高考数一轮复习 第九章 第四节 合情推理与演绎推理突破热点题型 文

第四节合情推理与演绎推理高频考点考点一归纳推理1．归纳推理是每年高考的常考内容，题型多为选择题和填空题，难度稍大，属中高档题．2．高考对归纳推理的考查常有以下几个命题角度：(1)归纳推理与等式或不等式“共舞”问题；(2)归纳推理与数列“牵手”问题；(3)归纳推理与图形变化“相融”问题．[例1](1)(·陕西高考)观察下列等式：12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，……照此规律，第n个等式可为________．(2)(·湖北高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为eq\f(nn＋1,2)＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,2)n.记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n,3)＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,2)n，正方形数N(n,4)＝n2，五边形数N(n,5)＝eq\f(3,2)n2－eq\f(1,2)n，六边形数N(n,6)＝2n2－n，……可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝________.(3)(·青岛模拟)某种平面分形图如下图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来eq\f(1,3)的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n级分形图．一级分形图二级分形图三级分形图①n级分形图中共有________条线段；②n级分形图中所有线段长度之和为________．[自主解答](1)观察规律可知，第n个式子为12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1eq\f(nn＋1,2).(2)N(n，k)＝akn2＋bkn(k≥3)，其中数列{ak}是以eq\f(1,2)为首项，eq\f(1,2)为公差的等差数列；数列{bk}是以eq\f(1,2)为首项，－eq\f(1,2)为公差的等差数列．所以N(n,24)＝11n2－10n，当n＝10时，N(10，24)＝11×102－10×10＝1000.(3)①分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一级分形图有3＝(3×2－3)条线段，二级分形图有9＝(3×22－3)条线段，三级分形图中有21＝(3×23－3)条线段，按此规律n级分形图中的线段条数an＝(3×2n－3)(n∈N*)．②分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来eq\f(1,3)的线段，∴n级分形图中第n级的所有线段的长度为bn＝3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n－1(n∈N*)，∴n级分形图中所有线段长度之和为Sn＝3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))0＋3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))1＋…＋3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n－1＝3×eq\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n,1－\f(2,3))＝9－9×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n.[答案](1)12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1eq\f(nn＋1,2)(2)1000(3)①3×2n－3②9－9×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与等式或不等式“共舞”问题．观察所给的几个等式或不等式两边式子的特点，注意是纵向看，发现隐含的规律．(2)与数列“牵手”问题．先求出几个特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包含的范围，从而由特殊的结论推广到一般结论．(3)与图形变化“相融”问题．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．1．设函数f(x)＝eq\f(x,x＋2)(x>0)，观察：f1(x)＝f(x)＝eq\f(x,x＋2)，f2(x)＝f(f1(x))＝eq\f(x,3x＋4)，f3(x)＝f(f2(x))＝eq\f(x,7x＋8)，f4(x)＝f(f3(x))＝eq\f(x,15x＋16)，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.解析：根据题意知，分子都是x，分母中的常数项依次是2,4,8,16，…，可知fn(x)的分母中常数项为2n，分母中x的系数为2n－1，故fn(x)＝f(fn－1(x))＝eq\f(x,2n－1x＋2n).答案：eq\f(x,2n－1x＋2n)2．(·温州模拟)如图的倒三角形数阵满足：①第1行的n个数，分别是1,3,5，…，2n－1；②从第2行起，各行中的每一个数都等于它肩上的两数之和；③数阵共有n行．当n＝2012时，第32行的第17个数是________．eq\a\vs4\al(1357911……,48121620……,12202836……,……)解析：每行的第1个数分别是1,4,12,32，…，记为数列{an}，它的通项公式为an＝n×2n－1，则第32行的第1个数为a32＝32×232－1＝236，而在第32行的各个数成等差数列，且公差为232，所以第17个数是236＋(17－1)×232＝236＋24×232＝2×236＝237.答案：2373．仔细观察下面○和●的排列规律：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○○○○○○●……，若依此规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是________．解析：进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……，则前n组两种圈的总数是f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n＋1)＝eq\f(nn＋3,2)，易知f(14)＝119，f(15)＝135，故n＝14.答案：14考点二类比推理[例2]如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai(i＝1,2,3,4)，此四边形内任一点P到第i条边的距离记为hi(i＝1,2,3,4)，若eq\f(a1,1)＝eq\f(a2,2)＝eq\f(a3,3)＝eq\f(a4,4)＝k，则1×h1＋2×h2＋3×h3＋4×h4＝eq\f(2S,k).类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi(i＝1,2,3,4)，若eq\f(S1,1)＝eq\f(S2,2)＝eq\f(S3,3)＝eq\f(S4,4)＝k，则H1＋2H2＋3H3＋4H4值为()A.eq\f(4V,k)B.eq\f(3V,k)C.eq\f(2V,k)D.eq\f(V,k)[自主解答]在平面凸四边形中，连接P点与各个顶点，将其分成四个小三角形，根据三角形面积公式，得S＝eq\f(1,2)(a1h1＋a2h2＋a3h3＋a4h4)＝eq\f(1,2)(kh1＋2kh2＋3kh3＋4kh4)＝eq\f(k,2)(h1＋2h2＋3h3＋4h4)．所以h1＋2h2＋3h3＋4h4＝eq\f(2S,k).类似地，连接Q点与三棱锥的四个顶点，将其分成四个小三棱锥，则有V＝eq\f(1,3)(S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4)＝eq\f(1,3)(kH1＋2kH2＋3kH3＋4kH4)＝eq\f(k,3)(H1＋2H2＋3H3＋4H4)，所以H1＋2H2＋3H3＋4H4＝eq\f(3V,k).[答案]B【方法规律】类比推理的一般步骤(1)找出两类事物之间的相似性或一致性．(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．已知数列{an}为等差数列，若am＝a，an＝b(n－m≥1，m，n∈N*)，则am＋n＝eq\f(nb－ma,n－m).类比等差数列{an}的上述结论，对于等比数列{bn}(bn>0，n∈N*)，若bm＝c，bn＝d(n－m≥2，m，n∈N*)，则可以得到bm＋n＝________.解析：法一：设数列{an}的公差为d1，则d1＝eq\f(an－am,n－m)＝eq\f(b－a,n－m).所以am＋n＝am＋nd1＝a＋n·eq\f(b－a,n－m)＝eq\f(bn－am,n－m).类比推导方法可知：设数列{bn}的公比为q，由bn＝bmqn－m，可知d＝cqn－m，所以q＝eq\r(n－m,\f(d,c))，所以bm＋n＝bmqn＝c·eq\r(n－m,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(d,c)))n)＝eq\r(n－m,\f(dn,cm)).法二：(直接类比)设数列{an}的公差为d1，数列{bn}的公比为q，因为等差数列中an＝a1＋(n－1)d1，等比数列中bn＝b1qn－1，因为am＋n＝eq\f(nb－ma,n－m)，所以bm＋n＝eq\r(n－m,\f(dn,cm)).答案：eq\r(n－m,\f(dn,cm))考点三演绎推理[例3]已知函数f(x)＝eq\f(a,x)＋bx，其中a>0，b>0，x∈(0，＋∞)，试确定f(x)的单调区间，并证明在每个单调区间上的增减性．[自主解答]设0<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x1)＋bx1))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x2)＋bx2))＝(x2－x1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x1x2)－b)).当0<x1<x2≤eq\r(\f(a,b))时，∵a>0，b>0，∴x2－x1>0,0<x1x2<eq\f(a,b)，eq\f(a,x1x2)>b，∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\r(\f(a,b))))上是减函数；当x2>x1≥eq\r(\f(a,b))>0时，x2－x1>0，x1x2>eq\f(a,b)，eq\f(a,x1x2)<b，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴f(x)在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(a,b))，＋∞))上是增函数．【方法规律】应用演绎推理应注意的问题演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略．已知函数f(x)＝eq\f(2x－1,2x＋1)(x∈R)．(1)判定函数f(x)的奇偶性；(2)判定函数f(x)在R上的单调性，并证明．解：(1)对任意x∈R，有－x∈R，并且f(－x)＝eq\f(2－x－1,2－x＋1)＝eq\f(1－2x,1＋2x)＝－eq\f(2x－1,2x＋1)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．(2)f(x)在R上单调递增，证明如下：任取x1，x2∈R，并且x1>x2，f(x1)－f(x2)＝eq\f(2x1－1,2x1＋1)－eq\f(2x2－1,2x2＋1)＝eq\f(2x1－12x2＋1－2x2－12x1＋1,2x1＋12x2＋1)＝eq\f(22x1－2x2,2x1＋12x2＋1).∵x1>x2，∴2x1>2x2>0，即2x1－2x2>0.又∵2x1＋1>0,2x2＋1>0，∴eq\f(22x1－2x2,2x1＋12x2＋1)>0.∴f(x1)>f(x2)．∴f(x)在R上为单调递增函数．———————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————1个区别——合情推理与演绎推理的区别(1)归纳是由特殊到一般的推理；(2)类比是由特殊到特殊的推理；(3)演绎推理是由一般到特殊的推理；(4)从推理的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待证明；若大前提和小前提正确，则演绎推理得到的结论一定正确．2个步骤——归纳推理与类比推理的步骤(1)归纳推理的一般步骤