专题18 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）小题综合含解析 十年（2015-2024）高考真题数学分项汇编（全国用）

专题18圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）小题综合考点十年考情（2015-2024）命题趋势考点1椭圆方程及其性质（10年6考）2023·全国甲卷、2023·全国甲卷、2022·全国新Ⅰ卷2021·全国新Ⅰ卷、2020·山东卷、2019·全国卷、2019·全国卷2015·山东卷、2015·全国卷、2015·广东卷、2015·全国卷熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的方程及其性质应用，是高考高频考点熟练掌握椭圆和双曲线的离心率的求解及应用，同样是高考热点命题方向熟练掌握直线与圆锥曲线的位置关系，并会求解最值及范围，该内容也是命题热点掌握曲线方程及轨迹方程考点2双曲线方程及其性质（10年10考）2024·天津卷、2023·全国甲卷、2023·全国乙卷、2023·天津卷2023·北京卷、2022·全国甲卷、2022·全国甲卷、2022·北京卷2022·天津卷、2021·北京卷、2021·全国乙卷、2021·全国乙卷2021·全国新Ⅱ卷、2020·北京卷、2021·全国甲卷、2020·天津卷2020·浙江卷、2019·全国卷、2019·江苏卷、2018·北京卷2018·全国卷、2018·浙江卷、2018·全国卷、2018·全国卷2018·天津卷、2017·天津卷、2017·天津卷、2017·全国卷2017·上海卷、2017·山东卷、2017·全国卷、2017·江苏卷2016·江苏卷、2016·北京卷、2016·浙江卷、2016·北京卷2016·天津卷、2016·全国卷、2016·天津卷、2015·广东卷2015·重庆卷、2015·天津卷、2015·安徽卷、2015·福建卷2015·江苏卷、2015·浙江卷、2015·全国卷、2015·上海卷2015·上海卷、2015·全国卷、2015·北京卷考点3抛物线方程及其性质（10年10考）2024·全国新Ⅱ卷、2024·北京卷、2024·上海卷、2024·天津卷2023·全国乙卷、2023·北京卷、2023·全国新Ⅱ卷2022·全国新Ⅱ卷、2022·全国新Ⅰ卷、2022·全国乙卷2021·全国新Ⅱ卷、2021·北京卷、2021·全国卷、2020·北京卷2020·全国卷、2019·全国卷、2019·北京卷、2018·北京卷2018·全国卷、2017·全国卷、2017·天津卷、2017·全国卷2016·浙江卷、2016·天津卷、2016·全国卷、2016·四川卷2015·浙江卷、2015·全国卷、2015·陕西卷、2015·上海卷2015·陕西卷考点4椭圆的离心率及其应用（10年8考）2023·全国新Ⅰ卷、2022·全国甲卷、2022·全国甲卷2021·全国乙卷、2021·浙江卷、2019·北京卷、2018·北京卷2018·全国卷、2018·全国卷、2018·全国卷、2017·浙江卷2017·全国卷、2016·浙江卷、2016·全国卷、2016·全国卷2016·江苏卷、2015·福建卷、2015·浙江卷考点5双曲线的离心率及其应用（10年10考）2024·全国甲卷、2024·全国新Ⅰ卷、2023·全国新Ⅰ卷2023·北京卷、2022·全国乙卷、2022·全国甲卷、2022·浙江卷2021·全国甲卷、2021·天津卷、2021·北京卷2021·全国新Ⅱ卷、2020·山东卷、2020·江苏卷、2020·全国卷2020·全国卷、2019·北京卷、2019·天津卷、2019·全国卷2019·全国卷、2019·全国卷、2018·江苏卷、2018·北京卷2018·北京卷、2018·全国卷、2018·天津卷、2017·天津卷2017·全国卷、2017·全国卷、2017·全国卷、2017·北京卷2016·山东卷、2016·浙江卷、2016·全国卷、2015·广东卷2015·湖南卷、2015·湖北卷、2015·全国卷、2015·山东卷2015·山东卷、2015·山东卷、2015·湖南卷考点6直线与圆锥曲线的位置关系及其应用（10年10考）2024·北京卷、2023·天津卷、2023·全国新Ⅱ卷2022·全国新Ⅱ卷、2021·全国甲卷、2021·全国乙卷2020·全国卷、2020·全国卷、2020·全国卷、2020·全国卷2020·山东卷、2019·浙江卷、2019·全国卷、2018·全国卷2018·全国卷、2017·全国卷、2016·四川卷、2015·全国卷考点7曲线方程及曲线轨迹（10年6考）2024·全国新Ⅰ卷、2024·全国新Ⅱ卷、2021·浙江卷2020·全国新Ⅰ卷、2020·全国卷、2019·北京卷2016·四川卷、2015·山东卷、2015·浙江卷考点8圆锥曲线中的最值及范围问题（10年6考）2021·全国乙卷、2021·全国乙卷、2021·全国新Ⅰ卷2020·全国卷、2018·浙江卷、2017·全国卷、2017·全国卷2017·全国卷、2016·四川卷、2016·全国卷、2016·浙江卷2015·上海卷、2015·全国卷、2015·江苏卷考点01椭圆方程及其性质1．（2023·全国甲卷·高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（

）A．1 B．2 C．4 D．52．（2023·全国甲卷·高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点P在C上，，则（

）A． B． C． D．3．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是．4．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（

）A．13 B．12 C．9 D．65．（2020·山东·高考真题）已知椭圆的长轴长为10，焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（

）A．3 B．6 C．8 D．126．（2019·全国·高考真题）已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为A． B． C． D．7．（2019·全国·高考真题）设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为.8．（2015·山东·高考真题）已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆的圆心重合，长轴长等于圆的直径，那么短轴长等于．9．（2015·全国·高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线的焦点重合，是C的准线与E的两个交点，则A． B． C． D．10．（2015·广东·高考真题）已知椭圆（）的左焦点为，则A． B． C． D．11．（2015·全国·高考真题）一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为.考点02双曲线方程及其性质1．（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（

）A． B． C． D．2．（2023·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（

）A． B． C． D．3．（2023·全国乙卷·高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（

）A． B． C． D．4．（2023·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（

）A． B．C． D．5．（2022·天津·高考真题）已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为（

）A． B．C． D．6．（2021·北京·高考真题）若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（

）A． B． C． D．7．（2021·全国甲卷·高考真题）点到双曲线的一条渐近线的距离为（

）A． B． C． D．8．（2020·天津·高考真题）设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（

）A． B． C． D．9．（2020·浙江·高考真题）已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y=图像上的点，则|OP|=（

）A． B． C． D．10．（2019·全国·高考真题）双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为A． B． C． D．11．（2018·全国·高考真题）已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为A． B． C． D．12．（2018·浙江·高考真题）双曲线的焦点坐标是A．， B．，C．， D．，13．（2018·全国·高考真题）双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A． B． C． D．14．（2018·全国·高考真题）已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=A． B．3 C． D．415．（2018·天津·高考真题）已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且则双曲线的方程为A． B．C． D．16．（2017·天津·高考真题）【陕西省西安市长安区第一中学上学期期末考】已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（

）A． B． C． D．17．（2017·天津·高考真题）已知双曲线的左焦点为，离心率为.若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为A． B． C． D．18．（2017·全国·高考真题）已知F是双曲线C：的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则的面积为A． B．C． D．19．（2016·天津·高考真题）已知双曲线（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为A．B．C．D．20．（2016·全国·高考真题）已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是A．(–1,3) B．(–1,) C．(0,3) D．(0,)21．（2016·天津·高考真题）已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为A．B．C．D．22．（2015·广东·高考真题）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线C的方程为A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=123．（2015·重庆·高考真题）设双曲线的右焦点是F，左、右顶点分别是,过F作的垂线与双曲线交于B，C两点，若,则双曲线的渐近线的斜率为A． B． C． D．24．（2015·天津·高考真题）已知双曲线的一个焦点为,且双曲线的渐近线与圆相切,则双曲线的方程为A． B． C． D．25．（2015·安徽·高考真题）下列双曲线中，渐近线方程为的是A． B．C． D．26．（2015·福建·高考真题）若双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于A．11 B．9 C．5 D．3二、填空题27．（2023·北京·高考真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为．28．（2022·全国甲卷·高考真题）记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值．29．（2022·全国甲卷·高考真题）若双曲线的渐近线与圆相切，则．30．（2022·北京·高考真题）已知双曲线的渐近线方程为，则．31．（2021·全国乙卷·高考真题）已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为．32．（2021·全国乙卷·高考真题）双曲线的右焦点到直线的距离为．33．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程.34．（2020·北京·高考真题）已知双曲线，则C的右焦点的坐标为；C的焦点到其渐近线的距离是．35．（2019·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是.36．（2018·北京·高考真题）若双曲线的离心率为，则a=.37．（2017·上海·高考真题）设双曲线的焦点为、，为该双曲线上的一点，若，则38．（2017·山东·高考真题）在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为.39．（2017·全国·高考真题）双曲线的一条渐近线方程为，则．40．（2017·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy中，双曲线的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是．41．（2016·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，双曲线的焦距是.42．（2016·北京·高考真题）双曲线(，)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2，则a=.43．（2016·浙江·高考真题）设双曲线x2–=1的左、右焦点分别为F1，F2．若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是．44．（2016·北京·高考真题）已知双曲线的一条渐近线为，一个焦点为，则；．45．（2015·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点．若点到直线的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为46．（2015·浙江·高考真题）双曲线的焦距是，渐近线方程是．47．（2015·全国·高考真题）已知是双曲线的右焦点，P是C左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为．48．（2015·上海·高考真题）已知双曲线、的顶点重合，的方程为，若的一条渐近线的斜率是的一条渐近线的斜率的2倍，则的方程为.49．（2015·上海·高考真题）已知点和的横坐标相同，的纵坐标是的纵坐标的倍，和的轨迹分别为双曲线和．若的渐近线方程为，则的渐近线方程为．50．（2015·全国·高考真题）已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为.51．（2015·北京·高考真题）已知是双曲线（）的一个焦点，则．考点03抛物线方程及其性质1．（2023·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（

）A．7 B．6 C．5 D．42．（2022·全国乙卷·高考真题）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（

）A．2 B． C．3 D．3．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）抛物线的焦点到直线的距离为，则（

）A．1 B．2 C． D．44．（2020·北京·高考真题）设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（

）．A．经过点 B．经过点C．平行于直线 D．垂直于直线5．（2020·全国·高考真题）已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（

）A．2 B．3 C．6 D．96．（2019·全国·高考真题）若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p=A．2 B．3C．4 D．87．（2017·全国·高考真题）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为A．16 B．14 C．12 D．108．（2016·全国·高考真题）设为抛物线的焦点，曲线与交于点，轴，则A． B． C． D．9．（2016·四川·高考真题）抛物线y2=4x的焦点坐标是A．（0,2） B．（0,1） C．（2,0） D．（1,0）10．（2015·浙江·高考真题）如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，，，其中点，在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是A． B． C． D．11．（2015·全国·高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线的焦点重合，是C的准线与E的两个交点，则A． B． C． D．12．（2015·陕西·高考真题）已知抛物线的准线经过点，则抛物线焦点坐标为A． B． C． D．二、多选题13．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（

）A．l与相切B．当P，A，B三点共线时，C．当时，D．满足的点有且仅有2个14．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（

）．A． B．C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形15．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（

）A．直线的斜率为 B．C． D．16．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（

）A．C的准线为 B．直线AB与C相切C． D．三、填空题17．（2024·北京·高考真题）抛物线的焦点坐标为．18．（2024·上海·高考真题）已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为．19．（2024·天津·高考真题）圆的圆心与抛物线的焦点重合，为两曲线的交点，则原点到直线的距离为．20．（2023·全国乙卷·高考真题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为.21．（2021·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴于点.若，则点的横坐标为；的面积为．22．（2021·全国·高考真题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为.23．（2019·北京·高考真题）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为．24．（2018·北京·高考真题）已知直线l过点（1,0）且垂直于轴，若l被抛物线截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为.考点04椭圆的离心率及其应用1．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（

）A． B． C． D．2．（2022·全国·甲卷高考真题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（

）A． B． C． D．3．（2022·全国甲卷·高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（

）A． B． C． D．4．（2021·全国乙卷·高考真题）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．5．（2021·浙江·高考真题）已知椭圆，焦点，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是，椭圆的离心率是.6．（2019·北京·高考真题）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则A．a2=2b2 B．3a2=4b2 C．a=2b D．3a=4b7．（2018·北京·高考真题）已知椭圆，双曲线．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为；双曲线N的离心率为．8．（2018·全国·高考真题）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为A． B． C． D．9．（2018·全国·高考真题）已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为A． B． C． D．10．（2018·全国·高考真题）已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为A． B． C． D．11．（2017·浙江·高考真题）椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．12．（2017·全国·高考真题）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为A． B．C． D．13．（2016·浙江·高考真题）已知椭圆C1：+y2=1（m＞1）与双曲线C2：–y2=1（n＞0）的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则A．m＞n且e1e2＞1 B．m＞n且e1e2＜1 C．m＜n且e1e2＞1 D．m＜n且e1e2＜114．（2016·全国·高考真题）已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为A． B． C． D．15．（2016·全国·高考真题）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为()A． B．C． D．16．（2016·江苏·高考真题）如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于两点，且，则该椭圆的离心率是．17．（2015·福建·高考真题）已知椭圆的右焦点为．短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是A． B． C． D．18．（2015·浙江·高考真题）椭圆（）的右焦点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率是．考点05双曲线的离心率及其应用1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（

）A．4 B．3 C．2 D．2．（2022·全国乙卷·高考真题）（多选）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（

）A． B． C． D．3．（2021·全国甲卷·高考真题）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（

）A． B． C． D．4．（2021·天津·高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．35．（2021·北京·高考真题）若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（

）A． B． C． D．6．（2019·北京·高考真题）已知双曲线（a＞0）的离心率是则a=A． B．4 C．2 D．7．（2019·天津·高考真题）已知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，且（为原点），则双曲线的离心率为A． B． C．2 D．8．（2019·全国·高考真题）设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为A． B．C．2 D．9．（2019·全国·高考真题）双曲线C:的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为A．2sin40° B．2cos40° C． D．10．（2018·全国·高考真题）设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为A． B． C． D．11．（2018·天津·高考真题）已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且则双曲线的方程为A． B．C． D．12．（2017·天津·高考真题）已知双曲线的左焦点为，离心率为.若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为A． B． C． D．13．（2017·全国·高考真题）若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为

