数学分析三试卷及答案

《数学分析(三)》参考答案及评分标准第11页共14页《数学分析》(三)――参考答案及评分标准一.计算题（共8题，每题9分，共72分）。求函数在点(0,0)处的二次极限与二重极限.解：，因此二重极限为.……(4分)因为与均不存在，故二次极限均不存在。……(9分)设是由方程组所确定的隐函数,其中和分别具有连续的导数和偏导数,求.解：对两方程分别关于求偏导:，……(4分)。

解此方程组并整理得.……(9分)取为新自变量及为新函数，变换方程。设（假设出现的导数皆连续）.解：看成是的复合函数如下：。……(4分)代人原方程，并将变换为。整理得：。……(9分)要做一个容积为的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省?解：设圆桶底面半径为,高为,则原问题即为：求目标函数在约束条件下的最小值，其中目标函数:,约束条件:。……(3分)构造Lagrange函数：。令……(6分)解得，故有由题意知问题的最小值必存在，当底面半径为高为时，制作圆桶用料最省。……(9分)设,计算.解：由含参积分的求导公式……(5分)。……(9分)求曲线所围的面积，其中常数.解：利用坐标变换由于，则图象在第一三象限，从而可以利用对称性，只需求第一象限内的面积。。……(3分)则……(6分).……(9分)7.计算曲线积分,其中是圆柱面与平面的交线（为一椭圆），从轴的正向看去，是逆时针方向.解：取平面上由曲线所围的部分作为Stokes公式中的曲面，定向为上侧，则的法向量为。……(3分)由Stokes公式得……(6分)……(9分)8.计算积分,为椭球的上半部分的下侧.解：椭球的参数方程为，其中且。……(3分)积分方向向下，取负号，因此，……(6分)……(9分)二.证明题（共3题，共28分）。9.（9分）讨论函数在原点(0,0)处的连续性、可偏导性和可微性.解：连续性：当时，，当，从而函数在原点处连续。……(3分)可偏导性：，，即函数在原点处可偏导。……(5分)可微性：不存在，从而函数在原点处不可微。……(9分)10.（9分）（9分）设满足：（1）在上连续，（2），（3）当固定时，函数是的严格单减函数。试证：存在，使得在上通过定义了一个函数，且在上连续。证明：（i）先证隐函数的存在性。由条件（3）知，在上是的严格单减函数，而由条件（2）知，从而由函数的连续性得，。现考虑一元连续函数。由于，则必存在使得，。同理，则必存在使得，。取，则在邻域内同时成立，。……(3分)于是，对邻域内的任意一点，都成立，。固定此，考虑一元连续函数。由上式和函数关于的连续性可知，存在的零点使得＝0。而关于严格单减，从而使＝0的是唯一的。再由的任意性，证明了对内任意一点，总能从找到唯一确定的与相对应，即存在函数关系或。此证明了隐函数的存在性。……(6分)（ii）下证隐函数的连续性。设是内的任意一点，记。对任意给定的，作两平行线，。由上述证明知，。由的连续性，必存在的邻域使得，，。对任意的，固定此并考虑的函数，它关于严格单减且，。于是在内存在唯一的一个零点使，即对任意的，它对应的函数值满足。这证明了函数是连续的。……(9分)11.（10分）判断积分在上是否一致收敛，并给出证明。证明：此积分在上非一致收敛。证明如下：作变量替换，则。……(3分)不论正整数多么大，当时，恒有。……(5分)因此，……(7分)，当时。因此原积分在上非一致收敛。……(10分)注：不能用Dirichlet判别法证明原积分是一致收敛的。原因如下：尽管对任意的积分一致有界，且函数关于单调，但是当时，关于并非一致趋于零。事实上，取相应地取，则，并非趋于零。《数学分析[3]》模拟试题解答下列各题（每小题5分，共40分）设求；2、求3、设求在点处的值；4、求由方程所确定的函数在点处的全微分；5、求函数在点处的梯度；6、求曲面在点（1，2，0）处的切平面和法线方程；7、计算积分：；8、计算积分：；(10分)求内接于椭球的最大长方体的体积，长方体的各个面平行于坐标面。（10分）若是由和两坐标轴围成的三角形区域，且，求（10分）计算,其中是由圆周及所围成的在第一象限内的闭区域.（10分）计算，其中为，的全部边界曲线，取逆时针方向。（10分）计算，其中是半球面。（10分）讨论含参变量反常积分在内的一致收敛性。参考答案一、解答下列各题（每小题5分，共40分）设求；解：；。2、求；解：3、设求在点处的值；解：。4、求由方程所确定的函数在点处的全微分；解：在原方程的两边求微分，可得将代入上式，化简后得到5、求函数在点处的梯度；解：。6、求曲面在点（1，2，0）处的切平面和法线方程；解：记在点（1，2，0）处的法向量为：则切平面方程为：即法线方程为：，即。7、计算积分：；解： 而在上连续，且在[1，2]上一致收敛，则可交换积分次序，于是有原式。8、计算积分：；解：交换积分顺序得：求内接于椭球的最大长方体的体积，长方体的各个面平行于坐标面。解：设长方体在第一卦限的顶点坐标为（x,y,z），则长方体的体积为：拉格朗日函数为由解得：根据实际情况必有最大值，所以当长方体在第一卦限内的顶点坐标为时体积最大。若D是由和两坐标轴围成的三角形区域，且，求解：计算,其中是由圆周及所围成的在第一象限内的闭区域.解：。计算，其中为，的全部边界曲线，取逆时针方向。解：由格林公式：所以计算，其中是半球面。解：讨论含参变量反常积分在内的一致收敛性。解：，而收敛，所以由M判别法知，在内的一致收敛。《数学分析[3]》模拟试题解答下列各题（每小题5分，共40分）1、设，求；2、，求；3、设，求；4、设是方程所确定的与的函数，求；5、求函数在点处沿从点到点的方向导数；6、已知曲面上点P处的切平面平行于平面，求P点的坐标。7、计算积分：;8、计算积分：；(10分)原点到曲线的最大距离和最小距离。三、（10分）已知，其中为球体：，求四、（10分）计算，其中D是由圆周所围成的区域。五、（10分）计算，其中为圆周，取逆时针方向。六、（10分）计算，其中为锥面被拄面所割下部分。（10分）讨论含参变量反常积分在内的一致收敛性。参考答案解答下列各题（每小题5分，共40分）1、设，求；解：。2、，求；解：。3、设，求；解：。4、设是方程所确定的与的函数，求；解：方程两边求微分，得。5、求函数在点处沿从点到点的方向导数；解：方向即向量的方向，因此x轴到方向的转角。故所求方向导数为：。6、已知曲面上点P处的切平面平行于平面，求P点的坐标。解：设P点的坐标为，则P点处的切平面为又因该平面与平面平行，则有，，即。7、计算积分：;解： 而在上连续，且在[2，3]上一致收敛，则可交换积分次序，于是有原式。8、计算积分：；解：交换积分顺序得：原点到曲线的最大距离和最小距离。解：设P（x,y,z）为曲线上任意点，则目标函数为，约