高考数一轮复习 第一章 第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件演练知能检测 文

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件[全盘巩固]1．“若b2－4ac＜0，则ax2＋bx＋cA．若b2－4ac＞0，则ax2＋bx＋c＝0没有实根B．若b2－4ac＞0，则ax2＋bx＋cC．若b2－4ac≥0，则ax2＋bx＋cD．若b2－4ac≥0，则ax2＋bx＋c＝0没有实根解析：选C由原命题与否命题的关系可知，“若b2－4ac＜0，则ax2＋bx＋c＝0没有实根”的否命题是“若b2－4ac≥0，则ax2＋bx＋2．(·杭州模拟)设a∈R，则“a＝－1”是“直线l1：2x＋ay－3＝0与直线l2：x＋2y－a＝0垂直”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C当a＝0时，易知两直线不垂直；当a≠0时，两直线垂直等价于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,a)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－1⇔a＝－1，故a＝－1是两直线垂直的充要条件．3．(·黄冈模拟)与命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”等价的命题是()A．若a，b，c成等比数列，则b2≠acB．若a，b，c不成等比数列，则b2≠acC．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列D．若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列解析：选D因为原命题与其逆否命题是等价的，所以与命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”等价的命题是“若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列”．4．(·金华模拟)设a＞0且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A“函数f(x)＝ax在R上是减函数”的充要条件是p：0＜a＜1.因为“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的充要条件是2－a＞0，即a＜2.又因为a＞0且a≠1，所以“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的充要条件是q：0＜a＜2且a≠1.显然p⇒q，但q⇒/p，所以p是q的充分不必要条件，即“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的充分不必要条件．5．(·南昌模拟)下列选项中正确的是()A．若x＞0且x≠1，则lnx＋eq\f(1,lnx)≥2B．在数列{an}中，“|an＋1|＞an”是“数列{an}为递增数列”的必要不充分条件C．命题“所有素数都是奇数”的否定为“所有素数都是偶数”D．若命题p为真命题，则其否命题为假命题解析：选B当0＜x＜1时，lnx＜0，此时lnx＋eq\f(1,lnx)≤－2，A错；当|an＋1|＞an时，{an}不一定是递增数列，但若{an}是递增数列，则必有an＜an＋1≤|an＋1|，B对；全称命题的否定为特称命题，C错；若命题p为真命题，其否命题可能为真命题，也可能为假命题，D错．6．命题“对任意x∈[1,2]，x2－a≤0都成立”为真命题的一个充分不必要条件是()A．a≥4B．a≤4C．a≥5D．a≤5解析：选C命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的充要条件是a≥4.故其充分不必要条件是集合[4，＋∞)的真子集．7．在命题p的四种形式(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，真命题的个数记为f(p)，已知命题p：“若两条直线l1：a1x＋b1y＋c1＝0，l2：a2x＋b2y＋c2＝0平行，则a1b2－a2b1＝0”．那么f(p)＝________.解析：原命题p显然是真命题，故其逆否命题也是真命题，而其逆命题是：若a1b2－a2b1＝0，则两条直线l1：a1x＋b1y＋c1＝0与l2：a2x＋b2y＋c2＝0平行，这是假命题，因为当a1b2－a2b1＝0时，还有可能l1与l2重合，逆命题是假命题，从而否命题也为假命题，故f(p)＝2.答案：28．下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“若x2＋x－6≥0，则x＞2”的否命题；③在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞eq\f(1,2)”的充分不必要条件；④“函数f(x)＝tan(x＋φ)为奇函数”的充要条件是“φ＝kπ(k∈Z)”．其中真命题的序号是________(把真命题的序号都填上)．解析：①原命题的逆命题为：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，①是真命题；“若x2＋x－6≥0，则x＞2”的否命题是“若x2＋x－6＜0，则x≤2”，②也是真命题；在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞eq\f(1,2)”的必要不充分条件，③是假命题；“函数f(x)＝tan(x＋φ)为奇函数”的充要条件是“φ＝eq\f(kπ,2)(k∈Z)”，④是假命题．答案：①②9．已知α：x≥a，β：|x－1|＜1.若α是β的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________．解析：α：x≥a，可看作集合A＝{x|x≥a}，由|x－1|＜1，得0＜x＜2，∴β可看作集合B＝{x|0＜x＜2}．又∵α是β的必要不充分条件，∴BA，∴a≤0.答案：(－∞，0]10．