A．2 B． C． D．14．（2017·全国·高考真题）若，则双曲线的离心率的取值范围是A． B． C． D．15．（2016·浙江·高考真题）已知椭圆C1：+y2=1（m＞1）与双曲线C2：–y2=1（n＞0）的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则A．m＞n且e1e2＞1 B．m＞n且e1e2＜1 C．m＜n且e1e2＞1 D．m＜n且e1e2＜116．（2016·全国·高考真题）（2016新课标全国Ⅱ理科）已知F1，F2是双曲线E：的左，右焦点，点M在E上，MF1与轴垂直，sin,则E的离心率为A． B．C． D．217．（2015·广东·高考真题）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线C的方程为A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=118．（2015·湖南·高考真题）若双曲线的一条渐近线经过点，则此双曲线的离心率为A． B． C． D．19．（2015·湖北·高考真题）将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则A．对任意的，B．当时，；当时，C．对任意的，D．当时，；当时，20．（2015·全国·高考真题）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为A． B． C． D．21．（2015·山东·高考真题）已知是双曲线（，）的左焦点，点在双曲线上，直线与轴垂直，且，那么双曲线的离心率是（

）A． B． C．2 D．3二、填空题22．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为．23．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为．24．（2023·北京·高考真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为．25．（2022·全国甲卷·高考真题）记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值．26．（2022·浙江·高考真题）已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是．27．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程.28．（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线的左焦点重合，若两曲线相交于，两点，且线段的中点是点，则该双曲线的离心率等于.29．（2020·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1(a＞0)的一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心率是.30．（2020·全国·高考真题）设双曲线C：(a>0，b>0)的一条渐近线为y=x，则C的离心率为．31．（2020·全国·高考真题）已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为.32．（2019·全国·高考真题）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为．33．（2018·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是．34．（2018·北京·高考真题）已知椭圆，双曲线．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为；双曲线N的离心率为．35．（2018·北京·高考真题）若双曲线的离心率为，则a=.36．（2017·全国·高考真题）已知双曲线：的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线于交、两点，若，则的离心率为．37．（2017·北京·高考真题）若双曲线的离心率为，则实数．38．（2016·山东·高考真题）已知双曲线E：–=1（a>0，b>0）．矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是．39．（2015·山东·高考真题）过双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交于点.若点的横坐标为,则的离心率为­.40．（2015·山东·高考真题）平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点.若的垂心为的焦点，则的离心率为41．（2015·湖南·高考真题）设F是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为．考点06直线与圆锥曲线的位置关系及其应用1．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（

）．A． B． C． D．2．（2021·全国乙卷·高考真题）设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（

）A． B． C． D．23．（2020·全国·高考真题）设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（

）A．1 B．2 C．4 D．84．（2020·全国·高考真题）设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为（

）A． B． C． D．5．（2020·全国·高考真题）设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（

）A． B．3 C． D．26．（2020·全国·高考真题）设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（

）A．4 B．8 C．16 D．327．（2019·全国·高考真题）已知是双曲线的一个焦点，点在上，为坐标原点，若，则的面积为A． B． C． D．8．（2017·全国·高考真题）过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（

）A． B． C． D．9．（2018·全国·高考真题）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=A．5 B．6 C．7 D．810．（2016·四川·高考真题）设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且,则直线的斜率的最大值为（）A． B． C． D．111．（2015·全国·高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线的焦点重合，是C的准线与E的两个交点，则A． B． C． D．二、填空题12．（2024·北京·高考真题）若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为．13．（2023·天津·高考真题）已知过原点O的一条直线l与圆相切，且l与抛物线交于点两点，若，则．14．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为．15．（2021·全国甲卷·高考真题）已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为．16．（2020·山东·高考真题）斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=．17．（2019·浙江·高考真题）已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是.18．（2018·全国·高考真题）已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则．考点07曲线方程及曲线轨迹1．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）（多选）设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则（

）A． B．点在C上C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D．当点在C上时，2．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（

）A．（） B．（）C．（） D．（）3．（2021·浙江·高考真题）已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（

）A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线4．（2020·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知曲线.（

）A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m=n>0，则C是圆，其半径为C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为D．若m=0，n>0，则C是两条直线5．（2020·全国·高考真题）在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（

）A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线6．（2019·北京·高考真题）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是A．① B．② C．①② D．①②③7．（2016·四川·高考真题）在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义的“伴随点”为，当P是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题：①若点A的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点.②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上．③若两点关于x轴对称，则他们的“伴随点”关于y轴对称④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线．其中的真命题是．8．（2015·山东·高考真题）关于，的方程，给出以下命题；①当时，方程表示双曲线；②当时，方程表示抛物线；③当时，方程表示椭圆；④当时，方程表示等轴双曲线；⑤当时，方程表示椭圆．其中，真命题的个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．59．（2015·浙江·高考真题）如图，斜线段与平面所成的角为，为斜足，平面上的动点满足，则点的轨迹是A．直线 B．抛物线C．椭圆 D．双曲线的一支考点08圆锥曲线中的最值及范围问题1．（2021·全国乙卷·高考真题）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2021·全国乙卷·高考真题）设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（

