高中数学必修第一册第五章《三角函数》测试卷解析版

2020-2021学年高中数学必修第一册第五章《三角函数》测试卷

解析版

单项选择题(共8小题，每小题5分，共40分)

1.若s讥(8+1)=则sin(20-J)=()

2277

A.—QB.-C.-QD.

9999

解:Vsin(0+1)=|,

Acos(20+y)=1-2sin2(6+^)=1-2X(-)2=J,

4839

TCTTIT77"7

.•.sin[--(28+《)]=sin(--20)=cos(29+—)=[

24449

TCTC7

sin(2^-4)=—sin-28)=­g.

故选：C.

2.tan27°+tan33°+V3tan27°tan33°=()

A.V3B.-V3D•-苧

解：tan27°+tan33°+V3tan27°tan33°

=tan(27°+33°)(1-tan27°tan33°)+V3tan27°tan33°

=tan600-tan60°tan27°tan33°+V3tan27°tan33°

=V3—V3tan27°tan33°+V3tan27°tan33°

=V3.

故选：A.

3.已知函数/(x)=V2sin(3x+(p)(3〉0,|(p|<J)的部分图象如图所示，则函数/(x)

的单调减区间为()

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A.[2/CTT—8，2/CTT4—g-](kGZ)B.[ku—8，ku4—g-](fcGZ)

C.[2fc7TH—g-,2kli4—g-](/cGZ)D.\knH—g-，kn-\—g-](fcGZ)

解：根据函数/(x)=V2sin((ji)x+(p)的部分图象，

可得了(一)—V2sin(―a)+(p)=0,所以一(n+(p=0；

888

,7T,—7T——,7T277"

由/(])=V2sin(­a)+q))=1,所以&0)+年=下；

解得3=2,(p=-1

所以/(%)=V2sin(2x—百)；

令2di+242]-q<2左n+~g-,左EZ；

RTT7TT

解得加+WxW加+~g~,%CZ；

所以函数的单调减区间为[加+券，加+普],蛇Z.

故选：D.

4.已知a为锐角，若cos(a+/)=称，则tan2a=()

7317

A.——B.——C.-D.——

1010324

解：为锐角，且cos(a+[)=f,a+%(一，一)，

4□444

..Z4

..sin(a,+74T.)=引

jljljlTT兀TT43

.•.sina=sin[(a+4)—]]=sin(a+4)cos——cos(a+y)sin-=-X——-X-=—,

4,4,525210

r.——7V2

cosa=VI—sin^a=

.sina

..tana=----=

cosa

2tana_2x：_7

tan2a=

l—tan2a24

故选：D.

27f

5.函数y=sinx+V5cosx的图象向右平移w个单位长度得到函数/（无）的图象，则下列说

法不正确的是（）

A.函数/（x）的最小正周期2TT

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B.函数/（x）的图象关于直线％=营对称

C.函数/（X）的图象关于弓，0）对称中心

D.函数/⑴在信，等]上递增

解：把函数y=s讥％+V^cos%=2sin（x+5）的图象向右平移一个单位长度，

，D3

得到函数/⑴=2sin（了一⑥的图象，

显然，f（x）的周期为2TG故A正确；

当尤=半时，/（X）=2,为最大值，故/（无）的图象关于直线％=系对称，故8正确;

当时，/（x）=0,故/（%）的图象关于点0）对称，故C正确；

在[1，—^―]_h,x—^-6[~,-]Jl,f（x）单调递减，故。错误，

故选：D.

6.若函数/（x）=sina）x-cosa）x（（i）>0）的图象关于点（2,0）对称，则o）的最小值是（）

解：函数/（x）=sino）x-cosa）x=V2sin（o）x—.）,

其图象关于点（2,0）对称，

贝!J2oo-4=Zn,keZ；

解得co=等+称，依Z；

Lo

又3>0,

7T

所以k=U时，0）取得取小值是学.

故选：A.

7.在平面直角坐标系中，若角a的终边经过点尸（s讥萼，cos粤），则cosa=（)

C.—D--f

47T71V3

解：sin—=—sin-=———，

332

47rTi1

cos—=—cos-=

332

4TT、

•・•角a的终边经过点尸（s）等，cos^-),

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.•.角a的终边经过点P(一空,-1),

._-坐—V3

••cosoc-—j———2~.

故选：D.

8.已知a为锐角，sin(a—=曰则sina=()

43

2^23727V2

A立B.——C.—D

105510

解：因为s讥(a-=',

V23

所以三Qsina—cosa)=—,

所以sina—cosa=-g—①，两边平方可得2sinacosa=云,

32

所以sin2a+cos2a+2sinacosa=云,

所以(sina+cosa)2=

因为a为锐角，

=¥②，

所以s讥a+cosa

由①②可得sina=

故选：D.

