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文档简介

连续与间断

初等函数的连续性

闭区间上连续函数的性质§1-5函数的连续性内容提要函数连续的概念一为了准确地描述函数连续的概念，我们首先引入函数增量的概念，如图1-9所示。图1-9设函数在x0点及其附近有定义，我们把x0

附近的x记作，并称为自变量由x0

变到x时自变量的增量（或改变量），这时相应地函数值由变到，我们称

为函数值的增量（或改变量），记作，即引例1【植物的生长高度】大家都知道植物的生长高度h是时间t的函数，而且h随着t的变化而连续变化。事实上，当时间t的变化很微小时，植物的生长高度h的变化也很微小，即当时，

。引例2【图形得出的启示】观察图1-9不难看出，函数在点x0处连续时，越小，点N越靠近点M，对应的函数增量也越小；当

时，点N沿曲线无限接近于点M，这时。从以上两个引例可以看出，函数在某点连续具有以下数学特征：即因为，所以当时，，这时上式可以写为根据连续的定义，函数在点处连续必须满足三个条件：定义1设函数在点x0

及其近旁有定义，若或

，则称函数在点x0连续。点称为函数的连续点。注意（1）在x0点有定义，且存在；（2）在x0点极限存在，即；（3）。如果函数在点x0处不满足连续的条件，则称函数在点x0

不连续或间断，点x0称为函数的不连续点或间断点。解因为在0点有定义，且，而，所以

。例1判断函数在点的连续性。由定义可知，函数在点连续。解例2判断函数在点的连续性。因为在1点有定义，且，又因为，所以在1点右连续；而，所以在点不左连续，从而函数在点不连续。解例3讨论函数在定义域内连续性。设任意一点。因为。所以，由定义1可知，函数在点x0连续。由点x0

的任意性可得，函数在定义域内连续。基本初等函数的连续区间就是其定义域。根据极限的四则运算法则和函数连续的定义，得出如下结论：（1）若函数和在点x0

处连续，则函数，

，在点x0

处也连续。初等函数的连续性二（2）若函数在点x0

处连续，而函数在对应的点u0

处也连续（其中），则复合函数在点x0处连续。根据结论2可得即

连续的复合函数求极限时，极限符号可以与函数符号交换顺序。例4求极限：解例5求极限：解因为，所以。一切初等函数在其定义区间内是连续的。初等函数的连续区间就是它的定义区间。求初等函数定义区间内某一点的极限值等于求该点的函数值。例6求下列函数的极限：（1）（2）解（1）因为是初等函数，时函数有定义，所以（2）因为是初等函数，时函数有定义，所以闭区间上连续函数的性质三性质2（介值定理）若函数在闭区间上连续，且

，对于与之间的任意数C，则在开区间

内至少存在一点ξ，使。性质的几何意义是：闭区间上的连续曲线与水平直线至少相交于一点，如图1-10所示有三个这样的相交点，即。图1-10性质3（零点定理）若函数在闭区间上连续，且

，则在开区间内至少存在一点ξ

，使。性质的几何意义是：闭区间上的连续曲线，当两端点不在x轴同侧时与x至少相交于一点，如图1-11所示。图1-11例7证明方程在区间内至少有一个实根。解令，它在闭区间上连续，并且，

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