）A． B． C． D．23．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（

）A．13 B．12 C．9 D．64．（2020·全国·高考真题）设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（

）A．4 B．8 C．16 D．325．（2018·浙江·高考真题）已知点P(0，1)，椭圆(m>1)上两点A，B满足，则当m=时，点B横坐标的绝对值最大．6．（2017·全国·高考真题）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为A．16 B．14 C．12 D．107．（2017·全国·高考真题）（2017新课标全国卷Ⅰ文科）设A，B是椭圆C：长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是A． B．C． D．8．（2017·全国·高考真题）若，则双曲线的离心率的取值范围是A． B． C． D．9．（2016·四川·高考真题）设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且,则直线的斜率的最大值为（）A． B． C． D．110．（2016·全国·高考真题）已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是A．(–1,3) B．(–1,) C．(0,3) D．(0,)11．（2016·浙江·高考真题）设双曲线x2–=1的左、右焦点分别为F1，F2．若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是．12．（2015·上海·高考真题）抛物线上的动点到焦点的距离的最小值为1，则.13．（2015·全国·高考真题）已知是双曲线：上的一点，，是的两个焦点，若，则的取值范围是A． B． C． D．14．（2015·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点．若点到直线的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为专题18圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）小题综合考点十年考情（2015-2024）命题趋势考点1椭圆方程及其性质（10年6考）2023·全国甲卷、2023·全国甲卷、2022·全国新Ⅰ卷2021·全国新Ⅰ卷、2020·山东卷、2019·全国卷、2019·全国卷2015·山东卷、2015·全国卷、2015·广东卷、2015·全国卷熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的方程及其性质应用，是高考高频考点熟练掌握椭圆和双曲线的离心率的求解及应用，同样是高考热点命题方向熟练掌握直线与圆锥曲线的位置关系，并会求解最值及范围，该内容也是命题热点掌握曲线方程及轨迹方程考点2双曲线方程及其性质（10年10考）2024·天津卷、2023·全国甲卷、2023·全国乙卷、2023·天津卷2023·北京卷、2022·全国甲卷、2022·全国甲卷、2022·北京卷2022·天津卷、2021·北京卷、2021·全国乙卷、2021·全国乙卷2021·全国新Ⅱ卷、2020·北京卷、2021·全国甲卷、2020·天津卷2020·浙江卷、2019·全国卷、2019·江苏卷、2018·北京卷2018·全国卷、2018·浙江卷、2018·全国卷、2018·全国卷2018·天津卷、2017·天津卷、2017·天津卷、2017·全国卷2017·上海卷、2017·山东卷、2017·全国卷、2017·江苏卷2016·江苏卷、2016·北京卷、2016·浙江卷、2016·北京卷2016·天津卷、2016·全国卷、2016·天津卷、2015·广东卷2015·重庆卷、2015·天津卷、2015·安徽卷、2015·福建卷2015·江苏卷、2015·浙江卷、2015·全国卷、2015·上海卷2015·上海卷、2015·全国卷、2015·北京卷考点3抛物线方程及其性质（10年10考）2024·全国新Ⅱ卷、2024·北京卷、2024·上海卷、2024·天津卷2023·全国乙卷、2023·北京卷、2023·全国新Ⅱ卷2022·全国新Ⅱ卷、2022·全国新Ⅰ卷、2022·全国乙卷2021·全国新Ⅱ卷、2021·北京卷、2021·全国卷、2020·北京卷2020·全国卷、2019·全国卷、2019·北京卷、2018·北京卷2018·全国卷、2017·全国卷、2017·天津卷、2017·全国卷2016·浙江卷、2016·天津卷、2016·全国卷、2016·四川卷2015·浙江卷、2015·全国卷、2015·陕西卷、2015·上海卷2015·陕西卷考点4椭圆的离心率及其应用（10年8考）2023·全国新Ⅰ卷、2022·全国甲卷、2022·全国甲卷2021·全国乙卷、2021·浙江卷、2019·北京卷、2018·北京卷2018·全国卷、2018·全国卷、2018·全国卷、2017·浙江卷2017·全国卷、2016·浙江卷、2016·全国卷、2016·全国卷2016·江苏卷、2015·福建卷、2015·浙江卷考点5双曲线的离心率及其应用（10年10考）2024·全国甲卷、2024·全国新Ⅰ卷、2023·全国新Ⅰ卷2023·北京卷、2022·全国乙卷、2022·全国甲卷、2022·浙江卷2021·全国甲卷、2021·天津卷、2021·北京卷2021·全国新Ⅱ卷、2020·山东卷、2020·江苏卷、2020·全国卷2020·全国卷、2019·北京卷、2019·天津卷、2019·全国卷2019·全国卷、2019·全国卷、2018·江苏卷、2018·北京卷2018·北京卷、2018·全国卷、2018·天津卷、2017·天津卷2017·全国卷、2017·全国卷、2017·全国卷、2017·北京卷2016·山东卷、2016·浙江卷、2016·全国卷、2015·广东卷2015·湖南卷、2015·湖北卷、2015·全国卷、2015·山东卷2015·山东卷、2015·山东卷、2015·湖南卷考点6直线与圆锥曲线的位置关系及其应用（10年10考）2024·北京卷、2023·天津卷、2023·全国新Ⅱ卷2022·全国新Ⅱ卷、2021·全国甲卷、2021·全国乙卷2020·全国卷、2020·全国卷、2020·全国卷、2020·全国卷2020·山东卷、2019·浙江卷、2019·全国卷、2018·全国卷2018·全国卷、2017·全国卷、2016·四川卷、2015·全国卷考点7曲线方程及曲线轨迹（10年6考）2024·全国新Ⅰ卷、2024·全国新Ⅱ卷、2021·浙江卷2020·全国新Ⅰ卷、2020·全国卷、2019·北京卷2016·四川卷、2015·山东卷、2015·浙江卷考点8圆锥曲线中的最值及范围问题（10年6考）2021·全国乙卷、2021·全国乙卷、2021·全国新Ⅰ卷2020·全国卷、2018·浙江卷、2017·全国卷、2017·全国卷2017·全国卷、2016·四川卷、2016·全国卷、2016·浙江卷2015·上海卷、2015·全国卷、2015·江苏卷考点01椭圆方程及其性质1．（2023·全国甲卷·高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】B【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可解出；方法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出．【详解】方法一：因为，所以，从而，所以．故选：B.方法二：因为，所以，由椭圆方程可知，，所以，又，平方得：，所以．故选：B.2．（2023·全国甲卷·高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点P在C上，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可得到点的坐标，从而得出的值；方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出；方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，即可根据中线定理求出．【详解】方法一：设，所以，由，解得：，由椭圆方程可知，，所以，，解得：，即，因此．故选：B．方法二：因为①，，即②，联立①②，解得：，而，所以，即．故选：B．方法三：因为①，，即②，联立①②，解得：，由中线定理可知，，易知，解得：．故选：B．【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难度不是很大．3．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是．【答案】13【分析】利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为.【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为，直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，判别式，∴，∴，得，∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.故答案为：13.4．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（