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．(1)写出否命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．解：(1)否命题：已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，若a＋b＜0，则f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．该命题是真命题，证明如下：∵a＋b＜0，∴a＜－b，b＜－a.又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．∴f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，∴否命题为真命题．(2)逆否命题：已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，则a＋b＜0.真命题，可证明原命题为真来证明它．∵a＋b≥0，∴a≥－b，b≥－a，∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，故原命题为真命题，所以逆否命题为真命题．11．(·温州模拟)已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2－\f(3,2)x))＋1，x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，2))))，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．解：y＝x2－eq\f(3,2)x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2＋eq\f(7,16)，∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，2))，∴eq\f(7,16)≤y≤2，∴A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(7,16)≤y≤2)))).由x＋m2≥1，得x≥1－m2，∴B＝{x|x≥1－m2}．∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件，∴A⊆B，∴1－m2≤eq\f(7,16)，解得m≥eq\f(3,4)或m≤－eq\f(3,4)，故实数m的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞)).12．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.证明：必要性：若方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，则x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，∴a＋b＋c＝0.充分性：若a＋b＋c＝0，则b＝－a－c，∴ax2＋bx＋c＝0可化为ax2－(a＋c)x＋c＝0，∴(ax－c)(x－1)＝0，∴当x＝1时，ax2＋bx＋c＝0，∴x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根．综上，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.[冲击名校]1．对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选By＝|f(x)|的图象关于y轴对称，但是y＝f(x)不一定为奇函数，如取函数f(x)＝x2，则函数y＝|x2|的图象关于y轴对称，但函数f(x)＝x2是偶函数不是奇函数，即“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”⇒/“y＝f(x)是奇函数”；若y＝f(x)是奇函数，图象关于原点对称，所以y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，即“y＝f(x)是奇函数”⇒“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”，故应选B.2．已知下列各组命题，其中p是q的充分必要条件的是()A．p：m≤－2或m≥6；q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点B．p：eq\f(f－x,fx)＝1；q：y＝f(x)是偶函数C．p：cosα＝cosβ；q：tanα＝tanβD．p：A∩B＝A；q：A⊆U，B⊆U，∁UB⊆∁UA解析：选D对于A，由y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点，可得Δ＝m2－4(m＋3)＞0，从而可得m＜－2或m＞6.所以p是q的必要不充分条件；对于B，由eq\f(f－x,fx)＝1⇒f(－x)＝f(x)⇒y＝f(x)是偶函数，但由y＝f(x)是偶函数不能推出eq\f(f－x,fx)＝1，例如函数f(x)＝0，所以p是q的充分不必要条件；对于C，当cosα＝cosβ＝0时，不存在tanα＝tanβ，反之也不成立，所以p是q的既不充分也不必要条件；对于D，由A∩B＝A，知A⊆B，所以∁UB⊆∁UA；反之，由∁UB⊆∁UA，知A⊆B，即A∩B＝A.所以p⇔q.综上所述，p是q的充分必要条件的是D.[高频滚动]1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－4＞0}，B＝{x|2x＞8}，那么集合(∁UA)∩B＝()A．{x|3＜x＜4}B．{x|x＞4}C．{x|3＜x≤4}D．{x|3≤x≤4}解析：选CA＝{x|x2－3x－4＞0}＝{x|x＜－1或x＞4}，所以∁UA＝{x|－1≤x≤4}，又B＝{x|2x＞8}＝{x|x＞3}，所以(∁UA)∩B＝{x|3＜x≤4}．2．对于任意的两个正数m，n，定义运算⊙：当m，n都为偶数或都为奇数时，m⊙n＝eq\f(m＋n,2)，当m，n为一奇一偶时，m⊙n＝eq\r(