二.多项选择题(共4小题，每小题5分，共20分)

9.已知函数/(x)=sinx+cosx,则()

A.f(x)的最大值为迎

B.f(x)的最小正周期为n

C./。+今)是偶函数

71

D.将＞=/(%)图象上所有点向左平移m个单位，得到g(x)=sinxCOSX的图象

解：f(x)-sinx+cosx=V2sin(x+,),

则函数的最大值为VL故A正确，

函数的最小正周期T=竽=2m故B错误，

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f(x+5)=V2sin(x+J+J)=V2sin(x+暂)=V^cosx为偶函数，故C正确，

将y=/(x)图象上所有点向左平移］个单位，得到g(x)=sin(%+今)+cos(x+*)=

cosx-sinx的图象，故D错误，

故正确的是AC,

故选：AC.

10.已知曲线Ci：y=2sinx,C2：y=2sin(2x+^),则()

A.把Ci上各点的横坐标缩短到原来的:倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平行移

7T

动二个单位长度，得到曲线C2

6

1

B.把。上各点的横坐标缩短到原来的5倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平行移动

571

一个单位长度，得到曲线C2

6

C.把C1向左平行移动三个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的三倍，

32

纵坐标不变，得到曲线C2

D.把Q向左平行移动巳个单位长度,再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的三倍，

62

纵坐标不变，得到曲线C2

解：•.•曲线Ci：y=2sinx,C2：y=2sin(2x+^),

・•・把Cl上各点的横坐标缩短到原来的得倍，纵坐标不变，可得y=sin2x的图象；

TT'TT

再把得到的曲线向左平行移动二个单位长度，得到y=2sin(2x+g),即得到曲线C2,故

A选项正确；

同理，5选项正确；

把Ci向左平行移动§个单位长度，可得y=2sin(尤+0的图象，

再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的得倍，纵坐标不变，

得到y=2sin(2x+»即得到曲线C2,故C选项正确；

同理，。选项错误.

综上所述，正确选项为A3C.

故选：ABC.

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11.已知函数/(x)=(asinx+cosx)cosx-%的图象的一条对称轴为x=强，则下列结论中正

确的是()

A.f(x)是最小正周期为it的奇函数

B.(—居，0)是了(无)图象的一个对称中心

C.f(x)在［一笔，上单调递增

D.先将函数y=2sin2x图象上各点的纵坐标缩短为原来的点然后把所得函数图象再向

71

左平移石个单位长度，即可得到函数/(X)的图象

解：函数/(x)=(tzsinr+cosx)cosx—

=asi.nxcosx+cos2x—1

11

=严sin2x+2cos2x,

又/(x)图象的一条对称轴为x=*

71

所以八0)=/(-),

即-=-〃xg+Jx(―i),

22222

解得a=V3,

所以/(%)=^ysin2x+^cos2x=sin(2%+.)；

所以/(%)的最小正周期为n，但不是奇函数，A错误；

/(—=sin(-=f(-IT)=0,所以(一^^，0)是/(x)图象的一'个对称

中心，B正确；

xe［-l，夕时，2x+耻［号为所以/(X)在［一会刍上不是单调函数，c错误;

1

将函数y=2sin2x图象上各点的纵坐标缩短为原来的5，得〉=$由21的图象；

再把所得函数图象向左平移专个单位长度，得尸sin2(x+金)=sin⑵+Q的图象,

即函数了(无)的图象，所以。正确.

故选：BD.

12.下面关于/(无)=2sin(2x—)叙述中正确的是()

第6页共11页

n

A.关于点（:，0）对称

6

B.关于直线％=:对称

O

71

C.在区间[0,7上单调

71

D.函数/（%）的零点为一+E（比Z）

6

解：对于函数/（尤）=2sin⑵一电，

令求得/（x）=0,可得它的图象关于点（一，0）对称，故A正确、8不正确.

区间[0,|]±,2x_软一争|],/（X）单调递增，故C正确.

7171

由于/（X）的周期为TT,故函数/（无）的零点为一+H—（依Z）,故。不正确，

62

故选：AC.

三.填空题（共4小题，每小题5分，共20分）

13.若2cos2。=cos(e+今,且。eg，兀),则sin2。的值为

解：\"2cos29=cos(9+^)>

.'.2(cos20-sin20)=2(cos0+sin0)(cos0-sin0)=(cos6-sin。)，

又・・,eGg,7i),

cos0-sin®WO,

解得：cos0+sin0=g,

q

i

两边平方，可得：l+sin20=5，

o

・••可得:sin20=—Q.

故答案为：

cos(--a)

14.已知-----——贝!Jtan2a=-2V2

cosa

cos(--a)sina

解::已知-----——------=tana,

cosacosa

2tana

则tan2a=等=-2V2,

1—tana

故答案为：-2&.

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15.函数/(%)=sin2x+cosx-2的值域是_［一3,—1］_.

解：f(x)=sin2x+cosx-2=-cos2x+cosx-L

12

设COSX—ZE［-1,1］,则丫=一产+力-1=—(t—引2——,

当yJ时，函数有最大值为Y；当f=-1时，函数有最小值为-3.

故函数值域为［一3,-1］,

故答案为：［-3,-1］.

16.已知函数八无)=&sin⑵—»xGR,若/⑴在区间学］上的最大值和最小值

分别为〃，b,则〃-Z?的值为—V2+1_.

解：圣••・0W2X—抬手

<sin(2x—称)W1,

-1<V2sin⑵-与)<V2,

...〃=y/2,b=-1,

a-b=V2+1.

故答案为：V2+1.

四.解答题(共6小题，第17题10分，18・22每小题12分，共70分)

77-TT7(

17.已知函数/(%)=2s讥(3%+可)—cos(a%+石)(0<”<!),将曲线y=/(x)向右平移］个

单位，得到的曲线关于原点对称.

(1)求0)；

(2)求/(X)在［0,用上的值域.

解：(1)/(%)=2sin®%+刍一cos(o)%+1)=2sina)xX寺+2x^-cosa)x—cosa)x+

1.

2sina)x

=^sina)x+亨cosa)x=V3sin(cox+看)

n

将曲线y=/G)向右平移一个单位，

4

得到g(%)=f(x-舟=V3sin(eox-甜+看)・

第8页共11页

由条件，—彳3+z=k"，左EZ,

4o

得3=q-4fcfkCZ.

因为0<3<1,

所以3=2«

(2)由(1)知：/(%)=V3sin(|x+^),

,,,〜、Ti2n5TT

因为OWxWm所以一<-x+—<—.

6366

2n

从而一<sin(-x+—)<1,

236

故/(x)在[0,一上的值域为俘,V3].

18.已知函数/(x)=V3sinx*cosx-cos2x—

(I)求函数/(%)的单调递增区间及其图象的对称中心；

(II)当工£[-各招]时，求函数/(%)的值域.

解：(I)由于/(%)=^-sin2x—1+争2%—1=^-sin2x—^cos2x—1=sin(2x—^)—

1,

令2加一齐2%-髀2而+去求得配-髀在加+不依Z,

可得/(x)的单调递增区间是即一小0+刍，kez.

令2x—1=内1,求得％=+金,可得它的图象的对称中心是g/c7r+$,—1)/kEZ.

/TT\••冗/,57T•TC/n冗/27T

X,-2X-,

(H)--T2^^12•-3-6-T

-Wsin(2x--g)<1,从而一1—<sin(2x—g)—1<0,

则/(x)的值域是[—1—苧，0],

1TT

19.已知tana=求tan2a,tan(2。+可)的值.

1

解：由tana=2,

1

2X4

2tana2-

2--

得tan2a=13

l—tan^a-(

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7Ttan2a-^tan^48+25右

tan(2。+可)=

l—tan2ataTi^-39-

20.设函数/(x)=讥xcosx—cos?%—亍，xeR.

(1)求函数/(x)的最小正周期；

(II)若xe(o,刍，求函数了(无)的值域.

解：(1),**/(%)=y/3sinxcosx—cos2x-,xER.

=苧sin2x-cos2x+l

2

IT

=sin(2x—工)-1,

6

•T27r

••1—2—7T•

TV

(2)VxG(0,J),

TTTT57r

(，)，

lx—^66—6z—6

sin(2x—/)G(—1],

6，

(x)G(—2，0]，

21.设%CR,函数/(%)=cosx(2V3siiix-cosx)+sin2x+L

(1)求函数/G)的单调递增区间；

(2)求函数/(x)的对称轴方程与对称中心.

解：(1)函数/(x)=cosx(2V3siar-cosx)+sin2x+l

=V3sin2x-(cos2x-sin2x)+1

=V^sin2x-cos2x+l

=2sin⑵―蜘+1

令：—+2^nW2x—工45+2^11,(左EZ),解得：—n万+^n,(左6Z),

LoZo3

IT7(

所以函数的单调递增区间为：［-看+内T,］+加］，(依Z).

(2)令：2x—云=5+%ir,(左CZ),解得：工=5