高考数一轮复习 第四章 第二节 平面向量基本定理及坐标表示演练知能检测 文

第二节平面向量基本定理及坐标表示[全盘巩固]1．已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，则实数xA．－2B．0C．1解析：选D依题意得a＋b＝(3，x＋1)，4b－2a＝(6,4x－2)．∵a＋b与4b－2a平行，∴3(4x－2)＝6(x＋1)，解得2．(·朝阳模拟)在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，＝λ＋μ，则λ＋μ的值为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D．1解析：选A∵M为边BC上任意一点，∴可设＝x＋y(x＋y＝1)．∵N为AM中点，∴＝eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)y＝λ＋μ.∴λ＋μ＝eq\f(1,2)(x＋y)＝eq\f(1,2).3．(·西安模拟)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是()A．k＝－2B．k＝eq\f(1,2)C．k＝1D．k＝－1解析：选C若点A，B，C不能构成三角形，则向量，共线，∵＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，∴1×(k＋1)－2k＝0，解得k＝1.4．(·嘉兴模拟)若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a在另一组基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为()A．(2,0)B．(0，－2)C．(－2,0)D．(0,2)解析：选D由题意，a＝－2p＋2q＝(－2,2)＋(4,2)＝(2,4)．设a在基底m，n下的坐标为(λ，μ)，则a＝λ(－1,1)＋μ(1,2)＝(－λ＋μ，λ＋2μ)＝(2,4)．故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－λ＋μ＝2，,λ＋2μ＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝0，,μ＝2，))即坐标为(0,2)．5．设点A(2,0)，B(4,2)，若点P在直线AB上，且||＝2||，则点P的坐标为()A．(3,1)B．(1，－1)C．(3,1)或(1，－1)D．无数多个解析：选C设P(x，y)，由点P在直线AB上，且||＝2||，得＝2，或＝－2，而＝(2,2)，＝(x－2，y)，故(2,2)＝2(x－2，y)，解得x＝3，y＝1，此时点P的坐标为(3,1)；或(2,2)＝－2(x－2，y)，解得x＝1，y＝－1，此时点P的坐标为(1,－1)．6．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d为(A．(2,6)B．(－2,6)C．(2，－6)D．(－2，－6)解析：选D设d＝(x，y)，由题意知4a＝(4，－12)，4b－2c＝(－6,20)，2(a－c)＝(4，－2)，又4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x，y)＝0，解得x＝－2，7．已知A(－3,0)，B(0，eq\r(3))，O为坐标原点，C在第二象限，且∠AOC＝30°，＝λ＋，则实数λ的值为________．解析：由题意知＝(－3,0)，＝(0，eq\r(3))，则＝(－3λ，eq\r(3))，由∠AOC＝30°知以x轴的非负半轴为始边，OC为终边的一个角为150°，则tan150°＝eq\f(\r(3),－3λ)，即－eq\f(\r(3),3)＝－eq\f(\r(3),3λ)，故λ＝1.答案：18．在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC.已知点A(－2,0)，B(6,8)，C(8,6)，则D点的坐标为________．解析：由条件中的四边形ABCD的对边分别平行，可以判断该四边形ABCD是平行四边形．设D(x，y)，则有＝，即(6,8)－(－2,0)＝(8,6)－(x，y)，解得(x，y)＝(0，－2)，即D点的坐标为(0，－2)．答案：(0，－2)9.(·金华模拟)如图，在△ABC中，＝eq\f(1,3)，P是BN上的一点，若＝m＋eq\f(2,11)，则实数m的值为________．解析：因为＝＋＝＋k＝＋k(－)＝＋k＝(1－k)＋eq\f(k,4)，k为实数，且＝m＋eq\f(2,11)，所以1－k＝m，eq\f(k,4)＝eq\f(2,11)，解得k＝eq\f(8,11)，m＝eq\f(3,11).答案：eq\f(3,11)10．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？解：ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ使ka＋b＝λ(a－3b)，由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－3＝10λ，,2k＋2＝－4λ.))解得k＝λ＝－eq\f(1,3)，∴当k＝－eq\f(1,3)时，ka＋b与a－3b平行，这时ka＋b＝－eq\f(1,3)a＋b＝－eq\f(1,3)(a－3b)．∵λ＝－eq\f(1,3)<0，∴ka＋b与a－3b反向．11．已知O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t，求：(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．解：(1)＝＋t＝(1＋3t,2＋3t)．若P在x轴上，则2＋3t＝0，∴t＝－eq\f(2,3)；若P在y轴上，则1＋3t＝0，∴t＝－eq\f(1,3)；若P在第二象限，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋3t<0，,2＋3t>0.))∴－eq\f(2,3)<t<－eq\f(1,3).(2)∵＝(1,2)，＝(3－3t,3－3t)．若OABP为平行四边形，则＝.∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－3t＝1，,3－3t＝2))无解，∴四边形OABP不能成为平行四边形．12．平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；(3)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝eq\r(5)，求d.解：(1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－m＋4n＝3，,2m＋n＝2，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(5,9)，,n＝\f(8,9).))(2)∵a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，k＝－eq\f(16,13).(3)设d＝(x，y)，d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x－4－2y－1＝0，,x－42＋y－12＝5，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝3.))故d＝(3，－1)或(5,3)．[冲击名校]1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，m＝(eq\r(3)b－c，cosC)，n＝(a，cosA)，m∥n，则cosA的值等于()A.eq\f(\r(3),6)B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(\r(3),2)解析：选Cm∥n⇒(eq\r(3)b－c)cosA－acosC＝0，再由正弦定理得eq\r(3)sinBcosA＝sinCcosA＋cosCsinA⇒eq\r(3)sinBcosA＝sin(C＋A)＝sinB，即cosA＝eq\f(\r(3),3).2．已知A(7,1)、B(1,4)，直线y＝eq\f(1,2)ax与线段AB交于C，且＝2，则实数a等于()A．2B．1C.eq\f(4,5)D.eq\f(5,3)解析：选A设C(x，y)，则＝(x－7，y－1)，＝(1－x,4－y)，∵＝2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－7＝21－x，,y－1＝24－y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝3.))∴C(3,3)．又∵C在直线y＝eq\f(1,2)ax上，∴3＝eq\f(1,2)a·3，∴a＝2.[高频滚动]1．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足＋＋＝，则点P与△ABC的关系为()A．P在△ABC内部B．P在△ABC外部C．P在AB边所在直线上D．P是A