）A．13 B．12 C．9 D．6【答案】C【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．【详解】由题，，则，所以（当且仅当时，等号成立）．故选：C．【点睛】5．（2020·山东·高考真题）已知椭圆的长轴长为10，焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（

）A．3 B．6 C．8 D．12【答案】B【分析】根据椭圆中的关系即可求解.【详解】椭圆的长轴长为10，焦距为8，所以，，可得，，所以，可得，所以该椭圆的短轴长，故选：B.6．（2019·全国·高考真题）已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知可设，则，得，在中求得，再在中，由余弦定理得，从而可求解.【详解】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得．所求椭圆方程为，故选B．法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选B．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．7．（2019·全国·高考真题）设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为.【答案】【分析】根据椭圆的定义分别求出，设出的坐标，结合三角形面积可求出的坐标.【详解】由已知可得，又为上一点且在第一象限,为等腰三角形，．∴．设点的坐标为，则，又，解得，，解得（舍去），的坐标为．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．8．（2015·山东·高考真题）已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆的圆心重合，长轴长等于圆的直径，那么短轴长等于．【答案】【分析】由于是圆，可得，通过圆心和半径计算，即得解【详解】由于是圆，即：圆其中圆心为，半径为4那么椭圆的长轴长为8，即，，，那么短轴长为故答案为：9．（2015·全国·高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线的焦点重合，是C的准线与E的两个交点，则A． B． C． D．【答案】B【详解】试题分析：抛物线的焦点为所以椭圆的右焦点为即且椭圆的方程为抛物线准线为代入椭圆方程中得故选B.考点：1、抛物线的性质；2、椭圆的标准方程．10．（2015·广东·高考真题）已知椭圆（）的左焦点为，则A． B． C． D．【答案】C【详解】试题分析：根据焦点坐标可知焦点在轴，所以，，，又因为，解得，故选C.考点：椭圆的基本性质11．（2015·全国·高考真题）一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为.【答案】【详解】设圆心为（，0），则半径为，则，解得，故圆的方程为.考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程考点02双曲线方程及其性质1．（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】可利用三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设，由面积公式求出，由勾股定理得出，结合第一定义再求出.【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设，，由，求得，因为，所以，求得，即，，由正弦定理可得：，则由得，由得，则，由双曲线第一定义可得：，，所以双曲线的方程为.故选：C2．（2023·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.【详解】由，则，解得，所以双曲线的一条渐近线为，则圆心到渐近线的距离，所以弦长.故选：D3．（2023·全国乙卷·高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据点差法分析可得，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断.【详解】设，则的中点，可得，因为在双曲线上，则，两式相减得，所以.对于选项A：可得，则，联立方程，消去y得，此时，所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；对于选项B：可得，则，联立方程，消去y得，此时，所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；对于选项C：可得，则由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；对于选项D：，则，联立方程，消去y得，此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；故选：D.4．（2023·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先由点到直线的距离公式求出，设，由得到，.再由三角形的面积公式得到，从而得到，则可得到，解出，代入双曲线的方程即可得到答案.【详解】如图，

因为，不妨设渐近线方程为，即，所以，所以.设,则，所以，所以.因为,所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以，解得，所以双曲线的方程为故选：D5．（2022·天津·高考真题）已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知可得出的值，求出点的坐标，分析可得，由此可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】抛物线的准线方程为，则，则、，不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点，因为且，则为等腰直角三角形，且，即，可得，所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为.故选：C.6．（2021·北京·高考真题）若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析可得，再将点代入双曲线的方程，求出的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】，则，，则双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，因此，双曲线的方程为.故选：B7．（2021·全国甲卷·高考真题）点到双曲线的一条渐近线的距离为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即，结合对称性，不妨考虑点到直线的距离：.故选：A.8．（2020·天津·高考真题）设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由抛物线的焦点可求得直线的方程为，即得直线的斜率为，再根据双曲线的渐近线的方程为，可得，即可求出，得到双曲线的方程．【详解】由题可知，抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为，又双曲线的渐近线的方程为，所以，，因为，解得．故选：．【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题．9．（2020·浙江·高考真题）已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y=图像上的点，则|OP|=（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意可知，点既在双曲线的一支上，又在函数的图象上，即可求出点的坐标，得到的值．【详解】因为，所以点在以为焦点，实轴长为，焦距为的双曲线的右支上，由可得，，即双曲线的右支方程为，而点还在函数的图象上，所以，由，解得，即．故选：D.【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．10．（2019·全国·高考真题）双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．【详解】由．，又P在C的一条渐近线上，不妨设为在上，，故选A．【点睛】忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积．11．（2018·全国·高考真题）已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为A． B． C． D．【答案】D【详解】分析：由离心率计算出，得到渐近线方程，再由点到直线距离公式计算即可．详解：所以双曲线的渐近线方程为所以点（4，0）到渐近线的距离故选D点睛：本题考查双曲线的离心率，渐近线和点到直线距离公式，属于中档题．12．（2018·浙江·高考真题）双曲线的焦点坐标是A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根据双曲线方程确定焦点位置，再根据求焦点坐标.【详解】因为双曲线方程为，所以焦点坐标可设为，因为，所以焦点坐标为，选B.【点睛】由双曲线方程可得焦点坐标为，顶点坐标为，渐近线方程为.13．（2018·全国·高考真题）双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A． B． C． D．【答案】A【详解】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.详解：因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.14．（2018·全国·高考真题）已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=A． B．3 C． D．4【答案】B【详解】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到，根据直角三角形的条件，可以确定直线的倾斜角为或，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得，利用两点间距离公式求得的值.详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，从而得到，所以直线的倾斜角为或，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，可以得出直线的方程为，分别与两条渐近线和联立，求得，所以，故选B.点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线的斜率，结合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果.15．（2018·天津·高考真题）已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且则双曲线的方程为A． B．C． D．【答案】A【详解】分析：由题意首先求得A,B的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b的值，之后利用离心率求解a的值即可确定双曲线方程.详解：设双曲线的右焦点坐标为（c>0），则，由可得：，不妨设：，双曲线的一条渐近线方程为，据此可得：，，则，则，双曲线的离心率：，据此可得：，则双曲线的方程为.本题选择A选项.点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.16．（2017·天津·高考真题）【陕西省西安市长安区第一中学上学期期末考】已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意结合双曲线的渐近线方程可得：，解得：，双曲线方程为：.故选：D..【考点】双曲线的标准方程【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线方程是高考常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于的方程，解方程组求出，另外求双曲线方程要注意巧设双曲线（1）双曲线过两点可设为，（2）与共渐近线的双曲线可设为，（3）等轴双曲线可设为等，均为待定系数法求标准方程.17．（2017·天津·高考真题）已知双曲线的左焦点为，离心率为.若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意得，选B.【考点】双曲线的标准方程【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线方程是高考常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于的方程，解方程组求出，另外求双曲线方程要注意巧设双曲线（1）双曲线过两点可设为，（2）与共渐近线的双曲线可设为，（3）等轴双曲线可设为等，均为待定系数法求标准方程.18．（2017·全国·高考真题）已知F是双曲线C：的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则的面积为A． B．C． D．【答案】D【详解】由得，所以，将代入，得，所以，又点A的坐标是(1，3)，故△APF的面积为，选D．点睛:本题考查圆锥曲线中双曲线的简单运算，属容易题．由双曲线方程得，结合PF与x轴垂直，可得，最后由点A的坐标是(1，3)，计算△APF的面积．19．（2016·天津·高考真题）已知双曲线（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为A．B．C．D．【答案】D【详解】试题分析：根据对称性，不妨设在第一象限，则，∴，故双曲线的方程为，故选D.【考点】双曲线的渐近线【名师点睛】求双曲线的标准方程时注意：（1）确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a，b的值，常用待定系数法．（2）利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论．①若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax2＋By2＝1（AB＜0）．②若已知渐近线方程为mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为m2x2－n2y2＝λ（λ≠0）．20．（2016·全国·高考真题）已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是A．(–1,3) B．(–1,) C．(0,3) D．(0,)【答案】A【详解】由题意知：双曲线的焦点在轴上，所以，解得，因为方程表示双曲线，所以，解得，所以的取值范围是，故选A．【考点】双曲线的性质【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题出现,主要考查双曲线的几何性质,属于基础题.注意双曲线的焦距是2c而不是c,这一点易出错.21．（2016·天津·高考真题）已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为A．B．C．D．【答案】A【详解】试题分析：由题意，得又，所以所以双曲线的方程为，选A.【考点】双曲线【名师点睛】求双曲线的标准方程的关注点：（1）确定双曲线的标准方程需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a，b的值，常用待定系数法．（2）利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论．①若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax2＋By2＝1（AB＜0）．②若已知渐近线方程为mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为m2x2－n2y2＝λ（λ≠0）．22．（2015·广东·高考真题）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线C的方程为A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【答案】C【详解】试题分析：利用已知条件，列出方程，求出双曲线的几何量，即可得到双曲线方程．解：双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），可得：，c=5，∴a=4，b==3，所求双曲线方程为：﹣=1．故选C．点评：本题考查双曲线方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．23．（2015·重庆·高考真题）设双曲线的右焦点是F，左、右顶点分别是,过F作的垂线与双曲线交于B，C两点，若,则双曲线的渐近线的斜率为A． B． C． D．【答案】C【详解】试题分析：，，，，所以，根据,所以,代入后得，整理为，所以该双曲线渐近线的斜率是，故选C.考点：双曲线的性质24．（2015·天津·高考真题）已知双曲线的一个焦点为,且双曲线的渐近线与圆相切,则双曲线的方程为A． B． C． D．【答案】D【详解】试题分析：依题意有，解得，所以方程为.考点：双曲线的概念与性质．25．（2015·安徽·高考真题）下列双曲线中，渐近线方程为的是A． B．C． D．【答案】A【详解】由双曲线的渐近线的公式可行选项A的渐近线方程为，故选A.考点：本题主要考查双曲线的渐近线公式.26．（2015·福建·高考真题）若双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于A．11 B．9 C．5 D．3【答案】B【详解】由双曲线定义得，即，解得，故选B．考点：双曲线的标准方程和定义．二、填空题27．（2023·北京·高考真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为．【答案】【分析】根据给定条件，求出双曲线的实半轴、虚半轴长，再写出的方程作答.【详解】令双曲线的实半轴、虚半轴长分别为，显然双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距，由双曲线的离心率为，得，解得，则，所以双曲线的方程为.故答案为：28．（2022·全国甲卷·高考真题）记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值．【答案】2（满足皆可）【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线中即可求得满足要求的e值.【详解】解：，所以C的渐近线方程为,结合渐近线的特点，只需，即，可满足条件“直线与C无公共点”所以，又因为，所以，故答案为：2（满足皆可）29．（2022·全国甲卷·高考真题）若双曲线的渐近线与圆相切，则．【答案】【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．【详解】解：双曲线的渐近线为，即，不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，依题意圆心到渐近线的距离，解得或（舍去）．故答案为：．30．（2022·北京·高考真题）已知双曲线的渐近线方程为，则．【答案】【分析】首先可得，即可得到双曲线的标准方程，从而得到、，再跟渐近线方程得到方程，解得即可；【详解】解：对于双曲线，所以，即双曲线的标准方程为，则，，又双曲线的渐近线方程为，所以，即，解得；故答案为：31．（2021·全国乙卷·高考真题）已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为．【答案】4【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出的关系，再结合双曲线中对应关系，联立求解，再由关系式求得，即可求解.【详解】由渐近线方程化简得，即，同时平方得，又双曲线中，故，解得（舍去），，故焦距.故答案为：4.【点睛】本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关键.32．（2021·全国乙卷·高考真题）双曲线的右焦点到直线的距离为．【答案】【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.【详解】由已知，，所以双曲线的右焦点为，所以右焦点到直线的距离为.故答案为：33．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程.【答案】【分析】根据离心率得出，结合得出关系，即可求出双曲线的渐近线方程.【详解】解：由题可知，离心率，即，又，即，则，故此双曲线的渐近线方程为.故答案为：.34．（2020·北京·高考真