居民共有9000人，请估计该小区居民中最关注的话题是“日用商品价格”的人数是多少．【解答】解：（1）调查的居民共有：60÷30%＝200（人）；（2）选择C的居民有：200×15%＝30（人），选择A的居民有：200﹣60﹣30﹣20﹣40＝50（人），补全的条形统计图如图所示：（3）∵，∴a＝25；话题D所在扇形的圆心角是：，（4）9000×30%＝2700（人），答：估计该小区居民中最关注的话题是“日用商品价格”的人数大约有2700人．21．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+5与x轴、y轴分别交于点A、B，直线l2：：y＝mx﹣m+4（m≠﹣1）与x轴、y轴分别交于点C、D，点P（2，n）在直线l2上．（1）直线y＝mx﹣m+4过定点M（1，4）吗？过；（填“过”或“不过”）（2）若点B、O关于点D对称，求此时直线l2的解析式；（3）若直线l2将△AOB的面积分为1：4两部分，请求出m的值．【解答】解：（1）在y＝mx﹣m+4中，令x＝1得y＝m﹣m+4＝4，∴直线y＝mx﹣m+4过定点M（1，4），故答案为：过；（2）在y＝﹣x+5中，令x＝0得y＝5，∴B（0，5），∵点B、O关于点D对称，∴D是OB的中点，∴D（0，），把D（0，）代入y＝mx﹣m+4得：＝﹣m+4，解得m＝，∴直线l2的解析式为y＝x+；（3）在y＝﹣x+5中，令x＝1得y＝4，∴M（1，4）在直线y＝﹣x+5上，∴直线l1：y＝﹣x+5与直线l2：：y＝mx﹣m+4的交点为M（1，4），在y＝﹣x+5中，令x＝0得y＝5，令y＝0得x＝5，∴A（5，0），B（0，5），∴S△AOB＝×5×5＝，当S△BDM：S四边形MDOA＝1：4时，如图：此时S△BDM＝×＝，∴BD•|xM|＝，即×BD×1＝，∴BD＝5，∴D（0，0），把D（0，0）代入y＝mx﹣m+4得：0＝﹣m+4，∴m＝4；当S△ACM：S四边形MBOC＝1：4时，如图：此时S△ACM＝×＝，∴AC•|yM|＝，即×AC×4＝，∴AC＝，∴C（，0），把C（，0）代入y＝mx﹣m+4得：0＝m﹣m+4，∴m＝﹣；综上所述，m的值为4或﹣．22．如图，点E，F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且AE＝CF．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）若AB⊥BF，AB＝16，BF＝12，AC＝24．①线段EF长为16．②四边形BEDF的面积为153.6．【解答】（1）证明：连接BD交AC于O．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵AE＝CF，∴OE＝OF，∵OB＝OD，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）解：①在Rt△ABF中，AF＝＝＝20，∵AC＝24，∴CF＝AC﹣AF＝24﹣20＝4，∵AE＝CF，∴EF＝AF﹣AE＝16，故答案为：16；②过点B作DH⊥AF于H，∵AB⊥BF，AB＝16，BF＝12，AF＝20，∴S△ABF＝AB•BF＝AF•DH，∴16×12＝20BH，解得BH＝9.6，∵四边形BEDF是平行四边形，∴BE＝DF，BF＝DE，在△BEF和△DFE中，，∴△BEF≌△DFE（SSS），∴S△BEF＝S△DFE，∴S四边形BEDF＝2S△BEF＝2××16×9.6＝153.6．故答案为：153.6．23．万众瞩目的2022年卡塔尔世界杯开幕后，为迎合市场需求，某商家计划购进A，B两款球衣，经调查，用30000元购买A款球衣的件数是用9000元购买B款球衣的件数的3倍，一件A款球衣的进价比一件B款球衣的进价多20元．（1）求商家购进一件A，B款球衣的进价分别为多少元？（2）若该商家购进A，B两款球衣共210件进行试销，其中A款球衣的件数不大于B款球衣的件数的2倍，且不小于100件，已知A款球衣的售价为320元/件，B款球衣的售价为280元/件，且全部售出，设购进A款球衣m件，求该商家销售这批商品的利润W与m之间的函数解析式，并写出m的取值范围；（3）在（2）的条件下，商家决定在试销活动中每售出一件A款球衣，就从一件A款球衣的利润中抽取a元支援贫困山区的儿童，求该商家售完所有球衣并支援贫困山区儿童后获得的最大收益．【解答】解：（1）设一件B款球衣的进价为x元，则一件A款球衣的进价为（x+20）元，根据题意得，，解得x＝180，经检验，x＝180是原方程的解，∴x+20＝180+20＝200．答：一件A款球衣的进价为200元，一件B款球衣的进价为180元；（2）∵A款球衣的件数不大于B款球衣的件数的2倍，且不小于100件，∴解得100≤m≤140，根据题意得W＝（320﹣200）m+（280﹣180）（210﹣m），化简得W＝20m+21000．答：W＝20m+21000（100≤m≤140）；（3）设该商家售完所有商品并支援贫困山区的儿童后获得的收益是Q元，根据题意得Q＝20m+21000﹣am＝（20﹣a）m+21000，100≤m≤140，当0＜a＜20时，Q随m的增大而增大，∴m＝140时，Q最大，最大值为（20﹣a）×140+21000＝（23800﹣140a）元；当a＝20时，Q＝21000元；当a＞20时，Q随m的增大而减小，∴m＝100时，Q最大，最大值为（20﹣a）×100+21000＝（23000﹣100a）元．答：当0＜a＜20时，该商家售完所有商品并支援贫困山区的儿童后获得的最大收益是（23800﹣140a）元；当a＝20时，该商家售完所有商品并支援贫困山区的儿童后获得的最大收益是21000元；当a＞20时，该商家售完所有商品并支援贫困山区的儿童后获得的最大收益是（23000﹣100a）元．24．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是直线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE（